第二章-卷积积分与积分变换1

1、工程应用数学工程应用数学 主主 讲讲 北京理工大学机械与车辆学院北京理工大学机械与车辆学院 李晓雷李晓雷 第二章第二章 卷积积分与积分变换卷积积分与积分变换 本章主要复习傅立叶级数，介本章主要复习傅立叶级数，介 绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响 应与卷积积分、傅立叶变换和拉普应与卷积积分、傅立叶变换和拉普 拉斯变换及其性质。拉斯变换及其性质。 2.1 2.1 傅立叶级数傅立叶级数 2.2 2.2 脉冲响应与卷积积分脉冲响应与卷积积分 2.3 2.3 傅立叶变换傅立叶变换 2.4 2.4 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2.1 2.1 傅立叶级数傅立叶级数 1 1 周期函数

2、的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数 2 2 复数形式的傅立叶级数复数形式的傅立叶级数 1 1 周期函数的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数 如果如果g(t)是以是以T 为周期的周期函数，即为周期的周期函数，即 g(t+T) = g(t) 并且并且g(t)还满足下列条件还满足下列条件(Dirichlet条件条件) 1. 在在- -T/2，T/2上连续上连续,或者只有有限个一类或者只有有限个一类 间断点间断点(即存在极限的间断点即存在极限的间断点); 2. 只有有限个极值；只有有限个极值； 3. 在在- -T/2，T/2上绝对可积，即上绝对可积，即 /2 /2 | ( )|d T T g tt 则在则在

3、-T/2，T/2上上g(t)可以展成傅立叶级数，可以展成傅立叶级数， 即有即有 这里：这里： 0 00 )sincos()( p pp tpbtpatg 0 0 cos() pp p cpt 称为周期函数称为周期函数g(t)的基频的基频 T 2 0 p0(p=2，3，)称为基频称为基频的的p次倍频。次倍频。 a0=c0， b0=0 0=0 p=1,2, 2 0 2 1 ( )d T T cg tt T 2 0 2 2 ( )cosd T p T ag tpt t T 2 0 2 2 ( )sind T p T bg tpt t T 222 ppp cab arctan p p p b a co

4、s p p p a c sin p p p b c ap、bp、cp和和p(p=0,1,2,)称为周期函数称为周期函数 g(t)的傅立叶系数或谐波系数，的傅立叶系数或谐波系数， cp是谐波的振幅是谐波的振幅, p是谐波的初相位。是谐波的初相位。 c1cos(t1)称为周期函数称为周期函数g(t)的基波；的基波； cpcos(ptp) （p1）称为周期函数）称为周期函数g(t)的的 基波的基波的p次谐波。次谐波。 2 2 复数形式的傅立叶级数复数形式的傅立叶级数 单边傅立叶级数单边傅立叶级数 根据欧拉公式根据欧拉公式 有有 代入代入g(t)的傅立叶级数表达式的傅立叶级数表达式,有有 i ecos

5、isin 0 i 0 cosRee pt pt 0 i() 0 00 ( )cos()Ree p pt ppp pp g tcptc 0 i 0 Ree pt p p A 这里这里 0 = 0 = ap ibp = cp(cosp isinp) 2 00 2 1 ( )d T T Acg tt T i e p pp Ac 2 00 2 2 ( )(cosisin)d T T g tptptt T 0 2 i 2 2 ( )ed T pt T g tt T p=1,2, 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6 -5 0 5 双边傅立叶级数双边傅立叶级数 由于对任意复数由于对任意复

6、数z有有 因此，当因此，当p0时时 Re 22 zz z 000 iii 1 Reeee 2 ptptpt ppp AAA 00 2 ii 2 1 2 ( )ed e 2 T ptpt T g tt T 00 2 ii 2 1 2 ( )ed e 2 T ptpt T g tt T 00 2 ii 2 1 ( )ed e T ptpt T g tt T 00 2 ii 2 1 ( )ed e T ptpt T g tt T 则则 而而 令令 0 2 i 2 11 ( )e(i) 2 T pt ppp T dg tdtab T 0 2 i 2 1 ( )d T pt p T dg t et T

7、0 2 i 2 11 ( )e(i) 2 T pt pp T g tdtab T 0 2 i() 2 1 ( )e T pt p T dg tdt T 0 2 i 2 1 ( )e T pt p T g tdtd T 因而可以得到因而可以得到 即即 000 Reeee0 iptiptipt ppp Addp 00 ii 0 ( )Reee ptpt pp pp g tAd 在频率轴的正半轴上，双边谱的系数在频率轴的正半轴上，双边谱的系数dp与单边谱与单边谱 的系数的系数Ap之间有如下关系之间有如下关系 Ap= 2dp ReAp= 2Redp ImAp= 2Imdp 通常用频谱图来直观显示周期函

