空间向量与立体几何知识点与例题0001

1、空间向量与立体几何知方法总结.知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。ra定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB = OA+AB = a + b ； BA = OA-OB=a-b ； OP；(八 R) 运算律：加法交换律:-a + b = b + a加法结合律：(a + b) + p = a + (b + c)数乘分配律：k(a + b) = ka + Ab运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法

2、则3. 共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行 向量，a平行于b，记作a / b。(2) 共线向量定理：空间任意两个向量 a、b ( b工0), a / b存在实数人使a =Ab。(3) 三点共线：A、B、C三点共线 AB = A AC OC = xOA + yoB(其(4)与a共线的单位向量为4.共面向量平面内的向量叫做共面向量。(1) 定义：一般地，能平移到同 说明：空间任意的两向量都是共面的。(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量a,b共面的条件是存在实数 x, y使44弓(3)四点共面：若A、B、c、p四点共面

3、 AP = xAB+ yAC OP=xOA+y喇其中P = xa + yb。x+y+z=1) T5. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空间任一向量 P，存在一个唯一的有 序实数组x, y，z，使P二xa + yb + zp。订彳*若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,A,B,c是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z，使 OP =xOA + yOB + zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直

4、角坐标系0-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（x,y,z），使OA =xi +yi +zk，有序实数组（x,y,z）叫作向量a在空间直角 坐标系O xyz中的坐标，记作 A（x, y,z）， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。2 ）注：点A （x,y,z）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz中的点设为（0,y,z）彳 T T（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表示。空间中任

5、一向量 a = Xi + yj + zk =（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：T片若a = （ai,a2,a3），b= QbQ），则 aj b =佝 + 九还 + 鸟总 + d）， a *b= （a - ga? - b2,a3 - b3），几 a二 0ai,a2,a3）O R）， a b = aQ + a2b2 + asb?，$/%= a厂巾，a2 = *283 = kb3（八 R），a 丄 bu ab, + azD + Sbbs = 0。. 若 A（Xi，yi，zi），B（X2，y2，z2），则 AB = （x? - 为，y? 一 , z? - zi）。 一个向量在直角坐标系中的

6、坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定比分点公式：若A（Xi，yi，zi）+咲+叱z1+也）。推导：设P,B（X2，y2，Z2）, APmPB ,则点 p 坐标为（鑰1+,.+显然，当P为AB中点时，PC1%2（x,y,z）则（X -人 y - yi，z - zi） = UX2 - x,y2 - y,z2 - z）,zlLz）2 2 2也ABC中，A （xi，yi，zi） ,B（X2，y2，z2）,C（X3，y3，z3），P（xi +x2 +X3 yi + y2 + y3 77二角形重心 P坐标为32ABC的五心：内心P:内切圆的圆心，角平分线的交点。AP =ABiC

7、（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PC垂心P：高的交点：PAFB = PAFC = PB PC （移项，内积为0,则垂直） 一 1 * 重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP = 3（AB + AC）中心：正三角形的所有心的合一。扌(4).模长公式：若 a =18283) , b=(b,b2，b3),T 22呻+ a? 83 , | b |=b) = = ； 。| a H| b | J a； + a/ + as2 b, b2 b32A为钝角，钝角A (6)两点间的距离公式：若 A(x1, y1,z,) , B(x2,y2,z2), 则 |AB|=/Ay =揪7)2+(y2-

8、y1)2 +(zz-z.)2 ,则|a h Va a=ia(5)夹角公式：cos(a2 2 2+ b2 + b3a1bi+ a2b2 + a3b3A ABC中 AB AC 0 A为锐角 AB AC c 0或 dA,B = J(X2 Xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 z,)27.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,j，在空间任取一点O,作0人=a, 则NAOB叫做向量a与b的夹角，记作吒a,b ；且规定0兰兀4q彳斗斗 兀J H呻彳a,b= b,a；若叫做a,b的数量积，记作a b ,显然有（J）向量的数量积：已知向量 即 a b =活| |b| COSV a

9、,b A。（4）空间向量数量积的性质：_ 4 4 。（5）空间向量数量积运算律（几 ab =入（a b）= a （b + c） = a，b +a,b,4仆）。4c （分配律）。b=o。 la卜aa。4 H彳扌a七二b焙（交换律）。不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何（高考答题必考）1线线平行二两线的方向向量平行1-1线面平行二 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行U两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面） =两线的方向向量垂直2- 1线面垂直二 线与面的法向量平行2-2面面垂直二 两面的法向量垂直3线线夹角日两条异面直线所成的角：1、定义：设a b是两条异

10、面直线，过空间任一点 0作直线a/a,b/b，则a/与H所夹的锐角或直 角叫做a与b所成的角.2、范围：两异面直线所成角0的取值范围是Tj-09 3-3面面夹角（二面角）0O,180O: （1）若AB、CD分别是二面角 直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与CD的夹角（如图（a）.（2）设 ni、n2 是二面角 a -1 -P是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）.的两个角a、所示）rnP的法向量，则向量ni与n2的夹角（或其补角）就若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量ni,n2的夹角；法向量同进同出，贝面角等于法向量的夹角的补角.COST = cosw n1,n24如果令平面

