2019年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

1、2019 年重庆市南开中学高考数学模拟试卷（理科）（3 月份）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. 已知全集 U=R， N= x| 2x 1 ， M= x|y=ln （ -x-1） ，则图中阴影部分表示的集合是（）A. x|-3 -1B. 0C.0D.-3x x|-3x x|-1x x|x2.设 0a 1，则“ logab 1”是“ b a”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知 a=log 2，b=5-3 ， c=2，则 a， b， c 的大小关系为（）A. a b cB. a c bC. c

2、b aD. c a b4.函数fx=ln x+2 x-6的零点所在的区间为（）（ ）D.（，）A.（，2）B.（，）C. （3， ）1234455.将函数的图象向左平移个单位得到函数g（ x）的图象，则函数 g（ x）的一个对称中心是（）A.（，）B. （-，-）C. （， ）D. （，- ）6. 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N（n modm），例如 10=2（ mod 4）如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的 n 等于（）第1页，共 20页A. 22B. 23C. 20D. 217. 算法统宗 是中国古代数学名著， 由明代数学

3、家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为 a，则 a =（）n1A. 23B. 32C. 35D. 388. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.9.若平面向量满足，则的最大值为（）A.B.C.D.第2页，共 20页10. 某人在微信群中发了一个 8 元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数

4、元，且每人至少领到 1 元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（）A.B.C.D.11.设 F1， F 2 分别是椭圆的左、右焦点，直线l 过 F 1 交椭圆 C于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足且 CF 1F2=30 ，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12. 若对于任意的实数 t，函数 f（ x） =（ x-t） 3+（ x-et） 3-3ax 在 R 上都是增函数，则实数 a 的取值范围是（）A.（-B. （）C. （D. （）二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 已知复数 z满足（ i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数=_14. 已知（ ax+1）n

5、 的展开式中， 二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则 a=_15. 已知定点A 20），点Px y，当（O为坐（，（ ， ）的坐标满足标原点）的最小值是2 时，实数 a 的值是 _16. 如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别为线段 AD ， BC 上的点，ABE =20 ，CDF =30 将 ABE 绕直线 BE、 CDF 绕直线 CD各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线 DF所成角的最大值为_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.已知 ABC 中， BC=2， B=45 ，=（ 0 1）（ ）若 SBCD=1，求 CD 的长；（ ）若 A=

6、30， =，求的值18. 某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码 t123456第3页，共 20页年产量 y（万吨）6.66.777.17.27.4（ 1）根据表中数据，建立y 关于 t 的线性回归方= t；（ 2）根据线性回归方程预测2019 年该地区该农产品的年产量附：对于一组数据（t1 ，y1），（ t2， y2）， （ tn， yn），其回归直线= t的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，= -（参考数据：（ ti）（ yi） =2.8，计算结果保留小数点后两位）19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形

7、且垂直于底面 ABCD ，AB=BC= AD，BAD =ABC=90 ， E 是 PD 的中点（ 1）证明：直线 CE平面 PAB；（ 2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D 的余弦值20. 已知椭圆 C： + =1（ ab 0）的离心率为 ，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0 相切（ ）求椭圆C 的方程；（ ）过椭圆的右焦点F 的直线 l 1 与椭圆交于A、 B，过 F 与直线 l 1 垂直的直线l2 与椭圆交于C、D ，与直线l2： x=4 交于 P求四边形ABCD 面积的最小值；求证：直线PA，PF ，PB 的

8、斜率 kPA，kPF， kPB 成等差数列第4页，共 20页21. 设函数 f（ x） =xlnx- ax2+（ b-1） x，g（ x） =ex-ex（ 1）当 b=0 时，函数 f（ x）有两个极值点，求a 的取值范围；（ 2）若 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与x 轴平行，且函数h（ x） =f（ x）+g（x）在 x（1， +）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a的取值范围22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为M是曲（ 为参数）线 C1 上的动点， 将线段 OM 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 ON，设点 N 的轨迹为曲线 C2以坐标原点

