用空间向量解决立体几何的几大问题

1、For pers onal use only in study and research; not forcommercial use荿用空间向量解决立体几何的 平行冋题莆浙江曾安雄莃一、线线平行问题OA / BD .例2袇已知直线OA_平面：，直线BD_平面，O,B为垂足.求证:袁莈证明:为沿x,以点O为原点，以射线OA为非负z轴，如图1,建立空间直角坐标系 y, z轴的单位向量，且设 BD = (x, y z).O xyz, i, j, k BDi 亍(x, y, z)(10,0)=x=0,图1蕿 BD-j = (x, y, z)(0,0)=y=0 .即 OA / BD .腿 BD =(0

2、,0, z) , BD = z- k . BD / k ,蚃点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明T *OA - BD 即可.芁二、线面平行问题羆例2 已知ABC ABiG是正三棱柱， D是AC的中点，求证：AR /平面DBC .螂证法1:建立如图2的空间直角坐标系 A_xyz .设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b ,管3 aA(0,0,0 B a,I 220 , Ci(0 , a, b) , Bi a,b, d(0, a 0 . 丿i2丿蚅设平面DBCi的法向量为 n = (x y, z),BD3a, 0,0, DC丿 12 丿n- BD =蚃由 n _ BD , n _ DCi，得_,

3、 rdax =0,2an- DCiy bz =0,2x = 0,azy.2b蒁取得y,得n= 0i，诗.螈由AB3a“a ,2 2袀得ABi _ n，即AB衿证法2:如图3,记2b =0,/ 平面 DBCi .T t IAB = a, AC = bAAi = c ,tt T T 1 t T I 1蒇贝y ABi 二a c,DB 二 AB AD =a - b,DCi 二 DC CCi b + c .2 2羂-DB DCi 二 a c 二 ABi ,DB, DCi, ABi 共面.芁又/ B平面 GBD , AB1 / 平面 DBC1 .蚁点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：向量p与两个不

4、共线的向量 a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p = xa yb .利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法 2设n为平面:的法向量，要证明a / ：,只需证明an= 0 ,如证法 1.芆莆三、面面平行问题蚂例3 已知正方体 AG的棱长为1 , E, F, G分别为AB, AD, AA的中点，求证：平面 EFG / 平面 BGD1 .肇证明：建立如图 4所示的空间直角坐标系 D _xyz ,艿则 A(1,0,0) B(1 1,0) G(0 ,1,0, D(0 ,0,0) A (1,0,), Bi(1 , 1) , D(0 ,0,1 ).m f 1 )f 1) f 1

5、)蒆得 E 1, 0 , F - , 0, 0 , G 1, 0 ,-.I 2丿2丿J 2丿肂设口 =(n , y , zj为平面EFG的法向量，设 兔=(% , y2, Z2)为平面BQD1的法向量.螀空间计算：口 =(1, -1, -1), n2(1, -1, -1).肇由口 = n2 ,得平面EFG /平面BQDt .点评：设n, , n2分别为平面：，-的法向量，要证:-/ -,只需证明：存在一个非零常数,满足n二n2，U ： / 1 其实本题也可转化为线线平行，则面面平行即用向量先证明fD1G / GE , D1B1 / EF ,则有线面平行，从而平面EFG /平面B1GD1 .以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途to员bkogA.nrogeHKO TOpMenob3ygoiflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B3OBaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen fStudien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden