概率论与数理统计知识点总结35334

1、概率论与数理统计 第一章概率论的基本概念 2 样本空间、随机事件 1 事件间的关系 A B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件 B发生 ABxxA或xB称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当 A, B中至少有一个发生时，事件A B发生 ABxxA且 xB称为事件A与事件B的积事件，指当A, B同 时发生时，事件 A B发生 A B xx A且x B称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当 A发生、B不发生时，事件 A B发生 A B，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件 B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 A B S且 A B，则称事件A与事件B互为逆事件，又称

2、事件 A 与事件B互为对立事件 2 .运算规则 交换律A B B A A B B A 结合律（A B) C A (B C) (A B)C A(B C) 分配律A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B)(A C) 徳摩根律A B A B A B A B 3 .频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了 n次试验，在这n次试验中，事件 A发生的次数nA称为事 件 A 发生的 精品 频数，比值nA. n称为事件A发生的频率 概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A), 称为事件的概率 1 概率P(A)满足下列条件： (1) 非负性：对于

3、每一个事件 A 0 P(A) 1 (2) 规范性：对于必然事件 S P(S) 1 nn (3)可列可加性：设A1, A2, ,An是两两互不相容的事件， 有P( Ak)P(Ak) ( n可 k 1k 1 以取 ) 2.概率的一些重要性质： (i) P( ) 0 (ii )若A1, A2, An是两两互不相容的事件，则有 n P( Ak) k 1 P(Ak) k 1 (n可以取 (iii )设A, B是两个事件若 A B，则 P(B A) P(B) P(A), P(B) P(A) (iv )对于任意事件 A, P(A) 1 (v) P(A) 1 P(A) (逆事件的概率) (vi )对于任意事件

4、 A, B有P(A B) P(A) P(B) P(AB) 4等可能概型(古典概型) 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即 A 兔 勺久，里 i1, i2, ik是1,2, n中某k个不同的数，则有 k P(A) P j i k A包含的基本事件数 n S中基本事件的总数 5 条件概率 )定义：设A是两个事件，且P(A)0，称 P(B|A)曙为事件A发生的条 件下事件B发生的条件概率 (2) 条件概率符合概率定义中的三个条件 1。非负性：对于某一事件 B，有P(B|A) 0 2。规范性：对于必然事件 S，P(S | A) 1 3

5、可列可加性：设B1, B2,是两两互不相容的事件，则有 P( Bi A ) P(Bi A ) (3)乘法定理 i 1i 1 设P(A) 0，则有P(AB) P(B)P(A| B)称为乘法公式 n (4) 全概率公式：P(A)P(Bi)P(A| Bi) i 1 贝叶斯公式： P(Bk|A)nP(Bk)P(Ak) P(Bi)P(A|Bi) i 1 6 .独立性 定义 设A，B是两事件，如果满足等式 P(AB) P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立 定理一设A，B是两事件，且P(A) 0,若A，B相互独立，则P(B | A) P B 定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B

6、 ,A与B ,A与B 第二章随机变量及其分布 1随机变量 定义设随机试验的样本空间为S e. X X(e)是定义在样本空间 S上的实值单值函 数，称XX(e)为随机变量 2离散性随机变量及其分布律 1. 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量 P(XXk)Pk满足如下两个条件(1) Pk0 , (2)Pk =1 k 1 2. 三种重要的离散型随机变量 (1) ；分布 设随机变量 X只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (0 p 1)，则称X服从以p为参数的I分布或两 点分布。

7、(2) 伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A) p (0 p 1), 此时P(A) 1- p .将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。 P(X k) pkqn-k, k 0,1,2, n 满足条件(1) Pk0, (2)Pk =1 注意到 kk 1 n pkqn-k是二项式(p q)n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为 k n, p的二项分布。 (3 )泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为 k - e p(x k) ,k 0,1,2,其中 0是常数，则称 X服从参数为