9、O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求曲线 C1， C2 的极坐标方程；（ 2）在（ 1）的条件下，若射线与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点（除极点外），且有定点T（ 4， 0），求 TAB 的面积23. 已知 a， b 均为正实数，且 a+b=1（ 1）求的最大值；（ 2）求的最大值第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：图中阴影部分表示的集合NCUM ，由 N=x|2x1=x|-3 x 0 ，M=x|y=ln （-x-1 ）=x|x -1 ，则 CUM=x|x -1 ，则 NCUM=x|- 1x 0 故选：C阴影部分用集合表示 为 NCUM ，只要求

10、出 M 、N 进行集合的运算即可正确理解集合 M 、N 所表达的含 义，以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键2.【答案】 B【解析】解：0a1，logab 1=logaa，0ba，0ba? b a，ba 推不出 0ba，0ba 是 b a充分不必要条件，即 “logb1”是“b a”的充分不必要条件a故选：B先找出 logab 1 的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定 义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本 题的关键3.【答案】 A【解析】解：0 5-3 50=1，；，abc故选：A第6页，共 20页容易得出，从而得出 a，

11、b，c 的大小关系考查对数函数、指数函数的 单调性，指数函数的值域，以及增函数的定 义4.【答案】 B【解析】解：f（1）=2-6 0，f （2）=4+ln2-60，f （3）=6+ln3-60，f （4）=8+ln4-60，f（2）f（3）0，m 的所在区 间为（2，3）故选：B据函数零点的判定定理，判断f （1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论 考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此 题是基础题5.【答案】 A【解析】解：函数，=，=+，把函数的 图象向左平移个单位，得到函数g（x）=cos2x+的图象，令，解得：x=（kZ），

12、当 k=0时对为（），函数的 称中心故选：A直接利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式 变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换图象的平移变，函数的第7页，共 20页换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性 质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6.【答案】 A【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出同时满足条件：被3除余1，被5除余2，最小两位数，故输出的 n 为 22，故选：A由已知中的程序框 图可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 n的值，模拟程序的运行 过程，分

13、析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查的知识点是程序框 图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基 础题7.【答案】 C【解析】解：由题意可知年 龄构成的数列 为等差数列，其公差为 -3，则 9a1+ （-3）=207，解得 a1=35，故选：C题龄为为-3则9a由意可知年构成的数列等差数列，其公差，1+（-3）=207，解得即可本题考查了等差数列的 应用，属于基础题8.【答案】 D【解析】解：根据三视图知，该几何体是在 圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，如图所示；第8页，共 20页结合图计该几何体的体积为中数据， 算23?2- ?）=V=?h- ?r=?

14、 ?（r故选：D根据三 视图知该几何体是在 圆柱的上面削掉的圆柱体，下面挖了半个球体，结合图中数据求出 该几何体的体 积本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题题，是中档 9.【答案】 D【解析】解：由题意，可得：，=4+4 16-4 4=52=2=3+52+2=55+4 55+455+4=52+2 2+3=（22）则的最大值为 2故选：D第9页，共 20页本题可根据题意把要求的向量重新 组合成已知向量的表达， 这样就能方便于计算，切记不要直接 计算本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点本题属中档题10.【答案】 B【解析

15、】解：如下图，利用隔板法，得到共计有 n=21种领法，甲领 3元“甲领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况有 2 种，甲领 4 元“甲领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况有 3 种，甲领 5 元 “甲领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况有 2 种，甲领 6 元 “甲领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况有 1 种，“甲领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况 总数 m=2+3+2+1=8，甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p=故选：B利用隔板法求出共 计有 n=21 种领法，由此能求出 “甲 领取的钱数不少于其他任何人 ”的情况 总数，由此能求出甲领取的钱数不少于其他任何人的概率本题考查概率的求法，考

