苏教版八年级上册全等三角形全章复习与巩固提高精编版

1、最新资料推荐2全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质, 会利用角的平分线的性质进行证明 .【知识网络】对应边相等，对角相等J L1全等形1 全等二角形角平分线的性质、判定L1SSS, SL4S, ASA.心乞 HL【要点梳理】【全等三角形单元复习，知识要点】 要点一、全等三角形的判定与性质找夹角T SAS已知两边找直角T HL找另一边T SSS边为角的对边已知

2、一边一角边为角的邻边T找任一角T AAS找夹角的另一边T SAS找夹边的另一角T ASA找边的对角T AAS一般三角形直角三角形判定边角边（SAS 角边角（ASA） 角角边（AAS 边边边（SSS两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点二、全等三角形的证明思路已知两角严夹边T ASA找任一边T AAS要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2. 角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.

3、三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4. 与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 禾U用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)

4、等式性质.2.利用平行线的性质进行证明. 证明两个角所在的两个三角形全等 利用角平分线的判定进行证明 . 同角(等角)的余角(补角)相等 对顶角相等.证明角相等的方法：(1)(2)(3)(4)(5)3.4.5.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明 辅助线的添加：(1) 作公共边可构造全等三角形；(2) 倍长中线法；(3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4) 利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.证明三角形全等的思维方法 ：直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发

5、 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.(1)(2)【典型例题】 类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1).倍长中线法1、已知，如图， ABC中，D是BC中点，DEL DF,试判断 BE+ CF与EF的大小关系, 并证明你的结论.最新资料推荐【思路点拨】 因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF,使DG= DF,

6、证明 EDGA EDF FDCAGDB这样就把 BE CF与EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE+ CF EF;证明：延长 FD到G 使DG= DF,连接BG EGD是BC中点 BD= CD又 DEI DF在 EDGn EDF中*/EDG =NEDFdG = DF EDGA EDF( SAS EG= EF在 FDC与 GDB中CD =BDDF =DG FDCA GDB(SAS) CF= BG/ BG BE EG BE+ CF EF【总结升华】 有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）举一反三:【变式】已知：如图所示， CE CB分别是 AB

7、CM ADC的中线，且/ ACB=/ ABC求证：CD= 2CE【答案】证明：延长CE至F使EF= CE连接BF. EC为中线，最新资料推荐 AE = BEAE = be,在 AEC与 BEF 中，AEC =厶 BEF ,CE = EF , AECA BEF （SAS）. AC = BF, / A=/ FBE （全等三角形对应边、角相等）又/ ACB=/ ABC / DBC=/ AC聊/ A, / FBC=/ ABO / A . AC = AB / DBC=/ FBC AB = BF.又 BC为 ADC的中线， AB = BD 即 BF= BD.BF =BD,在 FCB与 DCB中，N FBC

8、 DBC ,bC = BC, FCBA DCB(SAS). CF = CD 即 CD= 2CE.(2).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在 ABC中，/2/ B,/ 1 = / 2.求证：AB= AO CD【答案与解析】证明：在 AB上截取AE= AC11在 AED与 ACD中,AB AC故用截长TaE =AC（已作）, 4 =N2（已知）, ad =AD（公用边）, AEDA ACD( SAS. ED = CD/ AED=/ C(全等三角形对应边、角相等 ).又 / C= 2/ B /AED= 2/ B.由图可知：/ AED=/ B+/ EDB 2 / B=/

9、 B+/ EDB/ B=/ EDB BE = ED 即 BE= CD. AB = AE+ BE= AC CD(等量代换).【总结升华】 本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现 补短法.在AB上截取AE= AC.这样AB就变成了 AE+ BE,而AE= AC.只需证BE= CD即可.从而把AB= AO CD转化为证两线段相等的问题.举一反三:【变式】如图，AD是AABC的角平分线,H, G分别在AC, AB上,且HD= BD. 求证：/ B与/ AHD互补；HD之间满足的等量关系，并加(2)若/ B+ 2/ DGA= 180 ,请探究线段 AG与线段AH 以证明.【答案】证明：（1）

10、在AB上取一点 M,使得AM= AH,连接DM./ / CAD=/ BAD, AD= AD, AHD AMD. HD= MD, / AHD=/ AMD./ HD= DB, DB= MD. / DMB=/ B./ /AMD- / DMB= 180： / AH / B= 180。即/B与/ AHD互补.（2）由（1）/ AHD=/ AMD, HD= MD, / AH/B=180。/ / B+ 2/DGA= 180： / AHD= 2/DGA. / AMD= 2/DGM./ / AMD=/ DG/ GDM. 2 / DGIW/ DG/ GDM. / DGM/ GDM. MD=HD=/ AG= - A