8、的泊松分布记为 k! X () 3随机变量的分布函数 定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x) PX x,- x 称为X的分布函数 分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 (2) 0 F(x) 1,且 F( )0, F( )1(3)F(x 0)F(x),即F(x)是右连续的 4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F (x)，存在非负可积函数f (x)，使对 x 于任意函数x有F(x) - f( t)dt, 则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的 概率密度函数，简称概率密度 1概率密度f (x)具有以下

9、性质，满足(1)f(x) 0, (2) f (x)dx 1； (3)P(X1 XX2)f (x)dx ；(4)若 f (x)在点 x 处连续，则有 F，(x)f (x) x1 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 若连续性随机变量 X具有概率密度 f(x) 1 b- a 0 其他 从均匀分布记为X U ( a, b) (2)指数分布 若连续性随机变量 X的概率密度为 f(x) 1e-x x. 0 服从参数为 的指数分布。 (3 )正态分布 其他 b，则成X在区间(a,b)上服 其中 0为常数，则称X 概 率 密 度 为 1 f(x)忑 其中，( 0)为常数, 则称 X服从参数为 的正态

10、分布或高斯分布，记为 2) 特别，当 0, 1时称随机变量 X服从标准正态分布 5随机变量的函数的分布 定理 设随机变量 X具有概率密度 fx(x),- ,又设函数g(x)处处可导且恒有 g(x) o Y= g(X)是 连续型 变量，其 概率密度为 fv(y) fx h(y) 0 h(y), y ,其他 第三章 多维随机变量 1二维随机变量 定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S e. X X(e)和 Y Y(e)是定义在S上 的随机变量，称 XX(e)为随机变量，由它们构成的一个向量( X Y) 叫做二维随机变量 设（X , Y ）是二维随机变量，对于任意实数x , y ,二元函数 F

11、（x, y） P（X x） （Y y）记成PX x, Y y称为二维随机变量 （X, Y）的分 布函数 如果二维随机变量 （X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y） 是离散型的随机变量。 我们称P（X Xi, 丫 yj） pj，i，j 1,2，为二维离散型随机变量（X，Y）的分 布律。 对于二维随机变量（X，Y）的分布函数F （x，y），如果存在非负可积函数f（ x，y）， y x 使对于任意x，y有F （x，y）_f （ u，v） dudv,则称（X，Y）是连续性的随机变量， 函数f （x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量 X和Y的联合概率密度。 2

12、边缘分布 二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数 F （x，y）.而X和Y都是随机 变量，各自也有分布函数，将他们分别记为Fx（x）, Fy（y），依次称为二维随机变量（X，Y） 关于X和关于Y的边缘分布函数。 Pi? Pij PX xi，i 1,2, j 1 p?jPijPY yi，j 1,2, i 1 分别称pi? P?j为（X, Y）关于X和关于Y的边缘分布律。 fx (x) f (x, y) dy fv (y)f (x, y) dx 分别称 fX (x), fY（y）为X, Y关于X和关于Y的边缘概率密度 3条件分布 j，若 PY yj0, 定义 设（X, Y）是二维离散型随

13、机变量，对于固定的 则称PX xY川 f j 12为在丫力条件下 随机变量X的条件分布律，同样 PX 心丫 yjPij PY yj X Xi 丄，j 1,2,为在X Xi条件下随机 PXXiPi? 变量X的条件分布律。 设二维离散型随机变量 度为fY (y)，若对于固定的y， X, 丫的概率密度为f(x,y), (X, 丫关于丫的边缘概率密 fY(y) 0，则称f (x, y)为在Y=y的条件下X的条件概率密 度，记为 fxY(xy) = f (x, y) fY(y) fY(y) 4相互独立的随机变量 定义设F (x, y)及FX(x) , FY(y)分别是二维离散型随机变量(X, Y)的分布

14、函 数及边缘分布函数若对于所有x,y有PX x,Y y PX xPY y，即 Fx, y Fx (x)Fy (y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于二维正态随机变量(X, Y), X和Y相互独立的充要条件是参数0 5两个随机变量的函数的分布 1, Z=X+Y的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f (x, y).则z=x+丫仍为连续性 随机变量，其概率密度为fx y (z) f (z y, y) dy或fx y (z) f (x,z x) dx 又若x和Y相互独立，设(X, 丫)关于x, Y的边缘密度分别为fx (x), fY(y)则 fx y(z)fx (z y) f