16、查隔板法等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题11.【答案】 A【解析】解：设 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，F1，（-c，0）直线 l 过 F1 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足且第10 页，共 20页CF1F2=30，可得 C（0，则）= （-c-x，-y），解得A（，-）， （c，可得：即：，e（0，1）解得 e=故选：A利用已知条件求出 C 与 A 的坐标，把A 点的坐标代入椭圆方程即可求出 椭圆的离心率本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查12.【答案】 A【解析】3t 3在上都是增函数，解： f（x ）=（x-t）

17、（）R+ x-e-3ax2t2f （x）=3（x-t）+3（x-e）-3a0在 R 上恒成立，2t 2a（x-t ） （），+ x-e2t 2（2，（x-t） （）+ x-e =2 x-令 y=t-et，则 y=1-et，（-，0）上，y 0，（0，+）上，y0，t=0 时，ymax=-1，的最小值为，a ，故选：A3t 3在2t）利用 f （x）=（x-t ） （）R 上都是增函数，可得 f （x）=3（x-t ）+3（x-e+ x-e-3ax2-3a0在 R 上恒成立，分离参数2t 2值，即可a（x-t ）+（x-e ），再求出右边的最小得出结论本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性

18、，正确分离参数求最 值是关键第11 页，共 20页13.【答案】 -1-i【解析】解：=，故答案为：-1-i 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的基本概念，是基 础题14.【答案】 2【解析】解：由二项式系数和 为 2n=32，得 n=5，又令 x=1，项为5得各系数和（a+1），=243a+1=3，a=2故答案为：2先根据二 项式系数的和 为 2n，列出方程求出 n 的值；在对二项式中的 x 赋值 1列出关于 a 的方程求出 a 的值本题是一个典型的二 项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之 间的关系，这是容易出 错的地方，本

19、题考查通过给变量赋值求二项展开式的各 项系数和，这是解题的关键15.【答案】 2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图：（阴影部分）定点 A （2，0），点P（x ，y），设，要使当（O为坐标值时，原点）的最小 是 2第12 页，共 20页即 x=2 时，点P 落在直线 x=a 上，此时 a=2作出不等式 对应的平面区域，利用数量 积将进行化简，然后根据图象平移确定 a 的值 本题主要考查线性规划的基本 应用，利用数形结合是解决此 类问题的基本方法16.70解：AB 不动，由于AB CD，故无论直线 DF 运动到那里，其与 CD 的夹角不变，与 AB 的夹角也不变为 30若 DF 不动，

20、AB 转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当 AB 转动到 BF 的另一 侧且与原始位置共面 时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是 10，若 DF 转动同一平面的另一 边，此时两线的夹角为 70，取到最大值故答案为：70两者同时动 ，则线线 关系不易确定，可以先固定一个探究 规 律，再作出判断本题考查两异面直 线所成的角，由于本题中两条线不固定，在同时变动的情况下，两线的位置关系 变化不好确定，故本题采取了先固定一个， 进行研究得出规律17.12SBCD= BC ?BD?sin45 = BD =1BD=BCDCD 2=BC2+BD 2-2BC?BD ?cos45

21、 =4+2-4=2CD=6IIBD=2ADADCsin ACD =第13 页，共 20页BDC中，由正弦定理可知：，可得：sin BCD =，在 故= = = （ 12 分）【解析】积值，根据余弦定理即可解得 CD（）由已知利用三角形面 公式可解得 BD 的的值（II ）由已知可得 BD=2AD ，在ADC 中，由正弦定理可得 sinACD=，在BDC 中，由正弦定理可得 sinBCD=，即可计算得解的值本题主要考查了三角形面 积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的 综合应查计算能力和转化思想，属于中档题用，考 了18.=3.5 ，【答案】 解（ 1）由题意可知：， =72222222（ t

22、 i- ） =2.5 +1.5 +0.5 +0.5 +1.5 +2.5 =17.5， =0.16 ，又=-=7-0.16 3.5=6.44所以 y 关于 t 的线性回归方程为=0.16t+6.44（ 2）由（ 1）可得，当年份为2019 年时，年份代码t=8，此时=0.16 8+6.44=7.72 ，所以可预测2019 年该地区该农产品的年产量约为7.72 万吨【解析】（1）先计算出和，再代入公式可求得和，进而可得线性回归方程；（2）将2019 年的年份代 码 t=8 代入线性回归方程可得本题考查了线性回归方程，属中档题19.【答案】 （ 1）证明：取PA 的中点 F，连接 EF ，BF ，因

