阶常微分方程解存在的问题

1、二阶常微分方程解的存在问题分析摘要 本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法特征方程法 及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法， 然后又介绍了一些可降阶的微 分方程类型。 接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用 变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。 另外，本文还介绍了求解初值问 题的另一种方法拉普拉斯变换法。 最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性 定理的证明以及它在科学研究、 工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应 用。1. 引言常微分方程的发展过程与研究途径 二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。 这不仅是因为其一般 理论已经研究地比较清

2、楚， 而且还因为它是研究非线性微分方程的基础， 在工程 技术和自然科学中有着广泛的应用。 在科学研究、 工程技术中， 常常需要将某些 实际问题转化为二阶常微分方程问题。 因此，研究不同类型的二阶常微分方程的 求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。常微分方程已有悠久的历史， 而且继续保持着进一步发展的活力， 主要原因 是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题， 其中需要求解的运动方程就是常微分 方程。他把两个物体都理想化为质点， 得到 3个未知函数的 3个二阶方程组， 经 简单计算证明， 可化为平面问题， 即两个未知函数的两个二阶微分方程组。 用现 在叫做“首

3、次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。 17 世纪就提出了弹性 问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。20 世纪 30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对 独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。19271945 年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二 次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高， 大大地激发了对无线电技术的 研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。40 年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征 , 如闭轨 是否存在、结构是否稳定等 , 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭 轨和集合来判断结构稳定性

4、与否； 而对于一般系统这个问题尚未解决。 在动力系 统理论方面 , 我国著名数学家廖山涛教授 , 用从典范方程组到阻碍集一整套理 论和方法，解决了一系列主要问题，特别是C封闭引理的证明，对结构稳定性 的充要条件等方面都作出了主要贡献。问题的研究现状在当代由电力网、 城市交通网、自动运输网、数字通讯网、 灵活批量生产网、 复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述 的。对这些系统的稳定性研究 , 引起了越来越多学者的兴趣 , 但目前得到的成果 仍然只是初步的。常微分方程的概念、 解法和其它理论很多， 比如，方程和方程组的种类及解 法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等

5、等。下面就方程解的有关几点简述 一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标， 一旦求出通解的表达式， 就容 易从中得到问题所需要的特解。 也可以由通解的表达式， 了解对某些参数的依赖 情况，便于参数取值适宜， 使它对应的解具有所需要的性能， 还有助于进行关于 解的其他研究。后来的发展表明， 能够求出通解的情况不多， 在实际应用中所需要的多是 求满足某种指定条件的特解。 当然， 通解是有助于研究解的属性的， 但是人们已 把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有， 又有几个呢？这是微分方程论中 一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和

6、唯一性定理。存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 由于大部分的常微分 方程求不出十分精确的解， 而只能得到近似解。 当然， 这个近似解的精确程度是 比较高的。微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而 解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。 因为如果解根本不存在， 却要去近似 地求它， 问题本身是没有意义的； 如果有解存在而不唯一， 由于不知道要确定是 哪一个解， 却要去近似地确定它， 问题也是不明确的。 解的存在唯一性定理保证 了所要求的解的存在和唯一， 因此它也是近似求解的前提和理论基础。 此外，我 们将看到在定理的证明中还具体地提出了求近似解的途径， 这就更

7、增添了存在唯 一性定理的实用意义。由于种种条件的限制， 实际测出的初始数据往往是不精确的， 它只能近似地 反映初始状态。因此我们以它作为初值条件所得到的解是否能用做真正的解呢？ 这就产生了解对初值的连续依赖性问题， 即当初值微小变动时， 方程的解的变化 是否也是很小呢？如果不然的话， 这样所求得的解就失去了实用的意义， 因为它 可能与实际情况产生很大的误差。在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程 问题，因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一 性问题，是十分重要的。问题研究存在的不足与前景 现今对于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，

8、尤其在二阶常系数 线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。 二阶微分方程 的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性， 而且还有着广泛的应用。 而 幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法， 其过程还是比较 繁琐的，计算量偏大， 且需要考虑函数是否解析， 幂级数在某个区间是否收敛等。 另外，对于二阶变系数非齐次微分方程， 目前还尚有通用的求解方法， 只有一些 特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就， 但是，它的现有理论也还远远不能满足需要， 还有待于进一步的发展， 使这门学 科的理论更加完善。2. 常系数线性微分方程的解法二阶常系

