考研数三1998 2007年历年真题

1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.当工tO*时，与 吳等价的无穷小量是：()(A)1 (B) 111(1(D) 1-COSa/x .精品文档11设函数/匚)在x= 0处连续，则下列命题错误的是：()若1叫/存在，则/ () = / f t(C)若1叫存在，则f (0)存在.(3)如图，连续函数y = /W在区间-艮-即2.3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间(A)(B)若嗨咛m(D)若田竿戶存在，则/(0) = 0 .存在，则存在.

2、上的图形分别是直径为 2的上、下半圆周，设/()丛则下列结论正确的是：()3 5(A) (B)月二H(耳4 435(C)用(-9 =-(2)(D)F(-3) = -F(-2)V “-1 0(4) 设函数兀丿)连续，则二次积分(A) W 二(C)/hjMr必等于：()(B)加匚Wf-arcane,/(兀刘岀T1(5) 设某商品的需求函数为 0=两一2參，其中2 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是：()(A) 10(B) 20(C)兀(D) 40曲线= + 1班1+J)渐近线的条数为：()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3 设向量组C3iaa 线性无关，则

3、下列向量组线性相关的是：()(A) Qi-碍-碍a-q(B) +码 2+0；5 -1 -rT 0小(8)设矩阵宀-1 2 -1,序-0 1 0日-1 2卫0 0(C) q-2碍.碍-2碍，碍一2碍，则A与 ：()(A)合同，且相似(D) q+2碍，碍+ 2碍0520!(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为P(0 Vl)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为：()(B) 呵一县尸(C) 琢(1恥)心)分别表示X的概率密度，则在(10)设随机变量(*0服从二维正态分布，且 産与y不相关,F = P条件下，疋的

4、条件概率密度 心梓低)为：()(A) AW(B) W心)(C) AW/ry)(D)帀二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.* .工+ 十1 r .、,(11)lim5 (sifL X + cs 蓝)=F 2+?(12)设函数刀二2葢十5，则 产(0)=(13)设 他巧是二元可微函数则 唏菇 二(14)(15)uy Y I微分方程 h-T()满足P2 r1 00 10 00 0设矩阵貝=500卫(16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于1的概率为三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、

5、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设函数y=y-由方程= 0确定，试判断曲线y = 在点(1 J)附近的凹凸性.(18)(本题满分11分)设二元函数11讣1+曙2计算二重积分pa”,其中D彳(兀刚T+制兰目.(19)(本题满分11分)设函数/(工)厨(力在证明:3上上连续，在仏上)内二阶可导且存在相等的最大值，又 /(口)二呂，八町=g(0),(I)存在网亡，使得丫)=g(R ；(II)存在共5使得 = #(20)(本题满分10分)展开成兀-1的幂级数，并指出其收敛区间.(21)(本题满分11分)设线性方程组珂+ x? +召=0珂+2也+的;2 = 0与方程工1 + 2也+也=心-

6、1有公共解，求曲的值及所有公共解. +4x3 +即也=0（22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵的特征值兔=匕嘉=2急=-2込=Ck-14/是的属于久1的一个特征向量记B二才一4耳+疋，其中为3阶单位矩阵.（I）验证豹是矩阵必的特征向量，并求広的全部特征值与特征向量;（II）求矩阵丘.（23）（本题满分11分）设二维随机变量（X）的概率密度为/（扎刃=2-r-xO 1 2Yy；（II）求 =蛊的概率密度人仗）.（24）（本题满分11分）0 ZXZ6设总体忑的概率密度为 他刃i 3d 其中参数0 &!）未知，石耳冕,是来自总体忑的 2（7，Q 淇他简单随机样本，丟是样本均值.（I）求参数旧的

7、矩估计量0 ；（II）判断是否为护的无偏估计量,并说明理由2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题、填空题：16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上lini设函数/（工）在x = 2的某邻域内可导，且/） = /（“）二1，则广（2）=(0 =设函数/血）可微，且广（0）=-，则丁（4F-冋在点（12）处的全微分必，爲为2阶单位矩阵，矩阵 瓦满足E= & + 2E,贝则E|设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间丽上的均匀分布，则尸maxJCFl =设总体X的概率密度为了（X）二艮hkl（-ro ex 0，心 为自变量H在坯处的增量，A”与创 分别为zao在点工口处

