2018年度2-2018年度8全国卷圆锥曲线(理科)

1、实用标准文案 2012-2018 全国卷圆锥曲线解答题(理科) 1 . (2012年全国高考新课标I卷理科第20题)设抛物线C:x2 2py(p 0)的焦点为F ,准 线为丨，A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点. (I)若 BFD 90 , ABD的面积为4,2，求p的值及圆F的方程. (U)若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到m,n距离的比值. 2 .(2013全国高考新课标I卷理科第20题)已知圆M:(x 1)2 y2 1，圆N : (x 1)2 y2 9， 动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C .

2、(I )求C的方程； (n )l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时, 求 | AB|. 2 2 3. (2014年全国高考新课标I卷理科第 20题)已知点A(0, 2)，椭圆E :三 务1(a b 0) a b 的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为亠3， O为坐标原点. 23 (I )求E的方程； (U)设过点A的直线丨与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程. x x 6. (2017年全国高考I卷理科第20题)(本小题满分12分)已知椭圆C： -2 a 4. (2015年全国高考新课标I卷理科第 20题)在直角坐标系xOy

3、中，曲线C : y 与直线 4 y kx a(a 0)交于M , N两点. (I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (n ) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由. 5. (2016年全国高考新课标I卷理科第 20题)(本小题满分12分)设圆x2 y2 2x 15 0的 圆心为A，直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C,D两 点，过B作AC的平行线交AD于点E . (I) 证明|ea| |eb为定值，并写出点E的轨迹方程； (II) 设点E的轨迹为曲线G，直线l交G于M,N两点，过B且与 l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPN

4、Q面积的 2 占=1 (ab0 )， b 取值范围. J3J3 四点P1 ( 1,1 ), P2 ( 0,1 ), P3 (-1 , ),P4 ( 1 , )中恰有三点在椭圆 C上. 22 (1 )求C的方程； (2)设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明: l过定点. 7. (2018年全国高考I卷理科第19题)(本小题满分12分)设椭圆的右焦点为， 过的直线与交于，两点，点.的坐标为. 当.与 轴垂直时，求直线止息的方程； 设 为坐标原点，证明:V、汕一八朋总 2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案) 1 . (2012年全国

5、高考新课标I卷理科第20题)设抛物线C :x2 2py(p 0)的焦点为F ,准 线为I , A C 已知以F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点. (I)若 BFD 90 , ABD的面积为4、2，求p的值及圆F的方程. (U)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求 坐标原点到m , n距离的比值. |BD| 2p， 【解析】(I )由对称性知 BFD是等腰直角三角形，斜边 点A到准线l的距离d |FA| |FB| ,2p， 1 由 S abd 2 |BD| d 4.2得 p 圆F的方程为x2 (y 1)2 8 . 0)，则 F(0,-P). 2 (U

6、)由对称性设A(x0 ,仝)(X0 2p 由点A, B关于点F对称得B( x0 , 2 p乞)，从而p 2p 2 X。 2p 2，所以邛2 . 因此A(.3p, 3p ，直线 m:y 22 x V3p 3y 又 x2 2py y 尹，求导得y ,从而切点p 1) 又直线n：y扌 ，即x 3y 故坐标原点到直线m,n距离的比值为 P 2、3 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线 的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力. 2 .(2013全国高考新课标I卷理科第20题)已知圆M:(x 1)2 y2 1，圆N : (x 1)2 y2 9， 动

7、圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C . (I )求C的方程； (n)1是与圆P,圆M都相切的一条直线，I与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时, 求 | AB|. 【解析】由已知得圆M的圆心为M( 1,0)，半径r11，圆N的圆心为N(1,0)，半径“3 . 精彩文档 设动圆P的圆心为P(x, y)，半径为R . (I )因为圆P与圆M外切且与圆N内切, 所以 | PM | | PN | (R ri)亿 R) 1 2 由椭圆的定义可知, 曲线C是以M,N为左，右焦点, 长半轴长为 2，短半轴长为.3的椭圆(左顶点除外), 2 2 其方程为2七1(x2). (n )对于曲线C上