8、数所包含的频通常用频谱图来直观显示周期函数所包含的频 率成分及其大小。率成分及其大小。 以频率以频率f (很少用很少用)为横轴，分别以为横轴，分别以cp(或或Ap) 和和p为纵轴作图，并称为纵轴作图，并称f cp图为图为g(t)的幅频图，的幅频图， f p图为相频图。图为相频图。 一般来说，频谱图多为单边的，只画出一般来说，频谱图多为单边的，只画出f 0的的 部分。部分。 周期函数频谱图的特点是只在离散点周期函数频谱图的特点是只在离散点0，f ， 2f ，上有值，被称为离散谱，有时也形象，上有值，被称为离散谱，有时也形象 地称为谱线图。地称为谱线图。 例：求下图所示周期方波信号例：求下图所示周

9、期方波信号g(t)的傅立叶级数的傅立叶级数 10 2 ( ) 10 2 T t g t T t a0=c0=0 2 0 2 2 ( )cosd0 T p T ag tpt t T 2 0 2 2 ( )sind T p T bg tpt t T 02 00 20 2 ( 1)sindsind T T pt tpt t T 02 0200 00 211 cos( cos) T T ptpt Tpp 00 0 21 1 cos() 1 cos() 22 TT pp T p 利用利用 0T = 2 ，有，有 2 1 cos p bp p 4 1,3,5, 02,4,6, p p p 即即 000 4

10、11 ( )sinsin3sin5 35 g tttt 0 1 4sin (21) n nt n 另外另外 00 02 ii 20 2 ( 1)eded T ptpt p T Att T 00 ii02 20 00 211 () ii ptpt T T ee Tpp 00 ii 22 0 21 (1)(1) i TT pp ee T p ii 4 (1) i22 pp ee p 因此因此 2 (1 cos) i p p 4 1,3,5, i 02,4,6, p p p 000 ii3i5 444 ( )ReeReeRee ii3i5 ttt g t 0 i(21) 1 4 Ree i(21)

11、nt n n 同样同样 1 (i) 2 ppp dab 2 1,3,5, i 02,4,6, p p p 0 i(21) 2 ( )e i(21) nt n g t n -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1-0.500.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.

12、51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.500.51 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1-0.500.51 -1 -0.5 0 0.5 1 周期函数的均方值周期函数的均方值 如果如果g(t)是简谐函数，即是简谐函数，即 g(t)=Acos

13、0t 则则g(t)的均方值为的均方值为 2 2 222 0 2 1 ( )cosd 2 T T A gtAt t T 显然，简谐函数的均方值只与它的振幅有关，显然，简谐函数的均方值只与它的振幅有关， 与它的频率无关。与它的频率无关。 如果如果g(t)是周期函数，则可展为傅立叶级数是周期函数，则可展为傅立叶级数 g(t)的均方值为的均方值为 00 0 ( )(cossin) pp p g taptbpt 2 22 2 1 ( )( )d T T gtgtt T 2 2 00 2 0 1 (cossin) d T pp T p aptbptt T 2 00 2 00 00 1 (cossin) c

14、os()sin()d N T pp T Np NpNp aptbpt T aNptbNptt 根据三角函数的性质根据三角函数的性质 2 00 2 cossind0 T T mtnt t 2 00 2 coscosd0 T T mtnt t (mn) 2 00 2 sinsind0 T T mtnt t (mn) 2 2 0 2 cosd 2 T T T pt t 2 2 0 2 sind 2 T T T pt t p=1,2, p=1,2, 有有 2 22222 00 2 0 ( )(cossin)d T pp T p gtaptbptt 222 0 1 1 () 2 pp p aab 22

15、0 1 1 | 2 p p AA 2 | p p d 上式为周期函数的巴塞伐上式为周期函数的巴塞伐(Parserval)公式。公式。 它的右端为一无穷级数，级数的每一项是周期它的右端为一无穷级数，级数的每一项是周期 函数的谐波的均方值。函数的谐波的均方值。 巴塞伐公式表明，周期函数的均方值是它的基巴塞伐公式表明，周期函数的均方值是它的基 波和各次谐波的均方值之和。波和各次谐波的均方值之和。 可以解释为，周期函数在时域内的总能量等于可以解释为，周期函数在时域内的总能量等于 在频域内的总能量。在频域内的总能量。 巴塞伐公式表明，在频域中，运动的总能量是巴塞伐公式表明，在频域中，运动的总能量是 各谐

16、波能量之和。换句话说，在频域中能量可各谐波能量之和。换句话说，在频域中能量可 按谐波直接相加。按谐波直接相加。 2.2 2.2 脉冲响应与卷积积分脉冲响应与卷积积分 1 1 脉冲函数脉冲函数 2 2 脉冲响应脉冲响应 3 3 卷积积分卷积积分 1 1 脉冲函数脉冲函数 脉冲函数又称为脉冲函数又称为函数函数,定义如下：定义如下： 它表示在它表示在t = 0时刻作用的一个幅值无穷大，但时刻作用的一个幅值无穷大，但 冲量为冲量为1的脉冲力。力学上称为单位脉冲力。的脉冲力。力学上称为单位脉冲力。 1d)( 00 )( tt t t -2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5 -1 -0.

