第三章向量解答10.8.3

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use 第三章向量组的线性相关性 历年试题分类统计及考点分布 分 值 、 年份 1 向量组的 线性组合 与线性表 示 线性相 关、无 关的定 义性质 及判别 向量组 的极大 无关组 与向量 组的秩 等价向 量组、 向量的 秩与矩 阵的秩 向量空 间、基 变换、 坐标变 换、过 渡矩阵 标准正交 基，正交 矩阵 其他 合计 87 3 3 88 3 3 89 3 3 90 3 3 91 92 7 3 10 93 6 6 94 3 3 95 96 3 3 97 5 5 9

2、8 4 3 7 99 3 3 00 3 3 01 4 4 8 02 03 4 4 8 04 4 4 05 06 4 4 07 4 4 08 10 10 09 3 4 7 10 4 4 合计 4 48 3 22 15 5 4 本章知识脉络图 概念一运算一加法，数乘，内积 (:T ）正交; 概念 l =K、； 1kS*-s 线性表出 xM +xsGS = B方程组有解 表出条件何，化）J 0） 、，、 S无关，d S，卜相关（表示法唯一） 概念一若（不）存在不全为零的数 匕，ks，使得十 ksas = 0 称CC4,a s线性相关（无关） 二含零向量，成比例向量，s大于向量的维数 .二部分相关；有

3、一个可由其余表出 。4,，0（s线性相关以少表多，多的相关 n维向量线性相关性 判别 u方程组 1,，-g x = 0有非零解 r（： 1, ,： s） ： s -1,S,S+1线性无关 ：、，S线性无关1- /- s x = 0只有零解 心1,，打二0 二-i不能由其余的线性表出 概念一求法 广 极大线性无关组向量组的秩关系求法 抽象 矩阵的秩I抽象 等价向量组关系充要条件 等价矩阵 _丄概念一基，维数，坐标 一子空间一解空间 向量空间基变换过渡矩阵 坐标变换 I内积一标准正交化，正交矩阵 考点分析 1. 向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。 2. 矩阵的秩（其中有一道是关

4、于空间解析几何的应用题）及其与向量组的秩的关系考过 4次。 3. 满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果A为n阶方阵，则下列 条件相互等价： 1）|A|=0（ A为非奇异方阵） 2）A可逆（A为可逆矩阵） 3）r（A）二n （ A为满秩方阵） 4）A与同阶单位矩阵E行（列）等价 5）A可以表示成若干个初等方阵的乘积 6）齐次线性方程Ax =0只有零解 7）对任意n维列向量b，非齐此线性方程组 Ax =b有唯一解 8）A的行（列）向量组线性无关. 利用这些等价条件， 就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵 AB的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵AB

5、的秩是否小于 m的问题，或转化为齐此线 性方程组ABx =0是否有非零解的问题）。特别地，由1）与8）的等价性，提供了 n个n维向量 是否线性相关的判别方法一一归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问 题。 大纲要求 向量的概念向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极 大线性无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空 间及其相关概念n维向量空间的基变换和 坐标变换 过渡矩阵向量的内积 线性无 关向量组的正交规范化方法规范正交基 正交矩阵及其性质 考试内容与要求 1. 理解n维向量、向量的线性组合与线性 表示的概念。 2. 理解向量组

6、线性相关、线性无关的概念， 掌握向量组线性相关、线性无关的有关 性质及判别法。 3. 理解向量组的极大线性无关组和向量组 的秩的概念，会求向量组的极大线性无 关组及秩。 4. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩 与其行（列）向量组的秩之间的关系。 5. 了解n维向量空间、子空间、基底、维 数、坐标等概念。 6. 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡 矩阵。 7. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组 正交规范化的施密特（Schmidt）方法。 8. 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及 它们的性质。 基本内容 一、向量的线性关系 1. 线性组合 定义若？二睛扁，则称： 可由12,线性表示，或称1是向