15、Y(y)dy 和 fx y(z)fx(x) fy(z x)dx这两个公式称为 fx , fY的卷积公式 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2, Z Y的分布、Z XY勺分布 X 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f(x,y)，则 Z XY 仍为连续性随机变量其概率密度分别为 fY X (z)xf (x, xz)dx fxY(z) f (x,-)dx又若X和Y相互独立，设(X，Y)关 x 于X，Y的边缘密度分别为 fX(x), fY(y)则可化为fY X (z) fx (x) fY (xz)dx fxY ( z) 7fX(x)fY(x)dx 3 M maxX

16、，Y及 N min X ,Y的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX (x), Fy (y)由于 M maxX，Y不大于z等价于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又 由于X和Y相互独立，得到 M maxX，Y的分布函数为Fmax(z)Fx(z)Fy (z) N minX,Y的分布函数为 Fmin (z)11 Fx (z) 1 Fy(z) 第四章随机变量的数字特征 定义 设离散型随机变量 X的分布律为Px xk 1 数学期望 Pk , k=1,2，若级数Xk Pk绝对 k 1 收敛，则称级数 XkPk的和为随机变量 k 1 X的数学期望，记为 E(X)，即E

17、(X) Xk Pk i 设连续型随机变量 X的概率密度为f (x)，若积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分 xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为 E(X)，即E(X) xf(x)dx 定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数) (i )如果X是离散型随机变量，它的分布律为PX xk pk, k=1,2 ,若g(xk)pk k 1 绝对收敛则有E(Y) E(g(X)g(xk)pk k 1 (ii )如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为 f (x)，若 g(x) f (x)dx绝对收敛则 有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx 数学期望的几个重要性质 1设C是常

18、数，则有E(C) C 2设X是随机变量，C是常数，则有 E(CX) CE(X) 3设X,Y是两个随机变量，则有 E(X Y) E(X) E(Y); 4设X, Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY) E(X)E(Y) 2方差 2 2 定义 设X是一个随机变量，若E X E(X) 存在，则称E X E(X) 为X的方差， 记为D(x)即D(x) =E X E(X) 2，在应用上还引入量.D(x)，记为(x)，称为标 准差或均方差。 2 2 2 D(X) E(X E(X) E(X ) (EX) 方差的几个重要性质 1设C是常数，则有 D(C) 0, 2设X是随机变量，C是常数，则有 D(CX) C

19、2D(X) , D(X C) D(X) 3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特 另U,若X,Y相互独立，则有 D(X Y) D(X) D(Y) 4 D(X) 0的充要条件是 X以概率1取常数E(X)，即PX E(X)1 切比雪夫不等式：设随机变量 X具有数学期望 E(X)2，则对于任意正数，不等式 2 P X -成立 3协方差及相关系数 定义 量E X E(X)Y E(Y)称为随机变量 X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即 Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y) E(XY) E(X)E(Y) Cov(X，Y)

20、而 xy 称为随机变量 X和Y的相关系数 #D(X) pD(Y) 对于任意两个随机变量 X和Y， D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 协方差具有下述性质 1Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y) 2Cov(Xi X2，Y) Cov(Xi，Y) Cov(X2，Y) 定理 1XY 1 2XY 1的充要条件是，存在常数 a,b使PY a bx 1 当 XY 0时，称X和Y不相关 附：几种常用的概率分布表 分布 参数 分布律或概率密度 数学 期望 方差 两点分 布 0p 1 PX k) pk(1 p)i,k 0,1， p p(1 p) 二项式 分布 n 1 0p 1 P(X k) c：pk(1 p)n k,k 0,1, n， np np(1 p) 泊松分 布 0 k e P(X k) ,k 0,1,2, k! 几何分 布 0p 1 k 1 P(X k) (1 p) p,k 1,2, 1 p 1 p 2 p 均匀分 布 a b 1 . 一 、,a x b f(x) b a， 0 ，其他 a b 2 (b a)2 12 指数分 布 0 1xc f(x) e,x