9、数齐次线性微分方程的解法特征方程法若 y1,y2 是二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0，其中 p,q 均为常数的两个线性无关的解，那么（）的通解就可表示成y Ci（ GQ为任意常数）由此可知，只要找到方程（）的两个线性无关的解，就能求出（）的通解。我们知道，当r为常数时，函数y erx和它的各阶导数只相差一个常数。因此，可以设想（）有形如y erx的解，将y erx代入方程（）得：e （r2pr q） 0又erx0，则必有r2 pr q 0（）即如果y e伙是（）的解，则r必满足方程（）.反之，若r满足方程（），则y erx就是（）的一个特解。我们称方程（）是方程（）的特征方程，它的

10、根就称为特征根，且特征根ri,2PP2 4q2F面根据特征根的不同情况分别进行讨论1）有两个不相等的实根（0）：P P2 4q2P P2 4q2易知y erix和y er2x是方程（）的两个线性无关的特解，则方程（）的通解为：y C,erix C2er2X ；2）有两个相等的实根（0）:Pri r22易知y eriX是方程（）的一个特解，设另一特解为y C（x）eriX，将y?代入到（）得：C （2ri p）C （ri2q）C 0（又口 - , p2 4q ,贝冋得C 0,不妨取C(x) x，代入()得:2y xeriX，则方程()的通解为：y (Ci C2x)erix ；3) 有一对共轭复根

11、(0):rii ， r2i易知yi e( )x与y e( )x是方程()的两个线性无关的复值解。而e( 1 )x e x(cos x i sin x)， e( 1 )x e x(cos x i sin x)若取i i yi-(Yi y2)e xcos x，y2 -(yi 祠 e xsin x由解的叠加性知，Yi, y2也是方程()的两个特解，又xcot x常数，y1e cos xx .y2e sin x于是，Yi,Y2就是方程()的两个线性无关的实值解。从而方程()的通解为:Xy e (Ci cos x C2Sin x)。下面举个例子进行简单说明。例 I : y 2y y 0解：特征方程为2-

12、2 I 0特征根为I，I (二重)，故所求同解为xy e (Ci C2x).例 2: y 4y i3y 0特征方程为4 I3 0 特征根为 1，2 -2 3i , 故所求同解为y e 2x(C1cos3x C2sin 3x)二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f (x) ()的求解问题。这里p,q是常数，f(x)是连续函数。我们可以由其对应的齐次线性微分方程的通解出发，使用常数变易法求出 ()的特解。因而，只要能求出()的特征根， ()的求解问题就已经解决。但是， 这样的方法往往是比较繁琐的， 而且必须经过积分运算。 事实上， 只要求得方程 (

13、)的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当f(x)是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特 解的简便方法待定系数法。x类型 I : f(x) Pn(x)e设Pn(x)是n次多项式，即Pn(x) p0xn p1xn 1pn 1x pn(n 1)(1) 当 不是特征根时，()有形如y(x) Qn (x)e x的特解，其中Qn(x)是关于x的n次待定的多项式，即nn 1Qn(x) q0x q1xqn 1x qn(2) 当 是k( 1)重特征根时，()有形如y(x) xkQn(x)ex的特解，其中Qn(x)也是形如上述的n次多项式。其中y(x)中Qn(x)的系数可以

14、由待定系数法 求得。例 3： 2 y 3 y y 4 ex解：对应齐次方程的特征方程为1特征根为1-1,2-2，齐次方程的通解为1 -x y Ge x C2e 2由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如y-i A Bex的特解。将上式代入已知方程，得1A 4, B6即1 x y14 -e6因而，所求通解为1 -x y Ge x C2e 22)类型U:f (x) (Pm(x)cos x Fn (x)sin x)ex其中，Pm(x)、Pn(x)分别为两个已知的关于x的m次和n次多项式，为常数由欧拉公式，得cos xi xi xe e .,sin x2i xi xe e21故f (x)可以改写成f

15、(x)Pm(x)exR(x)ei xi xx e e2iPm(x)e(i )xPn(x)e(i )x()其中，Pm(x), Pn(x)分别是m次和n次多项式。可以看出，()式就相当于两个类型I形状的函数相加。由非齐次方程的叠 加原理，就可求出类型U的特解了。()设有二阶非齐次方程y py qy h(x)f2(x)且y1 (x), y2( x)分别是方程y py qyfi(x), y py qyf2(x)的解，贝U函数y1(x) y2(x)是方程()的解。根据叠加原理及类型I讨论的结果，我们有1) 当i不是特征根时，()有如下形式的特解y(x) Pi*(x)e(i )x(2)( i )xPi(x