7、量 组1,2,m的线性组合. 注意：零向量是任意向量组的线性组合. 定理：可由宀，2厂，：*线性表示 二非齐次方程组 X占1 - X2 2打打m =:有解 Rl；1 -2 J|L：m 二 R：U 2，川，：m，: 2. 线性相关性 定义设：1/-2/ m是m个n维向量，若 有不全为零的数k1,k2,|,km使 k 1 k 2 2km 0 则称1,2,m线性相关，否则称 12,/ m线性无关. 注意：（1）无论1,2，m线性相关，还 是线性无关，当匕=k2 =| =km =0时，都有 kr 1 k JIL kmm =0 （2）1,2,m线性相关当且仅当除去全 为零的k1,k2H,km以外，还有一

8、组不全为零 的k1,k2H,km使 k/1 k-ir kmm =0 （3 ）而12,im线性无关当且仅当 k1 = k2 = | | | = km = 0 时 匕1 k2 -2 * H 丨kmm = 0 （4）充要条件是只要k1,k2,km不全为0， m 则 7 kF j = 0 i m 性质与判别法 （1厂12,/ m线性相关 U 齐次组 Xr1 - X22Xmm 二 0 有非零解 二 R :2 川 I，mm =：1,2，m中至少有一个向量可由其 余m_1个向量线性表示. 1,2,Cm线性无关 二齐次组为冷X2： 2亠亠Xmm =0 只有非零解. ：=R :.2川1,m i=m =:6 2,

9、，m中任一向量都不能由其余 m -1个向量线性表示 (3) 只有一个向量组成的向量组：， - =0=向量组二线性相关； :-0 =向量组线性无关. 两个向量组成的向量组，：，其中 :=印耳,am， : = bi,D, ,bm 线性相关二 am bm (5)若向量组中含有零向量，则向量组必线性 相关 若向量组线性无关，则该向量组的部分组 必线性无关； 若向量组部分组线性相关，则向量组线性 相关 (7)设 M/-2, 冋1 则 / m是s维向量 ,-m是t维向量 2也，rkj 是s t维向量， 若1,2,m线性无关，则1,0,rm线 性无关； 若也,，*线性相关,则1,2，m线 性相关 (8) 若

10、向量组中向量的个数 向量的维数，贝U 向量组线性相关. (9) n个n维向量訂2,m线性无(相)关 二矩阵AF：；12,，m的 A = 0 A = (10) 正交的非零向量组，必线性无关 3. 线性表示与线性相关性的关系 (1) 若1,2,Cm线性无关， ：-1/2/ ,m线性相关，贝：可由 1,2，m线性表示，而且表法唯一 设(I )1,2,，:s , ( n 厂12,-t, 若s t，且(I)可由(n熾性表示，则向量 组(I )线性相关 (3)若(I )1,2厂，：飞线性无关，且向量组 (n ) -1, -2/ , -t可线性表出(I)，则st . 二、极大无关组与向量组的秩 1. 向量组

11、的等价 定义 若向量组(I)和向量组(n )可以相互线 性表示，则称向量组(I)和(n)等价. 性质 (1) 向量组等价具有反身性、对称性、传递性. (2) 两个等价的线性无关的向量组所含向量的 个数相同 2极大无关组 定义在向量组中若存在r个向量 12,/ r线性无关，且向量组中任意 r1个向量都线性相关，则称12,r 为向量组的极大无关组 性质 (1) 向量组中任一向量都可由极大线性无关组 表出 (2) 含有非零向量的向量组必存在极大无关 组. (3) 线性无关的向量组的极大无关组就是向量 组本身. (4) 向量组和它的极大无关组等价. (5) 向量组的任意两个极大无关组等价 (6) 向量

12、组的任意两个极大无关组的向量个数 相同 (7) 两个等价的向量组的极大无关组必等价 3. 向量组的秩 =向量组的极大无关组中向量 个数 性质 (1)等价的向量组的秩相等 向量组A: r,2,，：线性无关 =R Aj= m 向量组A: :宀,线性相关 u R A ： m 设向量组(I )/ s 向量组(n )匚2,-t 若(I)可由(n )线性表出，则r I 1,2,HI,m均为n维向量，那么, 下列结论正确的是. (A)若 kv 1 k 2 川 km m = 0，则 1,2,IH,m线性相关 3.2设向量组 冷2,3线性无关，则下列向 量组中，线性无关的是(973) (A) 1 *22 *33

