第五章连续的交通流模型

1、第五章连续的交通流模型 1、守恒方程、守恒方程 2、动态模型、动态模型 3、交通波理论、交通波理论 4、小结、小结 第五章连续的交通流模型 一、守恒方程的建立一、守恒方程的建立 考察一个单向连续路段，考察一个单向连续路段， 在该路段上选择两个交通在该路段上选择两个交通 记数站，如图所示，该站记数站，如图所示，该站 点之间没有入口和出口。点之间没有入口和出口。 Ni：为：为t时间内通过时间内通过i站的车辆数；站的车辆数； qi：是通过站：是通过站i的的流量；的的流量； t：1、2站同时开始记数所持续的时间。站同时开始记数所持续的时间。 N： N =N2-N1 有如下公式：有如下公式： 11 /q

2、tN 22 /qtN qtN/ 第五章连续的交通流模型 如果如果x足够短，使得该路段内的密度足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量保持一致，那么密度增量k可表示为：可表示为： 负号：如果（负号：如果（N N2 2-N-N1 100），说明两站之间的车辆数减少，即密度减小。），说明两站之间的车辆数减少，即密度减小。 根据上公式可得到：根据上公式可得到： 根据流量关系有：根据流量关系有： 可以推导出：可以推导出： x NN k )( 12 Nxk Ntq xktq 第五章连续的交通流模型 进一步推导出：进一步推导出： 假设两站间车流连续：假设两站间车流连续： 该式描述了交通流的守恒定律

3、，即守恒方程或连续方程。该式描述了交通流的守恒定律，即守恒方程或连续方程。 0 t k x q 0 t k x q 第五章连续的交通流模型 如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下的形式：如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下的形式： 指车辆的产生（或）离去率，即单位长度、单位时间内车辆的产指车辆的产生（或）离去率，即单位长度、单位时间内车辆的产 生或离去数。生或离去数。 ),(txg t k x q ),(txg 第五章连续的交通流模型 二、守恒方程的解析解法二、守恒方程的解析解法 为了对方程进行求解，把流率为了对方程进行求解，把流率q当作密度当作密度k的函数：的函数：

4、q=g(k)，速度，速度u=f(k) 在平衡态时候可以有上面的假设。在平衡态时候可以有上面的假设。 根据公式：根据公式： 则守恒方程就可以变成只有一个未知量的方程，可以对其求解。而且为了简则守恒方程就可以变成只有一个未知量的方程，可以对其求解。而且为了简 化只考虑没有交通量产生和离去的影响，可以得到如下的公式：化只考虑没有交通量产生和离去的影响，可以得到如下的公式： kuq t k kkf xt k ku x )()( 0)( t k x k dk df k x k kf 第五章连续的交通流模型 f(k)为任意函数，可用格林希尔治速度为任意函数，可用格林希尔治速度密度线性模型密度线性模型 代入

5、上式可以得到：代入上式可以得到： 一阶线性微分方程，可以通过特征曲线方法求其解析解。一阶线性微分方程，可以通过特征曲线方法求其解析解。 0)( t k x k dk df kkf )/1 ( jf kkuu 0)2( t k x k k k uu j ff 第五章连续的交通流模型 一、交通流观测中的加速度一、交通流观测中的加速度 守恒方程里面：把速度看作是密度的函数守恒方程里面：把速度看作是密度的函数 实际中，交通流的平均速度不能瞬时地跟随密度发生变化，而驾驶员总是根实际中，交通流的平均速度不能瞬时地跟随密度发生变化，而驾驶员总是根 据前方密度来调整车速。据前方密度来调整车速。 设交通流的速度

6、为设交通流的速度为u（是时间和地点的函数），由微分知识得到下面的式子：（是时间和地点的函数），由微分知识得到下面的式子： )(kfu dx x u dt t u du u x u t u dt du dt du t u 观测车随交通观测车随交通 流行驶的加速流行驶的加速 度度 观测者在路边观测者在路边 固定点所观测固定点所观测 到的加速度到的加速度 第五章连续的交通流模型 假设假设 则有：则有： 则有：则有： x k dk du x u t k dk du t u )(kuu x k dk du u t k dk du dt du u x u t u dt du 第五章连续的交通流模型 由于：

7、由于： 根据守恒方程：根据守恒方程： 可以得到：可以得到： 0 t k x q x k u x q t k w )()(kqkkukuq x k u x k dk dq x q w uw是交通波 的速度 x k dk du u t k dk du dt du x k dk du u x k u dk du dt du w )()(uu x k dk du w 第五章连续的交通流模型 交通波速度：交通波速度： dk du kuku dk d dk dq uw)( x k dk du k dt du 2 )( 代入上式代入上式 第五章连续的交通流模型 观测者在路边固定点所观测到的交通流的加速度公式