8、对应的增量与微分，若 山=0，贝y：（）(A) Ov 和 5(B) 0Ay 和(A) /(0) = Q附(0)存在(B) /(0) = 1且(0)存在(C) /(0) = 0氐(0)存在（D）/（0）= 1 耳/；（0）存在(9)若级数另收敛，则级数:(A)Z 1叫I收敛H1!的第2行加到第1行得必，再将E的第1列的一1倍加到第2列得C，记OP= 010 ,则：(卫0 1(A) C= P-UP(C) C 二 PUP （14）设随机变量用服从正态分布N（吗H），随机变量y服从正态分布 叭知 畀），且p|y-xjji，则必有：（）三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上

9、.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.（15）（本题满分7分）l-sin 设几扎小aS沁，求1 + 矽arctan t(II) 恵注何.(16) (本题满分7分)计算二重积分-罰加y，其中卫是由直线丿=工畀=1/=0所围成的平面区域.(17) (本题满分10分) 证明：当 0 jT 时，+能 siiitj+2 cosa-l-Tia .(18) (本题满分8分) 在X坐标平面上，连续曲线i过点M(1,O，其上任意点尸(H.y)(HHO)处的切线斜率与直线OF的斜率之 差等于处(常数口0).(I)求Z的方程;(II)当与直线少 F 所围成平面图形的面积为!时，确定左的值.(19) (本题满分

10、10分) 求幂级数的收敛域及和函数规力.Z 划 21)(20) (本题满分13分)TF设4维向量组q =(1+禺1丄1)，冬=亿2+迅乙2)，禺=(U；+习， 碍=(4.4.4.4 +町，问吃为何值时丐円企线性相关？当码皿碍，毎线性相关时，求其一个极大线性无 关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出(21) (本题满分13分) 设3阶实对称矩阵M的各行元素之和均为3，向量q =-12-1匚隔=(67是线性方程组 血=0的两个(I)求日的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵总和对角矩阵4，使得 gg；3(III) 求月及(月-疋r,其中E为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量

11、的概率密度为 齐(町1 0r2令丫 =産，为二维随机变量(S 的分布函数4 0,其他.求:(I) F的概率密度 人(y)；(II)XK)；(III)也.I (23)(本题满分13分)日.0 x 厶A A (B) a n厶厶.(C)厶A A A厶(D).10B(9)设卫=12若发散，2（-1严陽收敛，则下列结论正确的是：（）u-1M-I(A)m0另珀-1收敛，2%发散H-IU-1（B）S&2收敛，迟-1发散 H-1H-1（D）为如7-盘2收敛M-10(C)2氏加-1十5】）收敛M-1（10）设y（Q= K如X + SS界，下列命题中正确的是：（）(A)/（O）是极大值,(B)J （0）是极小值，

12、(C)j0）是极大值，(D)/（O）是极小值,/（y）是极小值是极大值也是极大值理） 也是极小值.（11）以下四个命题中，正确的是：（） （A）若了（工）在（0,1）内连续，则/O）在内有界 （B）若了W在（叩）内连续，则/W在（叩）内有界 （C）若广（工）在（01）内有界，则/0）在（0）内有界 （D）若丁W在Q1）内有界，则f （刃在 1）内有界（12）设矩阵=（钉）却满足d尸，其中才是的伴随矩阵，护 为的转置矩阵 若旬吗齐知 为三个相等的正数，则61为：（）75(A)T(B) 3(C)亍(D)巧（13）设灵1/卫是矩阵M的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为aiF遇，则吗，/（堵+0）

13、线性无关的充（A）兔=0分必要条件是：（）（D）嘉工0（14）设一批零件的长度服从正态分布 Nl）,其中均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值牙=20cm），样本标准差 2 1（皿），则的置信度为OTO的置信区间是：（）(A) (20-a屜16)3r鯨(1 处(B) (2Cl-f 叭(1百).20 + 孑険(応)；1.(C) (20-乔览(15)20+才0占1习)(D) (20-门H(1习赵+2d(lR)（注：大纲已不要求） 三、解答题：本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （15）（本题满分8分） 求测若鼻b.i 1-e JT(16) (本题满分8分) 设

14、炖具有二阶连续导数，且 如=佗”叫,求唏7話.(17) (本题满分9分)计算二重积分D，其中 n =71,0 y).(18) (本题满分9分)W求幂级数【1)/在区间(-1,1)内的和函数&(对.7 2m+ 1(19) (本题满分8分)设何在0,1上的导数连续，且/(Q)= 0 ,Q , gG)王Q.证明：对任何讥Q1，有就ex对必十(对必眉.(20) (本题满分13分) 已知齐次线性方程组2g + 3兀2 +5兀=工和(II).打+筍5日，同解，求说上,0的值.(21) (本题满分13分)为正定矩阵，其中/玉分别为啲阶，崔阶对称矩阵，C为战X九矩阵.(I) 计算,其中P =(II) 利用的结

15、果判断矩阵R-CWC是否为正定矩阵，并证明你的结论（22）（本题满分13分）“r T1, 0 r 2）为来自总体就（2）的简单随机样本，其样本均值为 疋，记爲=兀-乂=12/ .求: （I）爲的方差Dd =12牛（II） F与的协方差C（若卫）；（III）若 心+叮是,的无偏估计量，求常数亡2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题精品文档一、填空题：16小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.若丘瑰:口施匚QS工-占）二亍，贝= 心如工函数炖小关系式力3丹十仞确定，其中函数旳）可微，且或妙工。，则嘉二尤总 I ,22_,2 则 h 丁 0-1)血=3二次型/（珂也宀

16、）=（魂+勺尸+（陀-巧尸+（也+工尸的秩为(5)设随机变量乂服从参数为卫的指数分布，则P（X=设总体忑服从正态分布（如H）,总体y服从正态分布M（址0），禺丸厂耳 和分别是来自总体疋和y的简单随机样本，则E 电_代-戸）2 +迟国-叩 m冃遇+越2 -2二、选择题：714小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求, 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 函数 煮对*誓;：_? 在下列哪个区间内有界：（）(A)(B) (01)(C) 3).(D) 3).（8）设/（H）在（-0+00）内有定义，且hru/(x)二口 ,呂O)h（A）兀=0必是旨（兀）的第

17、一类间断点.(B)五二0必是gW的第二类间断点.（C） X = 0必是g （天）的连续点.(D)g （力在点X = 0处的连续性与a的取值有关.精品文档15设 /W = |rCl-x)|,贝 y：()（A）疋=0是了（X）的极值点，但（Or 0）不是曲线?=/W的拐点.（B）盂=0不是/（兀）的极值点，但（00）是曲线y = 工）的拐点.（C）K = 0是/匕）的极值点，且（0）是曲线j=yw的拐点.（D）五=0不是/（X）的极值点, Q也不是曲线y = 的拐点.（10）设有以下命题：（）0若迟”1+畑）收敛，则收敛. 二1ra=l0DW若S叭收敛，则 迟41JC0收敛.2=1ra=LCO若匕

18、巴也，则E轴发散.ra 二10CD若迟+g收敛，则都收敛.则以上命题中正确的是：（）（B）.（D）.（A）.（C）.（11）设/DO在D上连续，且Q，则下列结论中错误的是：（）(A)至少存在一点坯 W （aQ），使得/（殆）/（）.(B)至少存在一点吨邑，使得/（帀.(C)至少存在一点衍自小，使得f （忌）=0 .(D)至少存在一点殆匡），使得/（殆）= 0.（12）设芒阶矩阵A与衣等价，则必有：（）(A) 当 I 月时，11= fl（B）当I卫|=就攻工0）时，|=-山(C)当 |/|工0 时，1疗1= 0.(D) 当 *1=0 时，|5|= 0 .（13）设彥阶矩阵A的伴随矩阵 才泊0,若

19、厂是非齐次线性方程组 如T 的互不相等的解，则对应的齐 次线性方程组 =0的基础解系：（）（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量.（14）设随机变量疋服从正态分布 WJ），对给定的欧Oycl），数满足尸伏汕二，若刊*|5=空，则X =（）tip(A) I1r(B) 4(C)写(D)叽.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.（15）（本题满分8分）（16）（本题满分8分） 求十/十加口，其中D是由圆/+护二4和 （工+ 1乎+亍_所围成的平面区域（如图）.（17）（本