13、- 1 (B) 1 *22 *3,：2 *3 (C) ： 12 2,2 23 3 ,3： 1 _bj Tb2 (ct, B ) = a P = 包,川，a.】： + A j 二 aQ a?b2 川 and 若:；,：=0，则称：与I是正交的. a的长度为|叫=Ja： +a； +川+a； 8. 施密特正交规范化方法 9. 规范正交基：若1 , 2,川，n是Rn的一组 基，且满足 i，j =0, 2 j , 叫|=1,i =1,2，川,n，则称n 1,一,川几 为规范正交基. 若Q - i 1, 2,111, n 1,贝U Q是正交矩阵. 典型例题 一线性相关，线性无关的定义，性质及判别 (注意：

14、线性相关，线性无关的内容是非常 丰富的，此部分内容有时与方程组的内容 (B) 若对任意一组不全为零的数 K,k2,川,km，都有 k22 川-gm =0，则 1,2,川,:m线性无关 (C) 若：仆2,川，：韦线性相关，则对任意一 组不全为零的数K,k2,川，km，都有 (D) 若 0 ：1 0 II，0 ：m =0 ,则 1,HIm线性无关.(923) (D)： 1 ： q ： 3,2 22 3,3：j5 匕-5 3 3.3设有任意两个 n维向量组r,HI,m和 ：lJH，：m，若存在两组不全为零的数 1,川,m和人,川,匕使 ki ： 1川 m km ： m * 1一匕IH 皿一心 F =

15、0 则 (A) Ml/m和：1,川，：m都线性相关 (B) ：i JH/m和iJH, m都线性无关 (C) M -lJIL：m -m, 5ll|,m- m 线性 无关 (D) 务+打IWm+爲,码-Bi川,Pm线性 相关.(964) 解由题意知，,2,lH,m和 K,IH,km是两组不全为零的数，将已知等式 整理得 1川 mm m： ki mJU kmm - m =0 由向量组的线性相关性定义知 :：1,l|hm ：m,1- ：1,|H，m - m 线性相关 故(D)为正确选项. 3.4设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线 性方程组Akx=0有解向量：，且 k 1 A : -0，证明：向量组

16、:,A |AkJ?是线性无关的.(981) 解设有常数 1, 2川，k,使得 ?护 +A +川 + 扎 kAk =0 则有 Ak_l (砧+ 扎2Aa +川 + 入 kAk_1a )= 0 从而有V -0. .k 1 由于A 篇严0 ,所以=0 类似可证得 2 = 3 = k = 0 因此向量组，A|lAk是线性无关的 3.5设A是m n矩阵，B是n m矩阵，E 是n阶单位矩阵 m n，已知BA = E，试 判断A的列向量组是否线性相关？为什么？ (934) 解1设A2,1丨1,其中 仆:匕川，*为m维列向量，设存在数 K,k2,lH,kn，使得 k1： 1 k ：22 川 kn： n =0

17、ki 丨ki Ik,ks = 0 k1 k2 = 0 k2 k3 = 0 口 t k2k2 即 2=(0,1,0)；3=(0,0,1)；4 =(1,1,1) 线性无关，但去掉任意一个向量后剩余的向 量组线性无关 由于初等变换不改变向量组的秩及向量 组的线性相关性，(D)相当于 g JLs作 初等变换，故应选(D). 3.16设矩阵A = ：1,2,llhn经过若干次初等 列变换后变成了矩阵 B珂订1, 2,3, ：4的线性组合？ (2) a, b为何值时，有冷，2,：3為的唯一 的线性表示式？并写出该表示式.(911) 解设：=X1X2： 2 X3 3X4 4，则 捲 +x2 +x3 +沧=1

18、 x2 _x3 +2x4 =1 2x-| 3x2 a 2 x3 4x4 二 b 3 3x1 5x2 x3 亠 i a 8 x4 =5 因为 b+ 3 51 a+ 85 一 能表示为_门，二2,二3,二4的线性组合 当a = 一1时，表示式唯一，且 空冷.02,2,3 0.,4 a -1 a 1 a 1 TT 3.18 设向量组： ua,2,10 =2 - -2,1,5 T 小T ：3- -1,1,4,：；=i1,b,c 试问：当a，b满足什么条件时， (1) 可由r,：,线性表示，且表示式唯 一? (2) 一：不能由亠，：,线性表示？ (3) -可由一:, _：2,二3线性表示，但表示不唯 一