11、a的法向量为n,考虑到法向量的方向，可以 的距离为r 4,BO =0cosoAB0=O =得到B点到平面a4点面距离h :如图（a）所示，B0丄平面a，垂足为0,贝U点 平面a的任一条斜线段，则在Rt BOA中， BO=BAB到平面a的距离就是线段BO的长度.若AB是h=4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离应用举例:例1:如右下图，在长方体ABCABCD中，已知AB=4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段 AB BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C- DE- C的正切值；(2) 求直线EC与FD 解：(I )以A为原点

12、，则 D(0,3,0)、D(0,3,2) 、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C響是T T T于是，DE =(3, ,0), EG =(1,3,2), FD1 =(Y2,2) 设法向量n =(x,y,2)与平面CDE垂直，则有彳 T、,n 丄DE I3x -3y =0 1彳 1X = y = 1n 丄ECJx+3y+2z=0jn = (1, 1,2),:向量 AA(0, 0, 2)与平面 CDE垂直，n与AA1所成的角.0为二面角C - DE -C1的平面角 c n *Aa1l-1咒0-10+2咒2 恵,cos 9 =- = -p _F=|n| x| AA1 | J1 +1 + 4xj0 +

13、0+43二 tan & =2(II )设EC与FD所成角为p,贝JT T|EG |FD1 |cos.iFDyB所成的余弦值.,AB,AD,AA分别为X轴，y轴,Z轴的正向建立空间直角坐标系,ZDIAA1AlCl1x(旳 +3x2 +2X2d2 +32 +22 X J(r)2 +22 +224214例2:如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD菱形,/ DAB=60, PD丄平面 ABC DP D=AD点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PEDL平面PAB（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）v面 ABCD是菱形，/ DAB=60, ABD是等边三角形，又E是AB中点，

14、连结BD/ EDB=30,Z BDC=60,aZ EDC=90,1如图建立坐标系 D-ECP设AD=AB=1贝J PF二FD,ED32 2二 p (0, 0,1) , E (当,0 , 0), B (厲2 鳥，0)2 2 Pb=(至22, -1), PE=(耳0,-1),平面PED的一个法向量为dC= (0, 1,0),设平面PAB的法向量为n= (x, y, 1)331x_y_1=0 r 21 ； 2= 73X1=0y = o2由険車, jn 丄 PE n=(#, 0, 1)73由(知：F(0, 0, 2), FB=(f1, -2), fe =2 2(x,yT 导|(x,y,-1)(孕0,-

15、1)=07311,x y + =0222坚厶0I 22y = 0 n1=(兮,0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0 = |cosvn,Jin ni5/7-140,1,-1)=02 2 晅=彳(x, y,1) (计,0,1)=0 DC n =0即 DC 丄n平面PEDL平面PAB424解：由(1)知平面PAB勺法向量为n=( 2 , 0, 1),设平面fab的法向量为n1=(x, y, -1),73ClA1例3:在棱长为4的正方体ABCD-AB1C1D中，C是正方形ABGD的中心，点P在棱CG上,且CG=4C P.(I )求直线AP与平面BCGB1所成的角的大小(结果用反三角

16、函数值表示)；(n )设C点在平面DAPh的射影是H ,求证：DHLAP(m )求点P到平面ABD的距离.解:(I )如图建立坐标系D-ACD,T棱长为4 d(4 , 0 , 0) , B (4 , 4 , 0),斗0 , 4 , 1) AP 二(-4, 4, 1),显然 DC = (0 , 4 , 0)为平面BCGB1的一个法向量直线AP与平面BCGB1所成的角0的正弦值sin 0 = |cos|= , 16/厂警v4 +4 +14330为锐角，直线AP与平面BCGB1所成的角0为arcs in(皿)设平面ABD勺法向量为n= (x, y, 1)/ AB=-由n丄AB , n丄ADJ 得卩卜

17、4x + 4=0 T H AP Tl=(0 , 4 , 0), AD1= (-4, 0 , 4)n=( 1, 0, 1)点P到平面ABD的距离d =例4:在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD-ABiCD中，0是底面中心，求A0与BiC的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD,则0( 1,2, 3)，C(0，2, 0)二 AO =(-1,1, -3)BC =(-2,0,-3)AB1 =(0,2,0)设AO与BC的公共法向量为n=(x,y,1),贝J片丄A0：n 丄 B,C&,y,1)(1,1,3)=0x + y3 = 0Jx,y,1)(一2,0, 3)=0I2x3=03AiO与BiC的距离为d =lA1B1*nl|n|了 3 3 b(0,2,0一,一,1L(2233/22i 11 11 +1七例5:在棱长为1的正方体ABCD-AiGDi 中，E、F 分别是BG、CD的中点，求A到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD,贝J B (1, 1, 0), A(1,0, 1), E( 3 , 1, 1) A1 到面 BDFE的距离为 d mLAB巴U 啤,T22,1 = j22+(-2)2 +1|n|1-3|3- BD =(-1,-1,0)BE =(-1,0,1) AB =(0,1,-1)设面BDFE的法向量为n = (x,y,1),贝JIBd,1,00占厂0|