(完整word版)积分第一中值定理及其推广证明

1、2.1 积分第一中值定理证明 积分第一中值定理 : 如果函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续， g(x) 在( a, b )上不变号，并且 g(x) 在 闭区间a,b上是可积的，则在a,b上至少存在一点，使得 bb a f(x)g(x)dx f( ) a g(x)dx, (a b) aa 成立。 证明如下： 由于g(x)在闭区间a,b上不变号，我们不妨假设g(x) 0，并且记f(x)在闭区 间a,b上的最大值和最小值为M和m，即m f (x) M，我们将不等式两边同 乘以g(x)可以推出，此时对于任意的x a,b都会有 mg(x) f(x)g(x) Mg(x) 成立。对上式在闭区间a,b上

2、进行积分，可以得到 bbb m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx。 aaa 此时在 m,M 之间必存在数值 ，使得 m M ，即有 bb f(x)g(x)dx g(x)dx aa 成立。 由于f(x)在区间a,b上是连续的，则在a,b上必定存在一点，使f() 成立。此时即可得到 bb a f(x)g(x)dx f( ) a g(x)dx， aa 命题得证。 2.2 积分第一中值定理的推广 定理：(推广的第一积分中值定理)若函数 f(x)是闭区间a,b上为可积函数, g(x)在a,b上可积且不变号，那么在开区间 (a, b)上至少存在一点 ，使得 b (a,b) f(x)g(

3、x)dx f( ) a g(x)dx, a 成立。 推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。 证法1:由于函数f(x)在闭区间a,b上是可积的，g(x)在a,b上可积且不 变号，令F(x) xx a f(t)g(t)dt，G(x) 。g(t)dt，很显然 F(x),G(x)在a,b上连续。 并且F(a) b 0, F(b) f(t)g(t)dt， G(a) O,G(b) b g(t)dt，F ( ) f( )g()， a G( ) g( 由柯西中值定理即可得到 F(b) F(a) F () G(b) G(a) G ( (a,b)， 化简，即 b f(t)g(t)dt a b ag

4、(t)dt f( g() )g( 根据上式我们很容易得出 b f( ) g(t)dt, (a,b)， a 命题得证。 证法2:由于函数g(x)在a,b上可积且不变号，我们不妨假设g(x) 0。而 函数f(x)在闭区间 a,b上可积，我们令 m inf f (x) |x a,b， M sup f (x) | x a,b 假设F(x)是f(x)在闭区间a,b上的一个原函数，即 F (x) f (x), x a,b。 我们就可以得到下面等式 b m & g(x)dx bb f (x) g(x)dx M g(x)dx (2.2.1 ) aa 此时由于g(x) 0，贝U会有g(x)dx 0，由于存在两种

5、可能性，那么下面我们 a 就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论: (1).如果 b g(x)dx b 0，由等式(2.2.1 )可得出 f(x)g(x)dx 0，那么对 a 于 (a,b) 都有 bb f(x)g(x)dx 0 f( ) g(x)dx aa 恒成立。 bb (2).如果 g(x)dx 0，将(2.2.1 )除以 g(x)dx 可得 aa b a f (x)g(x)dx m M，(2.2.2 ) a g(x)dx 我们记 b f (x)g(x)dx b，(2.2.3 ) a g(x)dx 此时我们又分两种情形继续进行讨论: (I)如果(2.2.2 )式中的等号不成立，即有m

6、 b f (x)g(x)dx a b ag(X)dX M成立, 则此时一定就存在m M，可以使得 f(G f仪2) 我们不妨假设 X-iX2 ，这其中 Xi,X2 a, b 。因为 F (x) f(X)，X a,b，则会 F (Xi) f (Xi) f(X2) (X2)。 此时至少存在一点 任，X2)，使得F () f() ，即有 b f (x)g(x)dx f( ) g(x)dx, aa (Xi,X2)a,b 成立，从而结论成立。 (U)如果(2.2.2 )式中仅有一个等号成立时, 我们不妨假设 M，因 为 g(x)dx 0，此时一定存在区间ai,bi (a,b)(其中ai 0)，使得 x

7、qg， a 恒有g(X) 0成立, 我们可以将(2.2.3 )式进行简化 bb a g(x)dx a f(x)g(x)dx， aa 因为 M，贝u有 b M f(x)g(x)dx 0 (2.2.4 ) a 而且我们已知M f(X)g(X) 0，则 0XiMf (X)g(X)dX yi b M f(x)dx 0。 a 于是 M f ( x)g ( x) dx 0 ( 2.2.5 ) y1 在式子(225 )下必定存在 旧仙(a,b)，使得f ( ) M 。 如果不存在一个印4 (a,b)，使得f ( ) M，则在闭区间洛,上 必定有 M f(x) 0及 g(x) 0成立，从而使得 M f(x)g(x) 0。 b1 如果 M f(x)g(x)dx 0，由达布定理在印心上有M f(x)g(x):