11、G=MG.MG.AM+ MG,AH+ HD.（3）.利用截长（或补短）法作构造全等三角形frTW尸3、如图所示,已知 ABC中AB AC, AD是/ BAC的平分线，M是AD上任意一点, 求证：MB- MGc AB- AC.【思路点拨】 因为ABAC,所以可在 AB上截取线段 AE= AC,这时BE= AB- AC,如果连接 EM在 BME中 ,显然有 MB- MEC BE这表明只要证明 ME= MC则结论成立.【答案与解析】证明：因为 AB AC则在AB上截取AN AC,连接ME在 MBE中，MB- MEC BE （三角形两边之差小于第三边）在 AMCFHA AME中,AC =AE（所作），

12、NCAM =NEAM（角平分线的定义）, am = AM （公共边）,A AMC AME（ SAS. MC = ME （全等三角形的对应边相等）.又 BE = AB AE, BE = AB- AC MB MG AB- AC.【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键BDC举一反三:【变式】如图， AD是 ABC的角平分线，AB AC,求证：AB- AC BD DC【答案】证明：在 AB上截取AE= AC,连结DE AD是 ABC的角平分线，/ BAD=/ CAD在 AED与 ACD中AE =ACYBAD =NCADad =AD【思路点拨】 四边形ABCD为正方形，则/ D= 90 .

13、而/ DAE=/ FAE说明AE为/ FAD的平 分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作 E到AF的距离 EM即可，由角平分线性质可知ME= DE AE= AE Rt AME与 Rt ADE全等有 ADMM FC即可.从而把证=AM 而题中要证 AF= AD+ CF.根据图知 AF= AW MF.故只需证AF= AD+ CF转化为证两条线段相等的问题.【答案与解析】证明：作MEIAF于M连接EF.四边形ABCC为正方形，/ C=/ D=/ EMA= 90 .又/ DAE=/ FAE AE为/ FAD的平分线， ME = DE在 Rt AME与 Rt ADE

14、中, pE = AE（公用边）,DE = ME（已证）, Rt AME2 Rt ADE（HL）. AD = AM全等三角形对应边相等 ）. 又 E 为 CD中点， DE = EC. ME = EC在 Rt EMF与 Rt ECF中,严E 乂E（已证），lEF =EF （公用边）, Rt EM宦 Rt ECF（HL）. MF = FC（全等三角形对应边相等 ）. 由图可知：AF= AW MF, AF = AD FC（等量代换）.【总结升华】与角平分线有关的辅助线：角的平分线上取一点向角的两边作垂线段（5、如图所示，在 ABC中, AC=BC在角两边截取相等的线段,构造全等三角形；在/ ACB=9

15、0 , D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E, AE=iBD，求证:BD是/ ABC的平分线.A4C B【答案与解析】证明：延长AE和BC交于点F, AC! BC, BE! AE, / ADE玄 BDC（对顶角相等）， / EAD+/ ADE/ CBD/ BDC 即/ EAD/ CBD 在 Rt ACF 和 Rt BCD中.zxcy 二乙50）二9（己知），*上（7 = 5口己知），乙 EAC = ZCBD（己证），所以 Rt ACF Rt BCD（ ASA.则AF=BD（全等三角形对应边相等）/ AE=_ BD AE=_ AF,2 2即 AE=EF在 Rt BEA和 Rt BEF 中,

16、AE =（己证）， ZAEB = Z.FBB = 9（己知）,BS=3E（公共边），贝U Rt BEA Rt BEF （ SAS .所以/ ABE=/ FBE （全等三角形对应角相等）， 即BD是/ ABC的平分线.【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题B图2图2【答案与解析】证明：（1）V AE! I ,/ ACB= 90，/ 1 + / 2 = 90BF丄 I ,/ AEC=/ CFB= 90 ,/ 2+/ 3 = 90./ 1 =/ 3。在 ACE和 C

17、BF 中,2AEC =NCFB奁 1 =N3ac = BC acea cbf( aas ae= cf, ce= bf/ ef= ce+ cf,. ef= ae+ bf。理由如下:,/ 1 + / 2 = 902+/ 3 = 90,./ 1 = / 3。(2) EF= ae bf, AE l , BF丄 l , / AEC=/ CFB= 90 / ACB= 90,./ 在 ACE和 CBF 中12AEC =NCFB=N3=BC:. acea cbf( aas ae= cf, ce= bf/ ef= cf- ce,. ef= a bf。 ef= ae- bf ef= bf- ae证明同.【总结升华

18、】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程,其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三:【变式】已知：在 ABC中，/ BAC= 90, AB= AC,点D为射线BC上一动点，连结 AD,以 AD为一边且在ad的右侧作正方形 ADEF(1) 当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图1,求证：CF= BD(2) 当点D运动到线段BC的延长线上时，如图