19、？并求出一般表达式.(003) 解1设有一组数匕飞2*3，使得 k2： 2 k3： 3八 该方程组的系数行 列式 a21 A =211=a 4 11111 01-12 1 0 1 a2b+1 卫 2 -2a+b2 一 11111 01-121 00a+10b .000a+10 一 所以当a = -1,b =0时，系数矩阵的秩为 2， 而增广矩阵的秩为3，方程组无解，故：不 (1) 当a = -4时，A = 0，方程组有唯一解, 1可由12,3线性表示，且表示式唯一 (2) 当a - -4时，对增广矩阵作初等行变换， 有 -4 -2 _1 11 A = 2 1 1 b - 10 5 4 1054

20、 2 10-b -1 t 0 0 12b+1 00 0 3bc-1 若3b-c=1，则秩A =秩A，方程组无 解，1不能由宀，2,3线性表示 当a = V时，且3b -c =1 , 秩 A -秩 A = 2 ： 3，方程组有无穷多 解，-可由 冷，,线性表示，但表示式不 唯一解得： k = t,k _ -2t - b -1,= 2b 1 (t为任意常数).因此有： :=t_” 一2t b 1 _：込 2b 1 ：-3 解2设有一组数k1,k2,k3，使得 k1：1 k2： 2 k3： 3八对方程组的增广矩 阵A作初等行变换，有： 1 a211I A= 211b 1054c_ 2 11b aaa

21、b to2旦1旦1- 222 (1)当一2 -旦0 ,即卩a -4时, 2 001c 5b 秩 A二秩 A =3，方程组有唯一解，一：可 由:- 1,2,3线性表示，且表示式唯一 (1)当 一2 一空=0 , 2 即a - _4时，对增广矩阵作初等变换，有 2 1 0-b-1 at 0 0 12b+1 0 0 0 1-3b + c一 当3b - c = 1，则秩 A ：二秩A，方程组无 解，:不能由忙七，线性表示 (3) 同解法一 TT 3.19 设：1= 1,2,0 ,：2=1,a 2,_3a ， T 任T ：3 二-1,-b-2,a 2b，一 1,3,-3 试讨论当a，b为何值时， (I

22、) 1不能由1,23线性表示； (n)可由123唯一地线性表示，并求 出表示式； (川)可由12,3线性表示，但表示式不 唯一，并求出表示式.(043) 解设有数k1,k2,k3，使得 G 厂 k22 k 33 () 记A -2 / 3 .对矩阵 A,：施以初等 行变换有 1 -11 a+2 -b-23 1 (A,0 )= 2 -3a a 2b -3 0 :不能由M, 2, 3线性表示 (n)当 a = 0，且 a = b 时， r A二r A=3，故方程组(“)有唯一解 则：可由：1, ：2, ：3唯一地线性表示，其表示 (川)当a=b = 0时，对施以初等行变 换，有 - 1 0 0 1一

23、 a (A 0 1 -1 1 a 0 0 0 0 - 一 (B) 必可由:,线性表示 (C) 、：必可由：,-,线性表示 (D) 必不可由：；-,线性表示.(984) 解，线性无关，则也线性无 关，而，：，：线性相关，因此：可由:-线 性表示，从而更可由Ji. ,1；-” ,线性表示，故选 (C) 3.21设向量组1,2,3线性相关，向量组 234线性无关，问 (1) ： 1能否由23线性表示？证明你的结 论 (2厂4能否由12,3线性表示？证明你的 结论.(921) 解1 ： 1能由2, 3线性表示 因为已知23,4线性无关，所以2,3线 可知r A二r A, ：=2 ,故方程组(”)有无

24、穷多解，其全部解为 性无关.又因为:123线性相关，故1能 11-11 t 0 a b 1 00 a -b 0 (i )当a = 0 , b为任意常数时，有 11-1111-11 (A 目戸 D041 卜 0。 1 0 0 4 0一 p 0 0 -1一 可知r A =r A，故方程组(“)无解, 11-1) =1 ,k?=l + c 1, k , ala丿 其中C为任意常数：可由仆：七，3线性表 示，但表示式不唯一，其表示式为： f1 p = i1 l a丿 I 十 |+ C 0( 2十5 3 3.20若向量组 G, B,Y线性无关；G ,B,6线 性相关，则 (A) :必可由I,：线性表示

