菱形证明专题训练

1、绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知：如图，在四边形ABCD中,AB/ CD,E,F为对角线 AC上两点，且AE=CF,DF / BE,AC平分 / BAD.求证：四边形 ABCD为菱形.C【答案】 AB/CD,?/ BAE=/ DCF.? DF / BE,?/ BEF=/ DFE ,?/ AEB=/ CFD.?又；AE=CF,? AEB CFD,? AB=CD.? AB / CD,?四边形ABCD是平行四边形.BAE=/ DAF.BAE=/ DCF , DAF = / DCF,? AC 平分/ BAD,?/?又/?/ ? AD = CD,?四边形ABCD是菱形.2.如图，矩形 ABCD

2、中，点O为AC的中点，过点 0的直线分别与 AB, CD交于点E, F, 连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE , BO.若/ COB=60 FO = FC.四边形EBFD是菱形；【答案】 连接OD.点O为矩形ABCD的对角线AC的中点, ? B,D,?O 三点共线且 BD=DO=CO=AO.?在矩形 ABCD 中，AB / DC , AB=DC， / FCO = / EAO. ?在厶CFO和 AEO中，? CFO AEO,. FO = EO.?又.BO=DO,.四边形BEFD是平行四边形.? BO = CO,/ COB=60? COB 是等边三角形./ OCB=60 ?/ FCO =

3、/ DCB-/ OCB=30 ? F0 = FC， / F0C=/ FC0=30 .?/ F0B = / F0C+ / C0B=90 .? EF丄BD. 平行四边形 EBFD是菱形.(2)MB : 0E=3 : 2.【答案】/ B0=BC, 点B在线段0C的垂直平分线上. ? F0=FC ,点F在线段0C的垂直平分线上.? BF是线段0C的垂直平分线.?/ FM0 = / 0MB=90 .?/ 0BM=30 . 0F=BF.?/ F0C=30 FM = 0F.? BM=BF-MF=20F-0F=0F.?即 F0=E0,.BM : 0E=3 : 2.3.如图,在 ABC中，/ ABC=90 :B

4、D为AC边上的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD 的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取 FG=BD连接BG,DF.求证：四边形 BGFD是菱形.【答案】?四边形?四边形【答案】/ FG / BD,BD=FG,.四边形BGFD是平行四边形.? CF 丄 BD,AG / BD,.CF 丄 AG.又ABC=90。，点 D 是 AC 的中点, BD=DF=AC,?平行四边形BGFD是菱形.4.如图,点0是菱形ABCD对角线的交点，DE / AC,CE/ BD,连接OE. ?求证:0E=BC./ DE / AC,CE / BD,0CED是平行四边形.ABCD是菱形， ? AC丄

5、 BD,0B=0D, ?/ B0C=/ C0D=90 ,?四边形0CED是矩形，?/ ODE=90 ,v OB=OD, / BOC = / ODE=90 ? BC=,OE=,? DE = OC.? OE = BC.5. 2015 兰州中考，25?(9 分)如图，四边形 ABCD 中,AB/ CD,AB毛D,BD=AC.C(1)求证:AD=BC ;【答案】 作BM / AC,BM交DC的延长线于点 M,则/ ACD= / BMD. 1分? AB / CD,BM / AC,?四边形ABMC为平行四边形.2分? AC=BM.? BD=AC , BM=BD.?/ BDM= / BMD.?/ BDC=

6、/ ACD.?在厶BDC和 ACD中，? BDC ACD.4 分5分? BC=AD.(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】 连接EG,GF,FH,HE. 6分 ? E,H 为 AB,BD 的中点， EH=AD.?同理 FG=AD ,EG=BC ,FH=BC.? BC=AD , EG=FG=FH=EH.?四边形EGFH为菱形，? EF与GH互相垂直平分.9分 6. 2015长春中考，18?（7分）如图,CE是ABC外角/ ACD的平分线,AF / CD交CE于点 F,FG / AC交CD于点G,求证：四边形ACGF是菱形.【答案】因

7、为AF II CD,FG/ AC,?所以四边形ACGF是平行四边形，?又因为/ ACE= / ECG, / ECG= / AFC, ?所以/ ACE= / AFC,所以 AC=AF , ?由得四边形 ACGF是菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形ABCD中，AD / BC, AB= AD（如图所示）,/ BAD的平分线 AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作/ BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形 ABED 是菱形；【答案】?/ BAE = / DAE ,?/ DAE = / BEA,?/ BAE = / BEA, AB = BE= AD ,?AD /