8、任意一点P(x, y)， 由于|PM | |PN| 2R 2 2，所以 R 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R 当圆P的半径最长时，其方程为(x 2)2 y2 4. 当丨的倾斜角为90时，丨与y轴重合，可得| AB| 2,3 . 当l的倾斜角不为90时，由r. R知l不平行x轴. 设丨与x轴的交点为Q， 则旦，可求得Q( 4,0), |QM | ri 设I : y k(x 4)，由I与圆M相切得半豊 71 k2 1，解得k 寻2代入扌 1(X 2) 整理得7x2 8x 8 0. (*) 设A(X1, yj , B(X2,y2)，则刘，X2是(*)方程的两根.所以x X2 X1X2 |AB|

9、.1 k2|%x21.1 k2 .% x2)2 4沁1- 彳时，由对称性知|AB| 18 7 综上, | AB| 2 3 或 |AB| 8 . 【考点分析】本小题主要考查直线、 圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能 力和方程思想. 2 器 1(a b0) 2 X 3. (2014年全国高考新课标I卷理科第 20题)已知点A(0, 2)，椭圆E : a 的离心率为乎，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (I )求E的方程; (U)设过点A的直线丨与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求I的方程. 【解析】(I )设F c,0 , 由条件知I竽，得c、3 又a于

10、，所以a 2， y2 1. 2 b2 a2 c2 1，故E的方程 4 (U)由题意知直线 I的斜率存在，设直线I的斜率为 k，方程为y kx 2 , 联立直线与椭圆方程: 2 x 2 y 1，化简得: 2 4 y kx 2 2 (1 4k )x 16kx 120. 2 16(4 k3) 0， k2 设 P(xi, yi), Q(X2, y2)，则 X 16k 1 4k2 X1 X2 12 2 ， 1 4k PQ =、1 k2心辟， 1+4k2 一 2 且坐标原点O到直线I的距离为d 2- Jk 1 12 4,4k2 324.4k2 3 因此SOPQ 2 k4厂一厂 1+4k2 令 t 4k2

11、3(t0)，则 S opq 4t4小 ,t 0 . t24+4 t _ t it 4，当且仅当t ：，即t 2时，等号成立， S OPQ 1 . 故当t 即：4k2 3 2， k 于时OPQ的面积最大. 此时，直线1的方程为y 4x 2 - 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力、创新意识和方程思想. 2 4. (2015年全国咼考新课标I卷理科第 20题)在直角坐标系xOy中，曲线C : y 与直线 4 y kx a(a 0)交于M , N两点. (I )当k 0时，分别求C在点M和N处的切线方程； (II) y轴上是否存在点P，使得当

12、k变动时，总有 OPM OPN ?说明理由. 【解析】(I)由题设可得 M(2、.a,a),N( 2、一 a,a)或 M ( 2、a,a), N(25,a). 2 又y = X，故y 在x 2 a处的导数值为i a . 在点(2、a, a)处的切线方程为y a a(x 2 a)，即ax y a 0 . 2 _ _ y 在x 2 . a处的导数值为 .a . 4 在点(2、.a,a)处的切线方程为y a 、a(x 2 a)，即ax y a 0. 故所求切线方程为 ax y a 0和ax y a 0. (I)存在符合题意的点P .证明如下： 设P(0, b)为符合题意的点，M(x“ yj,，直线P

13、M , PN的斜率分别为 汗. 将y kx a代入C的方程，消去y整理得x2 4kx 4a 0, 则xi, X2是该方程的两根. 故 x1 x2 4k, x-|x24a. 从而ki k2 % b xi y2 b x2 2kx,x2 (a b)(xi x2) xix2 k(a b) a a时，有ki k2 0 ,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故 OPM OPN . 所以点P(0, a)符合题意. 【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力和方程思想. 5. (2016年全国高考新课标I卷理科第 20题)(本小题满分12分)设圆