20、题满分8分） 设/W店在讹上连续，且满足匸几）匸呂也兀口劝，匸几）池二f與）血. 证明：匸必兰f恶（X妙.（18）（本题满分9分） 设某商品的需求函数为G=100-5F，其中价格（。，0为需求量.（I）求需求量对价格的弹性 左启（左应 0 ）;精品文档#(II)推导=2(1-理/(其中应为收益)，并用弹性氏说明价格在何范围内变化时, 降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)46g设级数 +-+(-00 X 0,01.设耳疋Q，産川为来自总体的简单随机样本, (I)当6 = 1时，求未知参数0的矩估计量;(II)当 = 1时，求未知参数 0的最大似然估计量;(III) 当0=2时，求未

21、知参数的最大似然估计量2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题、填空题：16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 cos 、其 H 0*H其导函数在疋=0处连续，则兄的取值范围是Op兀=0，已知曲线y三疋一说F咒+鸟与乳轴相切，则可以通过山表示为护二设a()，/W = gO) = *a, 0 H 1,匕其他而。表示全平面则设维向量，0同尸卫(A)若另叫条件收敛,H-1(B) 若另叫绝对收敛,H-10D2戸代与S乐都收敛.M-1H-1(C)若兀耳条件收敛,U0工八Eg*敛散性都不确定.M “H.10(D)若E養绝对收敛,H-13V工耳与兀Qx敛散性都不确定.B-1H

22、-1(10)设三阶矩阵=占bb ，若川的伴随矩阵的秩等于1 ,则必有：(A) 说=Zj或说+ 25? = 0(B)僅=或億 + 2b 0(11)设砖，码”，塔均为垃维向量，下列结论不正确的是：()(A)若对于任意一组不全为零的数 俎，都有対丐十必2理+毘塔*0，则砖，码，,0；线性无关.(B)若丐灼人 线性相关，则对于任意一组不全为零的数&愆一代，有呃+呃+匕冬=(C)丐丹生线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为吕(D)q,逼厂*，迟线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关(12)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:& =掷第一次出现正面，& =掷第二次出现正面, 4 =正、反面各出现一次，

23、人=正面出现两次，则事件：()(A)為見相互独立(B)&相互独立精品文档25(C) 人4两两独立三、解答题：1322小题，共102分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(13)(本题满分8分) 设煮山 存盒一药士g)，试补充定义rn使得金在I上连续.（14）（本题满分8分） 设炖巧具有二阶连续偏导数，且满足兽+糾,又5）二心舟八心，求窖+鬻 （15）（本题满分8分） 计算二重积分/ =小2叫i口，其中积分区域口 = （兀0眉2.（16）（本题满分9分）求幂级数1+E （-厅一cH 0)，其中二次型的矩阵j4的特征值之和为1，特 征值之积为-12.(I)求

24、说上的值;(II)利用正交变换将二次型/化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵(21) (本题满分13分) 设随机变量的概率密度为0,其他巩X)是蛊的分布函数.求随机变量Y =的分布函数.(22) (本题满分13分) 设随机变量X与F独立，其中丘的概率分布为1F0G0.7而y的概率密度为/ M，求随机变量U = X + Y的概率密度S(W).2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )则limnn 2na 1 ln n(1 2a)交换积分次序:104dyf(X, y)dx112dy41:f(x,y)dx设三阶矩

25、阵A22 ，三维列向量a,1,1T.已知A与线性相关，则设随机变量X和丫的联合概率分布为丫-10100.070.180.1510.080.320.20则X2和丫2的协方差cov( X2，丫2)设总体X的概率密度为e (x),若xf(x； )0, 若x而X1,X2,L ,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内 ) (1)设函数f(X)在闭区间a,b上有定义，在开区间(a,b)内可导，则(A) 当 f(a)f(b) 0 时，存在 (a,b)，使 f()

26、0.(B)对任何(a,b)，有 limf(x) f( )0.(C)当 f(a)f(b)时,存在 (a,b)，使 f ( )0.(D)存在(a,b)，使f(b) f(a) f ( )(b a).(2)设幕级数nn 匕anX与1n 11bnxn的收敛半径分别为 与丄，则幕级数33i 1a2訂的收敛半径为()(A) 5(B)亍1(C)31(D)-5n矩阵，B是n m矩阵，则线性方程组AB x 0(A)当 n(C)当 mm时仅有零解n时仅有零解设A是n阶实对称矩阵,特征向量，则矩阵(A) P 1(B)当n m时必有非零解(D)当m n时必有非零解P是n阶可逆矩阵，已知 n维列向量p Fap t属于特征