16、)e()2) 当y(x) expi(1)(x)cosp(2) (x)sin x()i是k( 1)重特征根时,()有如下形式的特解y(x) xk pi (x)e( i)x*( 2) (Pi(x)ei )X()(2)y(x) xke x pl(1)(x) cos x pl(2)(x)sinx()其中 R*(1)(X),R*(2)(X),R(1)(X),R(2)(X)为两个待定多项式,l max(m, n).注意：当Pm(X)、P/X)中有一个恒为零时，方程()仍具有形如()、()特解。即不能当Pm(x)0时，就令P(X)0,而P1(x)0时，就令P(2)(x)0.例 4: y 4y 4y cos2

17、x244(2)2 0，它有二重特征根-2。另一方面，方程的非齐次项为cos2x 1 (ei2x e i2x).由2此可见，相应的2i与特征根-2是不相等的。因此，我们可设方程有特解解：特征方程为y1 acos2x bsin 2x其中常数a和b待定。把它代入原方程，得出8bcos2x 8a sin2x cos2x,由此推知1a 0, b .8所以，原方程的通解为y （C1 C2x）e2x sin2x.83二阶微分方程的降阶和幕级数解法可将阶的一些方程类型1.方程不显含未知函数y和未知函数的一阶导数y，即y f （x）（）若令y p,那么yp，则方程（）即降为关于p的一阶微分方程dxp f(x),

18、两边积分得：p f（x）dx C1，两边再次积分，就能得到方程（）的通解()2. 方程不显含未知函数y ,即y f(x, y)若令y p，则方程（）就变为p f (x, p)，这是一个关于x, p的一阶微分方程.例 5： xy (x2 1)(y 1)0解：将方程化为yy 1令yz,则上式化为ln(z -1)x21x两边积分得ln( z 1) In x因此y C1xe 21再积分一次的通解X2y Ge 2 x C23. 方程不显含自变量x，即y f(y,y)若令y p，那么()则方程()就变为dp dp dy dx dy dxp 鲁 f(y,p)这是一个关于y, p的一阶微分方程.例 6:求解

19、yy (y)2 y2y0解：这是不显含x的二阶方程。易见y 0为一解。若y0,方程两边同除以y2得(y)2y o令y p,y生亚史pdp,则方程可化为dx dy dx dydpdy即有(p-) 1y所以上式通解为2p y Cy从而得到乎 y(y odx将变量分离，两边积分得InCx C1y c化简得原方程通解为yCeCx C1ycx c11 eC,Ci为任意常数，这是特解y 0包含于上述通解中。4. 恰当导数方程型二阶微分方程也可以表示成F(x, y, y,y)0的形式。若方程F(x, y, y,y)0()的左端恰为某一函数G(x, y, y)0对x的全导数，即pl-G(x, y, y) F(

20、x, y, y,y)dx则称方程()为恰当导数方程。于是，方程()可写成dG(x,y,y)0dx则有G(x,y,y) C，( C为任意常数)这样就把原方程降为了一阶微分方程。例 7: yy (y)2 2x 0解：这是一个不显含x二阶方程。将原方程写为 2(yy) x c积分一次得Iyy x Ci即y2 1 2 (-x ) C12 2两边积分得2y23xCXC26因而，原方程的通解为2y3x2C1x 2C235.关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程F (x, y, y, y)0关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指F(x,y,y, y)满足kF(x,ty,ty,ty) t F(x, y,y

21、,y).zdx作变换y e ( z是新未知函数)，则有2dy zdx d y / 2 dz、 zdx ze ,2 (z )edxdx2dx代入到()中，有zdx 2 dz zdx2 dz k zdxF(x, ze ,(z2 乎)e ) F(x,z,(z2 )e0dxdx因为方程F(x,y,y,y)0关于未知函数及其各阶导数都是齐次的，约去非零公zdx因子e ，得到F(x,z,(z2 乎)0dx上式经整理后可化为f (x, z, z)0的形式，这就是关于新未知函数z的一阶微分方程。zdxzdx注意：若y 0，则可作变换y e 。实际问题中，我们作变换y e 后,还要考虑y 0是不是方程的解。例&

22、求解方程x4 y x3(y)3 3x2(y)2 (3xy2 2x)y 2x2y y30解：这是左端关于x, y,y,y的三次齐次方程。令xx e , y uedy du dx ddud2y dx2代入原方程，消去公因子e3 ,得到2udu d(du x3 (d(*)(*)du d（*）将(*), (*)代入(*)，得到p(乎 1 p2) 0 du因此p 0或亚1 p2 du由dp彳21 pdu得p tan (u G)即dutan(u CJ d再积分可得sin（u CJC2e即原方程的通解为 y xar sin(C2x) C1x由p 0得u C ,即y Cx也是解，但此解包含在上述通解中。二阶线