8、BE,.四边形 ABED的平行四边形，又 AB = AD, ?四边形ABED为菱形(2)/ABC = 60 EC = 2BE，求证：ED 丄DC.【答案】 过D作DF / AE,贝y DF = CF = 1 ,?/ C= 30 而/ DEC = 60 ?/ EDC = 90 ED 丄 DC.8. 2010沈阳中考，19如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于0,点E, F分别为边 AB, AD的中点，连接 EF，0E，OF，求证：四边形 AEOF是菱形.【答案】点E, F分别为AB, AD的中点? AE = AB, AF = AD（2 分）?又四边形ABCD是菱形? AB = AD? AE

9、= AF（4 分）?又菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0? 0为BD的中点? 0E , OF是 ABD的中位线（6分）? 0E / AD , 0F / AB?四边形AE0F是平行四边形（8分）? AE = AF?四边形AE0F是菱形（10分）9. ?2010 安徽中考，20如图，AD / FE，点 B,C在 AD 上,/ 1=/ 2, BF = BC.(1)求证：四边形 BCEF是菱形;【答案】/ AD / FE， / FEB = / 2. ?/ 1 = / 2，/ FEB = / 1.? BF = EF? BF = BC,.BC= EF.?四边形BCEF是平行四边形? BF = BC,

10、?四边形BCEF是菱形（5分）（2）若 AB= BC = CD，求证： ACFBDE.【答案】 EF = BC, AB= BC = CD , AD / FE ,?四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，二 AF = BE, FC = ED .（8分）?又；AC= 2BC = BD , （9 分）? ACFN BDE.（10 分）10. 2013长沙中考，24如图，在?ABCD中，M , N分别是AD , BC的中点，/ AND = 90 连接CM交DN于点O.（1）求证： ABNCDM ;【答案】/ ABN=/ CDM , AB= CD,?BN = BC= AD = DM ,? ABNN

11、 CDM （SAS）.过点C作CE丄MN于点E,交DN于点P,若PE = 1,/ 1=/ 2,求AN的长.【答案】 M , 0分别为AD, ND的中点，? AN / MO 且 AN = 2MO,?/ MOD = / AND = 90 即平行四边形 CDMN是菱形，?在 Rt MOD 与 Rt NEC 中，?/ 1 = / 2, MD = NC , Rt MOD 也 Rt NEC ,? MO = NE.?根据菱形的性质可知，/ MND = / CND，/ 1 = / CND，所以/ MND =/ CND = / 2= 30 所以在 Rt ENP 中 NE= PE诜an30 =,?即 AN= 2.

12、11.如图,在 ABC中，/A= 90 AH丄BC于点H,/ B的平分线交 AC于点D,交AH于点 E,DF丄BC于点F,求证：四边形AEFD是菱形.【答案】/ ABD= / FBD,BD=BD , / BAD= / DFB= 90 ? ABDN FBD,. AD=DF ,AB=FB.?又/ ABE= / FBE,BE=BE ,? ABEN FBE.?/ BAE= / BFE.?又/ BAE= 90 / ABC= / C,?/ BFE= / C, EF / AD.? DF 丄 BC,AH 丄 BC,.AE / DF.?四边形AEFD是平行四边形.?又 AD=DF ,四边形AEFD是菱形.12.

13、 2012南宁中考，25如图,已知矩形纸片 ABCD,AD = 2,AB= 4,将纸片折叠，使顶点A与边CD 上的点E重合折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点0.(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;（:【答案】证法一:C?0A = OE,AG= EG（1 分）?在矩形 ABCD中,AB / CD?/ AEF = / EAG?/ A0G=/ E0F? A0G E0F（ASA）（2 分）? AG = EF?四边形AGEF是菱形（3分）(2)如图2,当 AED的外接圆与BC相切于点N时，求证，点N是线段BC的中点;【答案】证明：连接0N,0是Rt ADE外接圆

14、圆心.? If； U?TO 0与BC相切于点N? 0N 丄 BC（4 分）?在矩形 ABCD中,DC丄BC,AB丄BC? CD / 0N / AB?= （5 分）? 0A = 0E CN= NB?即N为BC的中点（6分）(3)如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.【答案】解法一：?过点0作0M丄AB于点M,则四边形OMBN是矩形?lC H?证明：在矩形 ABCD中,CD / AB ?/ 1 = / 3（1 分）?由折叠可知：AG = EG, / 1 = / 2?/ 2=/ 3? EF = EG（2 分）? EF = AG?四边形AGEF是菱形（3分）?证法二：?证明：连接AF,由折叠可知?