27、值的特征向量是是A的属于特征值的(B)PT(C) P(D)设随机变量X和丫都服从标准正态分布,(A) X 丫服从正态分布(B)X2Y2服从2分布2 2 2(C) X和丫都服从 分布2 2(D) X /Y服从F分布三、(本题满分求极限x u2arcta n(10 0 limx 0t)dt dux(1 cosx)四、(本题满分设函数Uf(x,y,z)有连续偏导数，且z z(x,y)由方程xexyey zez所确定，求du.五、(本题满分设 f(sin2x) ,求专f(x)dx. sin x7l x六、(本题满分设Di是由抛物线 y 2x2和直线xa,x 2及y 0所围成的平面区域；D?是由抛物线2

28、x2和直线y 0 ,x a所围成的平面区域，其中0a 2.(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V ； D2绕y轴旋转而成的旋转体体积 V ；(2)问当a为何值时,V1V2取得最大值？试求此最大值七、(本题满分7分)(1)验证函数y(x)3x3!6x6!9x9!3nL 3n !满足微分方程y y(2)利用(1)的结果求幕级数3nx的和函数.3n !八、 (本题满分 6 分 )设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x) 0.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点a,b，使精品文档#ba g(x)dx.aba f (x)g(x)dx f (a九、 (本题满分 8分) 设齐次线性方程组其中

29、 a 0,b0,n 2 ，ax1bx2bx3Lbxn0,bx1ax2bx3Lbxn0,LLLLbx1bx2bx3Laxn0,a,b为何值时,试讨论方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解十、 (本题满分 8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A22A 0,已知A的秩r(A)(1) 求A的全部特征值(2) 当k为何值时，矩阵 A kE为正定矩阵，其中 E为三阶单位矩阵.一、 (本题满分 8 分)假设随机变量 U 在区间 2,2 上服从均匀分布,随机变量X1，若U1,若U1;-1,若 U1,若U1;试求：X和丫的联合概率分布；(2) D(X Y).十二、

30、(本题满分 8 分)假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布, 平均无故障工作的时间 E(X) 为 5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间丫的分布函数F(y).2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(1)设生产函数为Q AL K ,其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A, a伊匀为大于零的参数，则当Q =1时K关于L的弹性为某公司每年的工资总额比上一年增加20 %的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年的精品文档31工资总额(单位:百万元)，则Wt满足的差分方程是1设矩阵A11 ,

31、且秩(A)=3,则 k =1设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式P X -Y设总体X服从正态分布 N(0,0.22),而X1, X2,L X15是来自总体X的简单随机样本，则随X2 I X 2机变量Y X12 LX 服从分布，参数为2 X121 L X1；二、选择题(1)f (x)设函数f (x)的导数在x=a处连续，又 limx a x a1,则(A) x = a是f (x)的极小值点.(B) x = a是f (x)的极大值点.(C) (a, f(a)是曲线y= f(x)的拐点.(D) x =a不是f(X)的极值点，(a, f(a)也不

32、是曲线y=f(x)的拐点.设函数g(x) 01,2 .、_x2f (u)du,其中 f(x) 21 -(x 1),1 x7(x 1),0 x 1“,则g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递减(C)不连续(D)连续a11a12a13a14a14ai3a12a110001设Aa21a22a23a24,Ba24a23a22a21c0100,P0010a31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44a44a43a42a4110000P2 000100(B)0 ,其中A可逆，则B01PA 乜(GPPzA1设A是n阶矩阵，a是n维列向量若秩1等于(D) P2A1P1.秩(

33、A)，则线性方程组(A) AX =泌有无穷多解(B) AX = a必有惟一解.A(C) T 0X0仅有零解yAX(D) T 0 y0必有非零解-将一枚硬币重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数则X和丫的相关系数等于(A) -1(B) 0(D) 1exy八、(本题满分7分)、(本题满分5分)设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定： 十 X X zsin t + duxy 2和e t,求0 tdx、(本题满分6分)X c已知 f(X)在(-X，+ 刃内可导，且 limf(x) ejim()x lim f(x) f (x 1),求