23、为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD， AB=BC=AD ， BAD =ABC =90 ，第14 页，共 20页BC AD，BCEF 是平行四边形，可得CEBF， BF? 平面 PAB，CE ? 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（ 2）解：四棱锥P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD ，BAD=ABC=90 ， E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=，PCO=60 ，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为45 ，可得： BN=MN， CN=M

24、N ，BC=1，22可得： 1+ BN =BN ，BN=，MN=，作 NQAB 于 Q，连接 MQ ，ABMN ，所以 MQN 就是二面角M-AB-D 的平面角， MQ = ，二面角 M-AB-D 的余弦值为：=【解析】（1）取PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF，利用直线与平面平行的判定定理 证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 M-AB-D 的余弦值即可本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考 查空间想象能力以及 计算能力20.【答案】 解：（ ） 椭圆 C：+=1（ a b 0）的离心率为， =

25、 ， a2= b2，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0 相切b=，a2=4， b2=3椭圆的方程为；（ ）斜率不存在时，方程为x=1，第15 页，共 20页代入椭圆方程可得y= ，|AB |=3，|CD |=2a=4，四边形 ABCD 面积为=6；斜率不为0 时，方程为 y=k（ x-1），代入椭圆方程可得（ 4k2+3） x2-8k2x+4k2-12=0设 A（x1 ， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x2=， x1x2=，|AB |=|x1-x2 |=，同理 |CD|=， +=+=2，|AB |CD | ，S|AB|CD | =， ABCD = 6，四边形 ABCD 面积的

26、最小值为； l1 的斜率存在时，则直线 l 2 的方程为 y=- （ x-1）令 x=4 ，则 P（ 4， - ），k+ =- =2 kPF PA+kPB=+=l 1 的斜率不存在时，由对称性知，kPA+kPB=2kPF直线 PA， PF ， PB 的斜率 kPA， kPF ，kPB 成等差数列【解析】椭圆C： +为22椭圆的（）=1（ab0）的离心率，可得 a =b，利用短半轴为半径的圆与直线x-y+=0椭圆C 的方程；相切，求出 b，即可求（） 分类讨论设椭圆方程，利用基本不等式，即可求四边形， 出方程代入ABCD 面积的最小值； 分类讨论，设出方程，证明 kPA+kPB=2kPF，即可证

27、明直线 PA，PF，PB 的斜率 kPA，kPF，kPB 成等差数列第16 页，共 20页本题考查椭圆 方程，考查直线与椭圆的位置关系，考 查分类讨论 的数学思想，属于难题221.【答案】 解：（ 1）当 b=0 时， f（ x） =xlnx- ax +-x，（ x 0）令 p（ x）=ln x-2ax，p（ x） = -2a= a（ -， 0）时， p（ x） 0，p（ x）在（ 0， +）单调递增，不符合题意 a（ 0，+）时，令p（ x） 0， x， p（ x）在上单调递增令 p（ x） 0， x（， +）， p（ x）在（， +）上单调递减令 p（） =-ln2 a-1 0， a又 p

28、（ 1） =-2 0， p=ln- 0，且 a时， f（ x） =xlnx- ax2-x 有两个极值点综上所述 a，（ 2） y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与x 轴平行，f（ 1） =0 且 f（ 1）0，f（ x） -ln x-2ax+b，b=2a 且 a1，h（ x） =xlnx- ax2+（ b-1） x+ex-ex，在 x（1， +）时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角即当 x 1 时， h（ x）=1+ln x-2ax+b-1+ex-e=ln x-2ax+2a+ex-e 0 恒成立，令 t（ x） =lnx-2ax+2a+ex-e，xt（ x） = +e -2a，设 （ x） = +ex-2a，（ x） =ex-，ex e， 1，（ x） 0，（ x）