17、5 0 0.5 1 1.5 2 1 t 在在时刻作用的单位脉冲力可表示为：时刻作用的单位脉冲力可表示为： 1d)( 0 )( tt t t 在任意时刻在任意时刻作用的幅值为作用的幅值为 的脉冲力可以表示的脉冲力可以表示 为为 意义：在意义：在时刻的一个力值无限大，但作用时时刻的一个力值无限大，但作用时 间为零的脉冲力。间为零的脉冲力。 F ( )()F tFt 其冲量为：其冲量为： ()dFttF 函数性质：函数性质： (a) 如果如果F(t)是一个连续函数，则是一个连续函数，则 ( ) ()d( )F tttF (b)(t)为偶函数为偶函数，即，即 (t) = ( t) 2 2 脉冲响应脉冲

18、响应 例：设如图所示单自由度系统在例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止，以前静止， 在在t = 0时受到脉冲力时受到脉冲力(t)的激励。的激励。 这里：这里：0 表示小于零但无限接近于零的时刻， 表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。表示大于零但无限接近于零的时刻。 运动微分方程运动微分方程 ( )( ) (0 )0, (0 )0 mxcxkxf tFt xx 根据动量定理，在根据动量定理，在0 到 到0+这段时间内系统动量的这段时间内系统动量的 改变为改变为 mv(0+)mv(0 ) = 即在即在t=0时的脉冲力作用下，质量的速度时的脉冲力作用下，质

19、量的速度v由由 v(0 )=0变为 变为v(0+)= /m，而位移没有变化。，而位移没有变化。 F F 当当t0后，系统不受外力，是自由振动。后，系统不受外力，是自由振动。 系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为 =1时，即系统受到单位脉冲力作用时，系统响时，即系统受到单位脉冲力作用时，系统响 应称为系统脉冲响应，用应称为系统脉冲响应，用h(t)表示：表示： 0 (0 )0,(0 )/ mxcxkx xxF m ( )esin(0) nt d d F x ttt m F 1 ( )esin(0) nt d d h ttt m 在在t时刻以前静止的系统，在时刻以前静止的系统，在t时受一个单时受

20、一个单 位脉冲力激励后的响应为：位脉冲力激励后的响应为： 012345678910 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 () 1 ()esin()() n t d d h ttt m 3 3 卷积积分卷积积分 以上例说明卷积积分。以上例说明卷积积分。 在振动系统受任意持续激励时，可把激励看为一在振动系统受任意持续激励时，可把激励看为一 系列脉冲力的迭加。设在系列脉冲力的迭加。设在t = 时刻附近的冲量。时刻附近的冲量。 ( )dFF 它对它对t 上一定存在上一定存在,并且积分并且积分 |( )|e t g tM 0 ( )( )ed st G sg tt 绝对可积且一致

21、收敛，绝对可积且一致收敛，G(s)为解析函数。为解析函数。 2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 1.线性线性 2.微分微分 LLa1g1(t)+a2g2(t)=a1LLg1(t)+a2LLg2(t) LL 1a1G1()+a2G2()=a1L L 1G1()+a2L L 1G2() LLg(t) = sLLg(t) g(0) LLg(t) = s2LLg(t) sg(0) g(0) LLg(n)(t) = snLLg(t) = snLLg(t) sn 1g(0) sn 2g(0) sg(n 2)(0) g(n 1)(0) (1) 1 (0) n njj j sg 3.积分积分 LL =s

22、 1LLg(t) 0 ( )d t g tt 4.延时延时 LLg(t )= LLg(t) e s 5.位移位移 LL eatg(t) = G(s a) 6.尺度尺度 LL g(at)= 1 ( ) s G aa 7.初值与终值定理初值与终值定理 LLg(t) = G(s) 且且 存在存在 则则 (a)初值定理初值定理 如果如果 lim( )sG s s (0)lim( )lim( ) 0 gg tsG s s t (b)终值定理终值定理 如果如果 LLg(t) = G(s) 且且 存存 在在 lim( )g t t 则则 ( )lim( )lim( ) 0 gg tsG s t s 8.卷积卷积 LLg1(t)*g2(t)=G1(s)G2(s) LL 1G1(s)G2(s)=g1(t)*g2(t) LLg1(t)g2(t)=G1(s)*G2(s) g1(t)g2(t)=LL 1G1(s)*G2(s) 它的拉普拉斯变换为它的拉普拉斯变换为 解：如果解：如果g(t)是周期函数是周期函数,即有即有 例例 周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 g(t +T) = g(t) (t0) LLg(t) = 0 ( )ed st g tt (1) 0