15、设0 O半径为X贝U OA= OE = ON= x（7分）? AB = 4,AD = 2 AM = 4 x?由第2问得,NB = OM = 12 2 2?在 Rt AOM 中,OA = AM + OM2 2 2? X = （4 X）+ 1X = （8 分）?AM = 4 =?/ FEO = / OAM?又；/ FOE = / OMA = 90 ? Rt EFO s Rt AOM ?= （9 分）? OF = FG = 2OF = （10 分）?解法二：?延长NO交AD于点M 川1?四边形ABNM是矩形? AM = BN = AD = 1? O为Rt ADE外接圆圆心? OA = OE = ON

16、?设 ON 为 X,则 OM = 4 x（7 分）2 2 2?在 Rt AMO 中,AM + OM = OA2 2 2?即 1 + （4 X）= X?X= （8 分）?. OM = 4 =? FG 丄AE,MN / DCFEO =/ MOA / AMO = / EOF = 90? EOF OMA?= （9 分）13. 2013葫芦岛中考,20?（本小题满分8分）?如图，四边形 ABCD 中,AD II BC,BA丄 AD,BC=DC ,BE丄 CD 于点 E.(1)求证： ABD EBD;? AD II BC,?/ 1= / DBC.? BC=DC , / 2= / DBC.?/ 1= / 2

17、.2 分?又；/ BAD= / BED= 90 ?BD=BD , ABDEBD. 4 分 过点E作EF II DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED , / 1= / 2. ? EF II DA, / 1= / 3, / 2= / 3.? EF=ED.5 分? EF=AD.6 分?四边形AFED是平行四边形.?又；AD=ED.?四边形AFED是菱形.8分14. 2013贵阳中考，20?已知：如图，在菱形 ABCD中，F为BC上的任意一点，连接 AF交对角线BD于点E,连接? OF = FG = 2OF = （10 分）求证:AE= EC;【答案

18、】C?证明：连接AC.? BD是菱形ABCD的对角线,? BD垂直平分 AC.? AE = EC.(2)当/ ABC = 60 /BC的中点. 中，AB = BC,CEF = 60。时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由【答案】点F是线段?理由：菱形ABCD?又；/ ABC= 60 ? ABC是等边三角形，/ BAC= 60 ? AE = EC, / CEF = 60 EAC = 30 ? AF是 ABC的角平分线.? AF 交 BC 于点 F,? AF是 ABC的BC边上的中线.?点F是线段BC的中点.15. 2012上海中考，23已知：如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD(

19、1)求证：BE= DF ;【答案】四边形ABCD为菱形， ? AB = AD = BC= CD，?/ ABD = / ADB = / CBD =/ CDB，?/ ABE = / ADF?/ BAF = / DAE，?且/ BAF = / BAE +/ EAF，?/ DAE = / DAF + / EAF?/ BAE = / DAF.? ABE ADF (ASA).? BE = DF.(2)当=时，求证：四边形 BEFG是平行四边形.【答案】在菱形ABCD中，ADBC，?/ DAE = / BEA，/ ADB = / EBD.? AGDsA EGB.?又；=，BE = DF，DBC.CDB，GD

20、F，? GF II BE. ?/ DGF = / ?/ DBC = / ?/ DGF = /? GF = DF，? BE = GF.? BEGF,?四边形BEFG是平行四边形.16. 2013乌鲁木齐中考,19如图，在 ABC中，/ACB= 90 ,CD丄AB于D,AE平分/ BAC,分别 与BC,CD交于E,F,EH丄AB于H,连接FH.求证：四边形 CFHE是菱形.【答案】 AE平分/ BAC,/ CAE = / EAH,而/ ACB = 90,CD 丄 AB, ?/ CEA +/ CAE = / AFD +/ EAH = 90又/ APD = / CFE,?/ CFE = / CEF,