23、性微分方程的幂级数解法二阶线性微分方程p0(x)y p1(x)y p2(x)y 0 在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用， 但是， 当它的系数Po(x), pdx), P2(x)不为常数时，它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而幕 级数解法就解决了这个问题， 它不但对于求解方程有意义， 而且由此引出了很多 新的超越函数，在理论上具有很重要的地位。定理1如果po(x), pi(x), p2(x)在某点xo的邻域内解析，即它们可以展成(x Xo)的幕级数，且Po(Xo) 0，贝9()的解在Xo的邻域内也能展成(x Xo)的 幂级数yan (x xo)n.()no定理2如果Po(x), Pi(

24、x), P2(x)在某点Xo的邻域内解析，而Xo是Po(x)的s重零点，是Pi(x)的不低于s 1重的零点(若s 1)，是P2(x)的不低于s 2重的 零点(若 s 2)，贝方程()至少有一个形如y (x xo)r an(x xo)n()no的广义幂级数解，其中 r 是某一常数。二阶变系数线性微分方程的常系数化 对二阶变系数齐次线性微分方程y P(x)y q(x)y o()(其中p(x),q(x)均为连续函数)作变换 y f(x)z ，贝有y f (x)z f (x)z，yf(x)z 2f(x)z f(x)z代入到()中，得fz (2f p(x)f)z (f p(x)f q(x)f)z 0()

25、不妨令z的系数等于零，即2f p(x)f 0从而1p(x) dxf e 2111则f - p(x)f, f - p2(x) - p(x) f242代入到方程中，整理得1 2 1z Q(x)z 0( Q(x) q(x) - p (x) P(x)当Q(x)取某些特殊的函数时。我们有：1) Q(x)与(C为常数)，方程()可化为欧拉方程。x2) Q(x) C( C为常数)，方程()可化为常系数线性方程。4.拉普拉斯变换我们已经知道二阶常系数线性方程y py qy f(x)()的通解结构和求解方法，但是，在实际问题中往往还要求()的满足初始条件y(xo) yo,y(xo) yo的解。我们当然可以先求出

26、()的通解，然后由初始条件确定其中的任意常数。此外，还有另外一种方法可以求解初值问题，即拉普拉斯(Laplace )变换法.因为它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来， 从而在运算上得到很大简化。1拉普拉斯变换的定义设函数f (t)在区间0,)上有定义，如果含参量s的无穷积分e st f (t)dtTimStf(t)dt对s的某一取值范围是收敛的，则称为函数f (t)的拉普拉斯变换，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数，并且记为2 一些特殊函数的拉普拉斯变换11) 1 -(Res 0)s12) t -2 (Res 0)s3) tn 昙(n是正整数，Res 0)s14) eat (R

27、es Rea)s a5) tneatn! n 1 (n是正整数，Res Re a)(s a)6) sin t二_ (Res 0)s7) cos t 2 s 2 (Res 0)s3拉普拉斯变换的基本性质1) 线性性质：设函数h(t) , f2(t)满足定理3的条件，贝U在它们的象函数共同的定义域上，有Gf1(t) C2 f2(t) Gf1(t) C2 f2(t)其中g,C2为任意常数。2) 原函数的微分性质：如果f(t), f(t), f (n)(t)均满足定理3的条件，则f(t) s f (t)f(0),fn(t) sn f(t) sn1f(0) sn2f(0)fn1)(0).3) 象函数的微

28、分性质：如果f(t) F(s)，则tf (t),dF(s) ( 1)n tnf (t).dsdydxyiyif(x,y,yj xx F(x,Y)dxXoxyidxx0x，f(x, y,yi)dxX。F(x,Y)()()()4) 如果 F(s) f (t)，则eatf(t) F(s a).5二阶微分方程的存在唯一性存在唯一性定理如果在二阶微分方程y f(x,y,y)()中，令y yi，则y，它就可化为方程组字f(x,y,yi)dx我们称()为一阶微分方程组。从而，要讨论二阶微分方程的初值问题的存在唯 一性，就只需讨论一阶微分方程组的初值问题的存在唯一性。人y(x)令Y(x)八，F(x,Y)yi(