14、x2 y2 2x 15 0的 y+ 圆心为A，直线I过点B(0,1)且与x轴不重合，I交圆A于C,D两 点，过B作AC的平行线交AD于点E . (I) 证明|ea| |EB为定值，并写出点E的轨迹方程； (II) 设点E的轨迹为曲线G，直线I交G于M,N两点，过B且与 I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【解析】(I)因为AD AC，EB/ AC， 故 EBD ACD ADC .所以 EB ED 故EA EB EA ED AD 又圆A标准方程为x 1 16， 从而 AD 4，所以EA EB 由题设得A 1,0 ,B 1,0 由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为 (y

15、 0)； (II) (法一)当丨与x轴不垂直时，设 I： y M 捲，y1 , N X2,y2 y k x 1 x2 y2 了 W 3 1 43 x2 8k2x 4k2 12 X2 化，x1gx2 2 4k 12 2 4k2 3 所以 MN 、1k2 xX2 12 k2 1 4k2 3 过点 1 B 1,0且与I垂直的直线m: y 2 A到m的距离为口， 所以PQ 2 4 1 112 m 1 Smpnq|MN| |PQ|2 2 2 3m 4 故四边形MPNQ的面积为S 1 -MN| pq 121 4k* 1 3 当丨与x轴不垂直时，四边形 MPNQ的面积的取值范围为 12,8、3 当丨与x轴垂

16、直时，其方程为 MN 3， PQ 四边形MPNQ的面积12 . 综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为 12,8、.3 . 2 2 （法二）C1 f 1 ;设 I : x my 1, 因为PQ丄I，设PQ:y m x 1 ，联立丨与椭圆G x 2 x 4 my 2 y_ 3 1 得3m2 1 6my 9 0 ； 则 |MN | 匕 1m2 | yM yN I .1 .36 m2 36 3m2 4 3m24 12 m2 1 3m2 4 ； 圆心A到PQ距离d |_m 1 |2m| 所以 | PQ| 2、.| AQ|2 d22、16 匚4 m244 1m2 4.3m2 4 ；1 m2 12,8 3

17、 . 【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析 几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想. 2 x 已知椭圆C： p a 2 b-1 (a b0 ),四点 Pi (1,1 ), P (0,1 ), P3 (-1 , f)，P4 (V)中 恰有三点在椭圆 C上. (1 )求C的方程； (2)设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明: l过定点. 【考点】 :圆锥曲线。 【思路】 :(1 )根据椭圆的对称性可以排除 P1 (1,1 )。(2)联立方程即可, 此时有两种方法联立， 第一种, 假设直线

18、AB的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2B。 【解析】： (1 )根据椭圆对称性可得，P1 ( 1,1 ) P4 (1)不可能同时在椭圆上, 2 P3(-1 再)，P4( 普) 定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2 (0,1 ), P3 (1 ,),代入椭圆方程可得: 2 (2 )由题意可得直线 y 1 k x 1.联立 1 4k2 4k2 1 2，故而可得椭圆的标准方程为: P2A与直线 P2B的斜率一定存在, y21。 不妨设直线P2A为：y kx 1 ,P2B为: kAB业 x y 2 x 4 kx 4k21 x2 8kx 0，假设A X% , B x2, y2此时可得: ,B k 2 14 1k 2 -，此时可求得直线的斜率为: 1 2 k 2 4 1 k 1 1 4k2 4k 2 1 -,化简可得 8k kAB 12 ,此时满足 1 2k 2 2 4 1 k 1 4k 1 AB两点重合，不合题意。 丄时, 2 直线方程为：y 1 2 1 2k 8k 4k21 字，即y 4k21 4k2 4k 1 x 当 2 ，二 1 2k x 2时，y 1，因此直线恒过定点2, 1 。 19. 答案： 2 (1) y (x 2) ； (2)略 解答： (1 )如图所示，将X 1代入椭圆方程得1 y2 1,得y冷2 , A(1,乎),/.kAM弓2， 直线AM的方