21、CF = CE.?又；AE平分/ BAC,/ ACB = 90.EH 丄 AB, CE= EH,? CF = EH = CE,T CD丄AB,EH 丄AB,； CF / EH,?四边形CFHE是菱形.17.如图所示，在菱形ABCD中,CE丄AB于点E,CF丄AD于点F,求证:AE=AF.如图所示，连接AC,?四边形ABCD是菱形，? AC 平分/ BAD,即/ BAC= / DAC.?在厶ACE和 ACF中，?/ AEC= / AFC= 90 ,/ BAC= / DAC ,AC=AC , ? ACE ACF(AAS), AE=AF.?证法2：v四边形ABCD是菱形，? BC=DC=AD=AB

22、，/ B= / D.?又在 BCE 和 DCF 中,/ BEC= / DFC= 90 : ? BCEN DCF(AAS), BE=DF , AE=AF.求证: ABE CDF ;在菱形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA(或 AB= CD , BC = DA).【答案】?/ B =/ D.?点E, F分别是边BC, AD的中点,? BE = DF.? ABE N CDF.(2)若/ B = 60 AB= 4,求线段 AE的长.【答案】解法一： AB = BC,/ B= 60 ? ABC是等边三角形.?点E是BC边的中点.? AE 丄 BC.?在 Rt ABE 中，sinB =.?

23、 AE = AB sinB= 4 x=.?解法二： AB= BC, / B= 60 ? ABC是等边三角形.?点E是BC边的中点， AE丄BC. ?/ BAE = 30 ?在 Rt ABE 中，BE= AB= 2.?. ae =19. 2012温州中考，19（本题8分）?如图, ABC中，/ B= 90 ,AB= 6cm,BC= 8cm,将 ABC沿射线 BC方向平移10cm,得到 DEF,A,B,C的对应点分别是 D,E,F,连接AD.求证：四边形 ACFD是菱形.D20. 2011?兰州中考，27(本小题满分?已知：如图17所示的一张矩形纸片 合，再展开，折痕 EF交AD边于点【答案】 法

24、一：/ B = 90,AB = 6cm,BC = 8cm.? AC = 10cm.?由平移变换的性质得 CF = AD = 10cm,DF = AC,? AD = CF = AC= DF ,?四边形ACFD是菱形.?法二：由平移变换的性质得AD / CF,?AD = CF = 10cm,?四边形ACFD是平行四边形，?./ B= 90 ,AB = 6cm,BC = 8cm,? AC = 10cm,? AC = CF,? ?ACFD 是菱形.12分)ABCD(AD AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重E,交BC边于点F.分别连接AF和CE.（图 17）求证：四边形 AFCE是菱形;【答案】由题

25、意可知0A= 0C, EF丄A0.（第27题答圏）/ AD / BC，. / AEO = / CFO , / EAO = / FCO , AOE COF , AE = CF，又 AE / CF ,四边形AECF是平行四边形（2分）AC丄EF，四边形 AECF是菱形.（4分）2若AE= 10?cm,A ABF的面积为24?cm，求 ABF的周长;【答案】四边形AECF是菱形， AF = AE = 10?cm.设 AB = a, BF = b,2? 2 2/ ABF 的面积为 24?cm a + b = 100, ab= 48（6 分）2（a + b） = 196, a + b= 14 或 a +

26、 b = 14（不合题意，舍去）（7 分） ABF 的周长为 a+b+ 10= 24?cm（8 分）(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2 = AC?AP?若存在，请说明点 P的位置，并予以 证明；若不存在，请说明理由.【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P,点P就是符合条件的点(9分)证明：/ AEP=/ AOE = 90 / EAO = / EAP , AOEsA aEP, = ,ae2= AO?AP（11 分）四边形AECF是菱形，2 AO = AC , AE = AC?A P,22AE = AC?AP.（12 分）21. 2013营口中考，19如图？, ABC中,AB=AC,AD是ABC 一个外角的平分线，且(1)求证： ABC CDA;【答案】 AB=AC , / B= / ACB ?又./ FAC是 ABC的一个外角， ?/?/?又.?/?又.FAC= / B+ / ACBFAC= 2 / ACB 2 分AD 是/ FAC 的角平分线，/ FAC= 2 / CAD,ACB= / CAD 3 分AC=CA , / BAC= / DCA? ABCCDA 4 分(2)若/ ACB= 60。，求证：四边形ABCD是菱形.【答案】/ BAC= / ACD? AB / CD 5 分?又；/ ACB= / CAD,? AD / BC.?四边形ABCD