8、可以写成：观测者在路边固定点所观测到的交通流的加速度公式可以写成： x k dk du u t k dk du t u w 可以正、负或零 x k u x q t k w t k dk du t u 第五章连续的交通流模型 二、速度动态模型二、速度动态模型 对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装 置都要有一个调整时间，车速的变化比前方置都要有一个调整时间，车速的变化比前方 x 处密度的变化滞后一个时处密度的变化滞后一个时 间间 ，于是以有公式：，于是以有公式： 上式左侧对上式左侧对，右侧对，右侧对x进行泰勒级

9、数展开，并略去高阶项得到：进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到： ),(),(txxkutxu x x k dk txkdu txku dt txdu txu ),( ),( ),( ),( 第五章连续的交通流模型 x的取值为：的取值为： 令：令： 同时：同时： 代入前面公式，可得：代入前面公式，可得： k sx 1 dk du u x u t u dt du )( 1 x k k uku x u u t u 连续形式的速度动态模型连续形式的速度动态模型 dt txdu txu ),( ),( x x k dk txkdu txku ),( ),( 第五章连续的交通流模型 对上面的公式进行差分处

10、理（空间离散化），可以得到：对上面的公式进行差分处理（空间离散化），可以得到： 为调整系数为调整系数 进一步进行时间离散化，可以得到：进一步进行时间离散化，可以得到： i ii ii i ii k kk i uu i u ukuu 1 1 )()( 1 )( )()( )()()()()()() 1( 1 1 jk jkjk i T jujuju i T jujku T juju i i iiiiiii 实用的速度动态模型实用的速度动态模型 道路交通流空间平均速道路交通流空间平均速 度的动态变化度的动态变化 第五章连续的交通流模型 上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能

11、够上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能够 较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性交较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性交 通拥挤现象的出现及消除过程。通拥挤现象的出现及消除过程。 但是在车道数有所改变或匝道流量较大情况下，需要对模型进行修正。但是在车道数有所改变或匝道流量较大情况下，需要对模型进行修正。 第五章连续的交通流模型 （1 1）瓶颈处的交通波现象）瓶颈处的交通波现象 第五章连续的交通流模型 一、交通波模型一、交通波模型 一条公路上两个相邻的一条公路上两个相邻的 不同交通流密度区域不同交通流密度区域A 和和B，

12、其分界线为，其分界线为S， S称为波阵面，其速度为称为波阵面，其速度为uw 假设假设A区域密度：区域密度：k1 B区域密度：区域密度：k2 u1区域区域A的交通流速度的交通流速度 u2区域区域B的交通流速度的交通流速度 ur1=u1-uw 区域区域A的车辆相对于的车辆相对于S的速度的速度 ur2=u2-uw 区域区域B的车辆相对于的车辆相对于S的速度的速度 第五章连续的交通流模型 根据守恒理论可根据守恒理论可 以得到：以得到： 时间时间t内通过界面内通过界面S的的 车辆数目假设为车辆数目假设为N则有：则有： 进而可以得到：进而可以得到： tkutkuN rr2211 2211 )()(kuuk

13、uu ww )( 121122 kkukuku w 第五章连续的交通流模型 根据流量基本公式根据流量基本公式: 可以得到：可以得到： kuq 111 ukq 222 ukq )( 121122 kkukuku w 12 12 kk qq u w k q u w dk dq u w 如果交通流率和密度变化很小如果交通流率和密度变化很小 波速的计算公式波速的计算公式 第五章连续的交通流模型 一般情况，在移动线一般情况，在移动线S两侧的密度差别不是无限小，方程可以写成如下形式：两侧的密度差别不是无限小，方程可以写成如下形式： 该式说明速度该式说明速度uw在流量在流量-密度曲线上是站密度曲线上是站1与

14、站与站2之间弦的斜率。之间弦的斜率。 )/()( 121122 kkkukuuw 第五章连续的交通流模型 二、交通波模型的意义二、交通波模型的意义 交通波描述了两种交通状态的转化过程，交通波描述了两种交通状态的转化过程，uw代表了转化的方向和进程。代表了转化的方向和进程。 uw0表示波面的运动方向与交通流的运动方向相同；表示波面的运动方向与交通流的运动方向相同； uw=0表示波面维持在原地不动；表示波面维持在原地不动； uwk1且且q2q1 此时传播的波为压缩波，由于此时传播的波为压缩波，由于 u uw w0 0 其传播方向由后向前。其传播方向由后向前。 波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行