25、由：-23线性表示 解2 ?i能由:J, 3线性表示 因为已知:, : 2, ：-3线性相关，故存在不全为 零的匕*2*3，使 K ： 4 k2 ： 2 k3 ： 3 = 0 其中匕=0。因为若匕=0，贝y k2,k3不全为 零，使 k 2 k 3 30 即：2/3线性相关，从而2,3,4线性相 关，这和已知矛盾，故匕=o k2 ki ：2 k3 . W3 ：4不能用：-4/- 2,3线性表示用反证法. 设4可由1,23线性表示，即 二4 = 1 -叫亠2 二2， 3 ： 由(1)可知，设：i “2：2心3，代入上式得 4 二22 23 上：3 即：4可由：2/3表出，从而234线性 相关，这

26、和已知矛盾因此，J不能由 123线性表示 3.22已知A是n阶非零矩阵，且 A中各行元 素对应成比例，：】，t是Ax =0的基 础解系，1不是Ax =0的解，证明：任一 n 维向量均可由 宀，_：辺，,一“，：线性表出。 证法1因为矩阵 A中各行元素对应成比 例，故r(A) =1，基础解系为n_1个，因此 t = n1 若 Kg + kg 才+心_5_+沖=0, (1) 用A左乘，并把A、=0(i =1,2,n-1)代 入，得 IA1 = 0, 由于- 0，故1=0，于是(1)式为 1 k2： 2n=0 因为：1,2,，n_是基础解系，知 12,n线性无关， 从而由(2 )知 k, = 0,

27、k2 = 0, ”, knj = 0,因 此1,-，,n线性无关。对任一 n维 向量，由于任意n1个n维向量 ：1, 2,，:n_1厂必线性相关，那么必 可由1, 2,nd,：线性表出。 证法 2已经证出t = n -1, 即 ：1, 2,n：_线性无关，又因为1不是 AX =0的解，即不能由仆一，,nd线 性 表 出， 即 方 程 组 X|r X22_XnFnJ 二：无解，故 r(：1,：2,： n_1)=r(：1,： 2,： Q 1二n 即：、，,：人线性无关 证法3-不是Ax = 0的解，故1不能由 基础解系线性表示，所以，宀，2 ,n二，- 线性无关。 3.23设n维列向量:-1 J1

28、1, . m(m n)线性无 关，则n维列向量组一：1,|),二线性无关的充 要条件为 (A) 向量组:1,川,冷可由向量组：1,川，：m线 性表示 (B) 向量组：1,|, ：m可由向量组1,川，冷线 性表示 (C) 向量组()J川，m ,与向量组 川m等价 (D) 矩阵 A= 1,1 11m 与 B 11, m 等 价.(001) 分析记():1，HIm C) ：1 川:m 则()线性无关二r( 11) =m (A) 若()可由(.)线性表出，则 r()乞r(.)，又因为()线性无关，所以 m 二 r( ) _ r( 11) _ m ， 从 而 r( H) =m，即、川1, :m线性无关充

29、分性成 下看必要性：当 m：n时，()，()均 无关，不能保证()可(.)由线性表出，例如 1, ：2线性表出，所以(A )不是必要条件 (B) 若(11)可由(J线性表出，则 r_ r( ) =m，所以 r(r,IHm) - m , 所以，川，G的线性无关不能确定，(B) 不是充分条件，(A )中的反例也说明不是必 要条件，所以(B)既不充分也不必要。 (C) 若()与(ii)等价，即 ( )与()可互相 线性表出，由(A)( B )知(C)只是 充分条件 (D) 矩阵A与B等价是指经初等变换 A可 转化为矩阵B o A与B等价二r(A) = r(B) 若r(A) = r ：1l/m与B=匚