29、x)并定义：dydY(x) dxdx 血dx则()可记成向量形式dYdx初始条件y(x) y。)y可记为Y(xo) Yo，其中 Yo%yio则二阶微分方程y f (x,y,y)y(xo)yo, y(xo)y。的初值问题就可记为dYF(x,Y)()dxY(xo) Yo此外，我们把二维向量Y(x) y(X)的范数|Y|定义为yi(x)l|Y| |y| |yi|.下面，我们给出初值问题()的解的存在与唯一性定理。定理3 如果函数F(x,Y)在三维空间的区域R：|x xo| a,|Y Yo| b上满足：1) 连续;2) 关于Y满足李普希兹Lipschitz条件，即存在L 0 ,使对于R上任意两点(x,

30、YJ,(x，YJ，有|F(x,YJ F(x,Y2)| LI Y2II，则初值问题()的解在区间IX。h,X。h上存在唯一，其中h min(niaR |F(x,Y) |.M(x,Y) R类似于一阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理的证明，下面来简单证明一下定理3.引理：如果函数F (x,Y)在三维空间的区域R：|x xo | a,|Y Yo | b上连续，则初值问题()的解 Y(x) (x), x IX。h,x。h ,与积分方程xY(x) YoF(x,Y(x)dx()xoK 在区间I X。h,x。h上的连续解等价，其中h min(a, )，MM (maxRiiF(x，Y)ii.由引理我们知道，要

31、证明定理3,只要证明积分方程()的连续解在区间IXo h,Xo h上存在唯一就行了1存在性的证明下面用皮卡Picard逐次逼近法来证明积分方程(6)的连续解的存在性，可分 三个步骤进行。(1)构造区间I上的逐次近似的连续向量函数列Yn(x).令Y(x) Yo，构造毕卡逐次逼近向量函数序列如下：Yo(x)YoYn(x)YoXx F( ,YU )d (n 1,2,)xo向量函数Yn(x)称为()的第n次近似解。用数学归纳法可以证明：XXIM(X)Y)| | J|F( Yni( )|d | | Md | M |x Xo| Mh bxoXo即曲线Y Yn(X)未越出区域R，保证了逐次逼近可以一直进行下

32、去。(2)证明函数序列 YJx)在区间I上一致收敛。考虑向量函数项级数Y(X)Y(X)Y(x) Y2(X)Y1(X)Yn(x) Yn 1 (X)()它的部分和是Sn1(x) Y(x) Y1(X)Yd(x) Y2(x) Y1(x)Yn(x) Y(x)Yn(x)所以，要说明函数序列 Yn(x)在区间I上一致收敛，只需证明级数()在区间I上一致收敛。XY(x) Y)&F(治()dX0X|(x) 丫0| |F( Y0( )|d | M |x X0|X0由数学归纳法，我们可以得到：|Yn i(x) Yn(x)| LnMn 1| XXo |(n 1)!而|x Xol h,易于看出级数()每一项的绝对值都不

33、会超过正项级数|丫。| MhLM2!Ln1M-n!的对应项。上面的级数显然是收敛的。从而，级数()在区间 I上一致收敛。设其和函数为(x)，从而函数序列Yn(x)在区间I上一致收敛于(x)。由于YJx) 在区间I上是连续的，因而 (x)也是连续的。(3)证明(x) limYn(x)是积分方程()的解。nx对Yn(x) YoF( Ynl( )d两边取极限，得0X(x) Yo lim x F( ,Yni( )dnxo要证(x) limYn(x)是积分方程()的解，只需证nxxlimF(，丫m()dF(,()dn xo冷Yn(x)在区间|上一致收敛，0, N 0,使 n N 时，有 |Yn(x)(x

34、)|.LhxxxII xF( ,Yni( )d F(,畝)d | | x |F( ,Yni( ) F( , 0( )|d |oxoxoxL|Yn 1()哄)|d |xoxL|xoZhd|応1XXo |xxnim xoF(，丫-( )dxoF( ,)d则(x)lim Y,(x)是积分方程()的解n2唯一性的证明设(x)也是积分方程(6)的解，且满足 (X。)Yo.则有x(x) Yox F(,()d ,xo于是xx| (x)(X)|JF(,()F(,()d | L| ()()|dxoxoxO |L| O( ) O( )|dx xo| h.xo由 Bellman 不等式得：II (x)(x)| 0,

35、1 x Xo | h.得出矛盾。因此，在 |x x0 | h 的解唯一。综上，()的存在唯一性定理得证。结论关于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就， 尤其在二阶常系数线性 微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。 二阶微分方程的解 的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性， 而且还有着广泛的应用。 而幂级 数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法， 其过程还是比较繁琐 的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另 外，对于二阶变系数非齐次微分方程， 目前还尚有通用的求解方法， 只有一些特 殊类型是可以求解的，还有待于进一步的发展和研究。参考文献1 吴美捷，浅谈待定系数法 A. 当代经理人， 2