34、c的值. Xx X c x、(本题满分6分)求二重积分 y1Dxe2 ydxdy的值其中D是由直线y=x, y= -1及x =1围成的平面区域已知抛物线y2pxqx(其中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1)问p和q为何值时，S达到最大？求出此最大值七、(本题满分6分)设f(X)在区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足f (1) k13 13xe0xf (x)dx,(k 1).证明：存在氏(0,1),使得f ()2(11)f().八、(本题满分7分)已知 fn(X)满足 fn(X) fn(x) x1eX (n为正整数)且fn(1)e-,求

35、函数项级数n九、(本题满分9分)1设矩阵A 111 .已知线性方程组AX =荫解但不唯一，试求:2(1) a的值；(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n , Aj是Aaijnn中元素aij的代数余子式(i，j =1,2，n),二次型f(X1，X2，L Xn)i 1n Aj jFiXj.(1)记 A (Xi,X2丄 Xn),把 f(X,X2，L Xn)Ai1j1評j.写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A； 二次型g(X) XtAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由十一、(本题满分8分)生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，

36、假设每箱平均重50千克，标准差为5千克若用最大载重量为5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 0.977.(2)=0.977,其中(是标准正态分布函数).十二、(本题满分8分)设随机变量X和丫对联和分布是正方形 G=(x,y)|1 3,1茫上的均匀分布，试求随机变量U=X-Y的概率密度p(u).一、填空题(1)(4)2000f xy,xydxx2xe e已知四阶矩阵A年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题y ,其中f,g均可微，则xx和B相似；矩阵为 A的特征值 丄丄,丄，丄则性列式I B-1 - E I2 3 4 5,13，x 0,1,设随

37、机变量X的概率密度为f（X）2,x 3,6,若k使得P X90,其他则k的取值范围是3假设随机变量 X在区间 1,2上服从均匀分布，随机变量00则方差DY=0二、选择题（1）设对任意的x，总有(X)f (x) g(x),且 limg(x)(x)0,则 lim f (x)(x（A）存在且等于零（C） 一定不存在(B)(D)存在但不一定为零不一定存在 设函数f （x）在点x=a处可导，则函数| f（x）|在点x=a出不可导的充分条件是（(A) f(a)0 且 f( a)0(B)f(a) 0 且 f( a)0(C) f(a) 0 且 f ( a)0(D)f(a) 0 且 f( a)0设ai,a2,

38、a3是四元非齐次线形方程组ABb的三个解向量，且秩3, ai(1,2,3,4)T,a2a3(1,2,3,4)t,c表示任意常数，则线形方程组AX b得通解X2(A)34(B)(C)(D)设A为n阶实矩阵,At是A的转置矩阵，则对于线性方程组Ax=0 和(n)xTAx 0 ,必有(（A）（ n）的解都是（I）的解，（I）解也是（n）的（B）（n）的解都是（I）的解，但（I）解不是（n）的（C）（I）解不是（n）的，（n）的解不是（I）的解（D）（ I）解是（n）的，但（n）的解不是（I）的解在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临精品文档

39、33界温度t。，电炉就断电，以e表示事件“电炉断电”，设T（1）T（2）T（3）T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于事件（A） T（1）（C）T（3）三、（本题满分求微分方程y四、（本题满分计算一重积分五、（本题满分6 分）6 分）2yt0t0（B）（D）2x 0T（2）t0T（4）t0满足条件y（0）0, y （0）1的解。2 d ，其中D是由曲线y a J a2 x2 （a 0）和直线y x围成的区域。D J4ax y6分）假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是精品文档35C 2Q 5，其中Pi 18 2Q, P3 12 2Q2

40、,其中P1, P2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元 /吨），Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q Q1 Q2（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润 最大化；并比较两种策略的总利润大小。六、（本题满分7 分）求函数y七、（本题满分6 分）八、九、设In04sinn xcosxdx,n 0,1,2,.,求（本题满分设函数f x试证明：在（本题满分6 分）在0,0,6 分）In。n 0上连续，且0 f xdx0, 0 f xcosxdx 0内存在两个不同的点1,