30、川，十 等价，则 r(A) =r ： 1,|,： m i=r -1|, Y-r(B) 因为1,川m线性无关， r ：5,川,m = m ,从而 r -11, -m = m. 因此，向量组S,HIm线性无关，充分性成 立。 反之，若1,川m与11, ：m均线性无关， 则 r 1JIL m 二 r r,HIm 二 m 从而r(A) =r(B)，即矩阵A与B等价，必 要性成立.所以选(D) 注：两个向量组向量个数相同且等价，则可 推出两个矩阵等价， 即1,川,与匚川，冷等价 -(：dm 与-1,)1, m 等价 但是：1,川，：s与1,川，等价时，矩阵 j 0 10 -13-24 2 1 4 3 0

31、 1 0 1 00 p2/p C i,IH, ： s)与、，川，u不等价. 条件(C)比(D)强 3.24设向量组 、：3 = 3,2, 1,p 2 丨,如=2, -6,10, p 丨, (1) 当P=2时，向量组1,2,3, 4线性无 (1) p为何值时，该向量组线性无关？并在 此时将向量:-14,1,6,10用冷，2,3, 4 线性表示 (2) p为何值时，该向量组线性相关？并在 此时求出它的秩和一个极大线性无关 组.(992) 分析:.可由：23, ： 4线性表示，即 1为 ：辽乂2 =：UX3有解 解对气23, 4, J作初等行变换： 1-13-24 1-32-61 )15- 1106

32、 .31 p + 2 p 10 一 关此时设 -X|_：屜一：匚2 X3-S X4 4 解得: -2 1 -1 0 -2 0 6 】04 3 -2 4 -1 -4 - -3 -4 1 2 2 p - 7 p6 - 2 X2 二沁，X3=1,X4 p-2 当p = 2时，向量组r,：,：/, 4线性相 关.此时向量组的秩等于 彳匸仆：匕，：/ (或 1-13- 24 0 -2- 1- 4 - 3 00- 70-7 00 p 9p 2 8_ 1,3,4)为其一个极大线性无关组 三两组向量间的线性表示和相关性 常用方法： 1、利用向量组相关定义判别 2、利用矩阵的秩判别， A = (： 1,： 2,

33、： s),r(A) ： s相关, r (A)二s无关 P2P 3、利用行列式，个数=维数时，A=0时， 相关，A工0无关 4、利用性质 向量组PiJILPt可由1,川心线性表示 = 方程组 xa+X2O2+兀叫=昇=12讥 均有解 二 1川I,%） =（务川|,%,耳）i =1,2 r（ai,|,as）=r（%H|,as,Pi川 |,弭） 二 r（H=r（AB）其中=0,|,冬）3=代|,片） 二 AX =B有解,其中X为s矩阵 5、向量组川卫可由,川,叫线性表出 二 riJH, ）兰r（%川I%） 6、两个向量组等价： （1）向量组,川,与耳,川厲等价 二（氐川厲）=r（W川I,%），逆 不

34、成立 （2）注意向量组等价与矩阵等价的区别 3.25设向量B可由向量组a12Lm线性 表示，但不能由向量组（I ） :1a2LamJ 线性表示，记向量组（n ） 口1,。2,川，亠0 , 则 （A）m不能由（I）线性表示，也不能由（n ） 线性表示 （B）m不能由（I）线性表示，但可由（n ）线 性表示 （C）m可由（I ）线性表示，也可由（n）线性 表示 （D）m可由（I ）线性表示，但不可由（n ）线 性表示.（993） 解若m能由（I ）线性表示，则能由（I ） 线性表示，与题设矛盾，故=m不能由（I ） 线性表示. |l,t 由于可由向量组：1,2川1,线性 表示，不能由（I ）线性表示，故在用 忙七川匕心线性表示：，m的系数不为 0,故：-m可由1,2川1,：*即（n ）线 性表示.故选（B）. 3.26设向量组（I ） :1,2,l|lr可由向量 组（n ） :川s线性表示，则 （A）当r s时，向量组n必线性相关. （B）当r s时，向量组n必线性相关. （C）当r s时，向量组I必线性相关. （D）当r s时，向量组I必线性相关.（031） 解由相关的定理，（D）入选. 3.27设A是m n矩阵，对矩阵 A作初等行 变换得到矩阵B，证明：矩阵 A的列向量与 矩阵B的相应的列向量有相同的线性相关 性.