15、驶方向相同的附加速度。波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相同的附加速度。 这相当于以较大的间距行驶的车队，后车催促前车依次不断加速逐步缩小这相当于以较大的间距行驶的车队，后车催促前车依次不断加速逐步缩小 间距的情况。间距的情况。 在实际的交通流中并不常见。在实际的交通流中并不常见。 第五章连续的交通流模型 2、k2k1且且q2q1 此时传播的波也是压缩波，但由于此时传播的波也是压缩波，但由于u uw w00，其传播方向自前向后。，其传播方向自前向后。 波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反附加速度波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反附加速度( (与波传与波传 播

16、方向相同播方向相同) )。 这相当于车队中的头车减速或刹车，跟随车辆依次采取同样的行为，如车这相当于车队中的头车减速或刹车，跟随车辆依次采取同样的行为，如车 队驶近信号灯控制的交叉口红灯启亮的情况，队驶近信号灯控制的交叉口红灯启亮的情况， 在实际的交通流中很常见。在实际的交通流中很常见。 第五章连续的交通流模型 3、k2q1 此时传播的波称为稀疏波，由于此时传播的波称为稀疏波，由于u uw w00，其传播方向自前向后。，其传播方向自前向后。 波传过后，车队中的车辆获得了一个与波的传播方向相反的附加速度。波传过后，车队中的车辆获得了一个与波的传播方向相反的附加速度。 这相当于缓慢行驶的车队逐渐启

17、动的情况。这相当于缓慢行驶的车队逐渐启动的情况。 在实际交通流中很常见。在实际交通流中很常见。 4、k2k1且且q200，其传播方向自后向前。，其传播方向自后向前。 波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反波传过后，车队中的车辆获得了一个与原行驶方向相反( (与波的传播方向与波的传播方向 也相反也相反) )的附加速度。的附加速度。 这相当于以一个较小间距行驶的车队，从队尾起各车辆依次减速，逐渐拉这相当于以一个较小间距行驶的车队，从队尾起各车辆依次减速，逐渐拉 大距离的情况。大距离的情况。 在实际交通流中并不常见。在实际交通流中并不常见。 第五章连续的交通流模型 三、停车波和启动波三、停

18、车波和启动波 1、模型的变化、模型的变化 格林希尔治速度格林希尔治速度密度模型：密度模型： 密度标准化：密度标准化： 则有：则有： 由于交通波速度为：由于交通波速度为： )/1 ( jifi kkuu jii kk / )1 ( 11 f uu)1 ( 22 f uu 12 12 kk qq u w 第五章连续的交通流模型 交通波速度公式变为：交通波速度公式变为： 进一步换算为：进一步换算为： 21 2211 )1 ()1 ( kk ukuk u ff w )(1 21 fw uu 第五章连续的交通流模型 2、停车波、停车波 车队以车队以u1速度行驶，遇到红灯停车，则此时速度行驶，遇到红灯停车

19、，则此时k2=kj，则有：，则有： 交通波速度为负，向后传播交通波速度为负，向后传播 时间时间t后车辆排队长度为：后车辆排队长度为： 11 )1(1 ffw uuu 1 2 tu f1 第五章连续的交通流模型 3、启动波、启动波 车辆启动，车辆启动， 则：则： 则有：则有： 则启动波速为：则启动波速为： j kk 1 1 1 )1 ( 212 uu )(1 2 2 f u u 格林希尔治速度格林希尔治速度密度模型密度模型 )1 (1 2 fw uu 2 f u )( 2 uu f 第五章连续的交通流模型 由于由于u2较小，通较小，通uf相比可忽略不计，则排队等待车辆从开始启动就产生了启相比可忽

20、略不计，则排队等待车辆从开始启动就产生了启 动波，而且该波以接近动波，而且该波以接近uf的速度向后传播。的速度向后传播。 第五章连续的交通流模型 四、交通波理论的扩展应用四、交通波理论的扩展应用 考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。 设三个交叉口的初始信息：设三个交叉口的初始信息： 信号的绿信比相同信号的绿信比相同 红灯时长均为红灯时长均为t tr r 忽略绿灯间隔时间忽略绿灯间隔时间 周期长均为周期长均为c c 绿灯起步时差为绿灯起步时差为t t0 0 交叉口交叉口n n与与n-1n-1间距离为间距离为x x1 1 交叉口交叉口n n与与n+1n+

