定积分应用题附答案

1、定积分的应用复习题填空:1曲线y In x, y In a, y In b（0 ab）及y轴所围成的平面图形的面积ln b为 A = eydy=b-aIn a J2.曲线yx2和y代所围成的平面图形的面积是1计算题:1. 求由抛物线y2 = 2x与直线2x + y -2 = 0 所围成的图形的面积。解：（1确定积分变量为y，解方程组y2 2xxi 1/2x2 2得,y 2x 2yi 1y?21 一即抛物线与直线的交点为（，1）和（2，- 2 ）.故所求图形在直线y = 1和2y = - 2 之间，即积分区间为2, 1 。（2）在区间2, 1上，任取一小区间为y , y + dy ,对应的窄条面

2、积11 2近似于高为（1 y） - y2,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素22dA = ( 1 1y)-22ydy（3）所求图形面积A =/ 1 、 1 2(1- 2y)-2ydy = y -3 1 6 24y2 -右3462. 求抛物线y = - x 2 + 4x - 3及其在点（0, - 3）和（3, 0）处的切线所围成的图形的面积。解：由 y = - x 2 + 4x -3 得 y 2x 4, y（0）4, y（3）2。抛物线在点（0, - 3）处的切线方程为y = 4x -3 ;在点（3, 0）处的切线方程为y = - 2x + 6 ;两切线的交点坐标为（-,3 ）2故面积A =l

3、(4x 3) (x2 4x 3)dx：( 2x26)(x2 4x3) dx 93求由摆线x = a （tsint) , y = a( 1- cost)的一拱（t 2 )与横轴所围成的图形的面积解：Ay(x)dx2a(1 cost) a(10cost)dt(12costcos2t小 2t 3 a4.求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积:r = 3 cosr = 1 + cos解：两曲线的交点由3cos1 cos,解得0中cos)2d213(3cos2)2d03(12cos1 cos22)d9行1cos2)d545.计算由摆线 x = a (t-sint) , y = a ( 1- cost)

4、的一拱（0 t 2 ），直线y = 0所围成的图形分别绕X轴、丫轴旋转而成的旋转体的体积。解：Vxa 2y2(x)dxa2(1 cost)2 a(1 cost)dt(13cost3cos2t31 u 23cos t)dt 5 a2aVy0x；(y)dy2a 20xjy)dy2 a2(t sint)2 取凤七oa2(t sint)2 asintdt(tsint)2 sin tdt6.求由x2 + y 2 = 2和y = x 2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积解：(1取积分变量为x,为求积分区间，解方程组:x2得圆与抛物线的两个交点为y所以积分区间为卜1 ，1(2)在区间-1,1上任取一小

5、区间x, x+dx，与它对应的薄片体积近似于 (2 - x 2)-x4 dx ,从而得到体积元素2424dV = ( 2 - x )- x dx =( 2 - x - x)dx.(3)故 Vx =11 ( 2 - x 2- x 4)dx =44157.求圆盘(x2)2解设旋转体积为V，则Vy21绕丫轴旋转而成的旋转体的体积。1 (x 2)2dx2*22 sint 则V=42 (2 sint)cos2tdt22 (1 cos2t)dt22 sint cos2 tdt2(t1sin 2t) |228.设有抛物线C: y = a -bx2 ( a 0 , b 0 )，试确定常数a , b的值，使得C

6、与 直线y = x + 1相切，且C与X轴所围图形绕丫轴旋转所得旋转体的体积达到 最大。解：设切点坐标为(x , y ),由于抛物线与y = x + 1相切，故有 K = - 2bx = 1，得 x2b2b12b1解得a14b1 ，即：b4(1 a)由 V(a)x2dydy2b2 a2(1 a)2令 V (a)2 a(23a)0 得 a 23、 x3 .a cos t亠9.设星形线万程为3( a 0),求:as in 3ty(1) 由星形线所围图形的面积(2) 星形线的长度。解：(1)由对称性得a032a 4 y(x)dx 4 asin t 3acos t( sint)dt12a2 2 sin

7、41cos2 tdt0(2) L = 4 ?Jx2(t) y2(t) dt0(3asin21 cost)2 dt=4 2 ( 3acos21 sint)20= 12a02si ntcostdt 6at costsin自原点到与具有铅直的切线10.计算曲线xd , yd1 1最近点的弧长。dysint解：业呼t tantdxdxcostdtt曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为t ,原点对应的2参数t = 1故J22c;st sint dt l ntf I n?11 .设Si为曲线y = x2、直线y = t 2 (t为参数)及丫轴所围图形的面积；S2 为曲线y = x2、直线y = t 2及x = 1所围图形的面积。问t为何值时，S = S1+S2 取得最大值、最小值。t 221224 321解：S(t) (t2 x2)dx(x2 t2)dxt3 t2033令 S(t) 4t22t 0 ,解得t10 ,t2-21于是S(0),S(2)1-,S(1)23243故 Smax = S(1)=2,Smin :31 1 =s()-24三.证明题:1.证明：曲线y = sinx的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+ y2 = 2的周长。 证明：y = sinx的一