21、1间的距离为间的距离为x x2 2 交通流初始平均速度为交通流初始平均速度为u u0 0 排队车辆的起动速度为排队车辆的起动速度为u u 初始时刻路段上的交通流处于平衡状态初始时刻路段上的交通流处于平衡状态 度度f f（x x）=k=k0 0设为常数，设为常数， 交又口交又口n n停车线位于停车线位于x0 x0处，处， t=0t=0时刻信号由绿灯变为红灯时刻信号由绿灯变为红灯 第五章连续的交通流模型 1、交叉口车辆运行状况分析、交叉口车辆运行状况分析 （1）车辆排队过程（）车辆排队过程（研究交叉口研究交叉口n n） t=0t=0，k(x,0)=f(x)=k0k(x,0)=f(x)=k0，路段上

22、各处密度相等，为稀疏流。，路段上各处密度相等，为稀疏流。 当交叉口当交叉口n n信号变为红灯时，车队在交叉口信号变为红灯时，车队在交叉口n n形成停车波，其波阵面记为形成停车波，其波阵面记为S S1 1， 而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度u u0 0行驶。行驶。 在在t=tt=tr r时刻，一列长度为时刻，一列长度为x=ux=uf fVt Vt r r的车队停在的车队停在x x0 0之后形成排队，如图所示。之后形成排队，如图所示。 第五章连续的交通流模型 （2）车队的消散过程（）车队的消散过程（研究交叉口研究交叉口n n） 在在t tr rtctc时刻，

23、交叉口时刻，交叉口n n信号变为绿灯，交叉口信号变为绿灯，交叉口n n排队车辆启动，形成启动排队车辆启动，形成启动 波，其波阵面记为波，其波阵面记为s s2 2。 起动波起动波S S2 2以速度以速度u uf f沿交叉口沿交叉口n n排队车辆从前向后传播，排队车辆以排队车辆从前向后传播，排队车辆以u u的速度的速度 通过交叉口通过交叉口n n 波传过后车队密度记为波传过后车队密度记为k k1 1, ,，设，设T Td d为排队车辆完全消散时间为排队车辆完全消散时间( (即车队开始起即车队开始起 动动),),车队完全消散：启动波追上停车波车队完全消散：启动波追上停车波 dfrdf TutTu )

24、( 1 1 1 1 r d t T 第五章连续的交通流模型 若若 T Td d c-t c-tr r 则排队车辆在一个周期内可以完全消散，否则 则排队车辆在一个周期内可以完全消散，否则 车队在一个周期内将无法完全消散，记车队在一个周期内将无法完全消散，记T Ta a为排队车辆完全通为排队车辆完全通 过交叉口过交叉口n n的时间，则有：的时间，则有： u tTu T rdf a )( 1 排队车队排队车队 排队车辆通过交叉口的速度 第五章连续的交通流模型 若若T Ta ac-tc-tr r 则排队车辆在一个周期内可以完全通过交叉口则排队车辆在一个周期内可以完全通过交叉口n n，否则排队车辆，否则

25、排队车辆 将在交叉口将在交叉口n n处形成二次排队，此时该周期内可通过的车辆数为：处形成二次排队，此时该周期内可通过的车辆数为： 滞留车辆数为：滞留车辆数为： 滞留车辆必须等待下一周期通过交叉口，若滞留车辆必须等待下一周期通过交叉口，若x x1 1足够长，排队车辆可能出现足够长，排队车辆可能出现 三，四次排队。三，四次排队。 )( 1r tcuk )( 11rrfj tcuktuk 第五章连续的交通流模型 2、上游交叉口对下游交叉口的影响、上游交叉口对下游交叉口的影响 研究交叉口研究交叉口n和和n1 0tt0，交叉口，交叉口n1信号为绿灯，此时交叉口信号为绿灯，此时交叉口n为红灯信号，从为红灯信号，从n交叉口驶交叉口驶 出的车辆以速度出的车辆以速度u0驶向驶向n1交叉口交叉口 t0tt0+tr时，交叉口时，交叉口n1信号变为红灯，交叉口信号变为红灯，交叉口n变为绿灯的时间为变为绿灯的时间为t0 若若x2= u0t0，则驶出交叉口，则驶出交叉口n的车辆将在下游交叉口的车辆将在下游交叉口n1处形成排队，而处形成排队，而 且且0排队长度为：排队长度为： j kktux/)( 0002 根据密