1993考研数一真题及解析

1、1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1)X1函数F(x) = ( (2 -)dt(x 0)的单调减少区间为vt由曲线j3x +2y =12,绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(O,J3,J2)处的指向外侧Z =0的单位法向量为设函数f(X)=兀X + X2(-兀C X 兀)的傅里叶级数展开式为a处丄+艺(an cos nx+bnS in nx),则其中系数b3的值为2 ni设数量场 u =1n Jx2 +y2 + z ,贝U div(gradu)=设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n -1,则线性方程组

2、Ax = 0的通解二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)sin X234(1)设 f(X)= L sin(t2)dt, g(x) =X3 +x4 则当 xt 0 时，f (x)是 g(x)的(A)等价无穷小(B)(C)高阶无穷小(D)同阶但非等价无穷小低阶无穷小 双纽线(X2 +y2)2 =x2 - y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)2 4 cos28d日10(B),只有一项匹 (C) 2Jcos28d日(D)1兀1(cos发)2d日设有直线L1:g=口二丝1-21 与 L2：二,则L1与L2的夹

3、角为j2y + z = 3(B)(D)(A)-6兀(C)-3 设曲线积分 (f(x)-eXs in y dx - f (x)cos ydy与路径无关，其中f (x)具有一阶连续导数,且f （0） =0,则f（x）等于(A)_XXe -e2(B)X_xe -e2(C)(D)X丄一X,e +e1 2（5）已知(A)(C)t9t =6时,P的秩必为1t h6时,P的秩必为1,P为三阶非零矩阵,且满足PQ = 0,则(B)(D)t =6时，P的秩必为t h6时，P的秩必为三、（本题共3小题，每小题5 分,满分、21 X求 lim（sin + cos）.XX15 分)(1)X十 r xe . 求EX.求

4、微分方程X2 y + xy = y2,满足初始条件y|x4=1的特解四、（本题满分6分）计算 JJ2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy,其中工是由曲面 z = Jx2 +y2 与Iz = J2 -x2 -y2所围立体的表面外侧.五、（本题满分7分）求级数-（讥21）的和.n =02n八、（本题共2小题,每小题5分，满分10分.）(1)设在0,咼）上函数f（X）有连续导数，且f （X） k A 0, f （0） V 0,证明f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.设ba e,证明ab ba.七、（本题满分8分）2 2 2已知二次型f（X1, X2,X3）=2x1 +3x2 +3x3中2ax2

5、X3（a 0）,通过正交变换化成标准形2 2 2f =% +2y2 +5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是n咒m矩阵，B是m咒n矩阵，其中n m , E是n阶单位矩阵，若AB = E ,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点（0,1）出发，以速度大小为常数 v沿y轴正向运动.物体B从点（-1,0）与A同时出发，其速度大小为2v ,方向始终指向A ,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分，把答案填在题中横线上.）（1） 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出

6、后不再放回，则第 二次抽出的是次品的概率为 .2（2）设随机变量X服从（0,2）上的均匀分布,则随机变量Y=X在（0,4）内的概率分布密度 fY(y)=卜一、（本题满分6分）1设随机变量X的概率分布密度为f（X）=, -处v X +处.2(1)求X的数学期望E（X）和方差D（X）.求X与|X |的协方差，并问X与|X|是否不相关?问X与|X |是否相互独立？为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.)1(1)【答案】0x-4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性x11将函数F(x) = f (2 - )dt，两

7、边对x求导，得 F(x) =2-=.1頁品11若函数F(x)严格单调减少，则F(x) =2-= 0,即4x0,那么函数y=f(x)在a,b上单调增加; 如果在(a,b)内f(x)v0,那么函数y=f(x)在a,b上单调减少.【答案】甘皿【解析】先写出旋转面 S的方程：3(x2 +z2)+2y2 =12.F(x, y, z)=3(x2+z2)+2y212.则S在点(X, y, z)的法向量为二【生罕，生 r6x，4y，6z，cy cz J所以在点(o,J3,J2)处的法向量为n = 0,4 廳,6/2 = 20,2 卮372.nno =|n|因指向外侧，故应取正号，单位法向量为-=I丄o,2 屈

8、3血 =0,运，75.(0 2+(473(672)烦亦2(3)【答案】一兀3所以【解析】按傅式系数的积分表达式1bn =兀JI3Tf (x)s inn xdx ,，-n;1 兀2-、.一26 =f (兀x+x)sin 3xdx = f xsin3xdx+f x sin3xdx. 兀 44JI 41 JI 22j2因为x sin3x为奇函数,所以f x sin 3xdx=0;xsin 3xdx为偶函数,所以p-Tb = J;xsin3xd2J0xsin3xdx+2 rcos3xdx3 pc F兀/1c、 r 2x= 20 xd(-gCOsSx)厂 E厶吕洱T厶.33L 3 Jo 31【答案】2

9、22x +y +z【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度.因为gradu=+包“的ex cy cz所以* 12/只、 旬cu du du,divgraduWdiv , ,尸二+ - 2 ex cy cz jexcy-2cz数量场=1 n Jx2 +y2 z2 分别对x, y,z求偏导数，得1二 Jx2+y2+z22x12jx2+y2+z2xx2 + y2+z2,由对称性知guyX2 +y2 +z2，guczx2z+ y2 + z2 ,ac将Q,Qex cycucz分别对x, y, z求偏导，得c2u _ (x2 + y2 + z2) -X/ 2 , 2 , 22(x 和 +z )2x-2e

10、x2 y (x2. 2 2+ z -x4 2 + 22 ,+ y +z )z2 + x2 - y2-2c ux2 + y2-z2-2cy/ 2 + 2 + 22，(x +y +z )cz (x2 +y2 + z2)2 2 2 2raw 1因此，div(gradu) = + + = 2次dyczx+y+z【答案】k(1,1，1)T【解析】因为r (A) = n -1,由n -r (A) = 1知，齐次方程组的基础解系为一个向量，故Ax =0的通解形式为 妁.下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax = 0的一个非零解，它就是Ax = 0的基础解系.各行元素的和均为 0,即aii

11、+ai2 + ain = 0II a2i + *22+ a2n = 0an1 + an2+ ann = 0而齐次方程组 Ax =0为ai1 xi + ai2xainx 0a2iXi +a22X2 十+a2nXn =0+aniXi 中务2%2 中 +annXn =0两者比较，可知X, =X2二=xn =1是Ax = 0的解.所以应填k(1,1，,1)T .二、选择题(1)【答案】(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(B)【解析】0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，运用洛必达法则，有sin X2f (X)4 sin(t)dt 洛sin(sin2x)cosxlim= lim34

12、 = limxT g(x)Xi0X + XxTx3+x43x2 +4x3=limTimcos xT 3x +4x1sin(sin2 x)=lim 23XT 3x2 +4x32:X ,所以因为当 XT 0 , sin XT 0,所以 sin(sin2 x) ： sin2x12sin (sin x)lim30223 = lim 233x2+4x3xt)3x2+4x3-lim =1T3 + 4X 3所以f(X)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).【相关知识点】无穷小的比较:设在同一个极限过程中，a(x), P(x)为无穷小且存在极限lim ；凶 =1 ,P(x)若li(1)若l若l若la

13、(X)工0,称a(X), P(x)在该极限过程中为同阶无穷小;=1,称a(X), P(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为a(X): P(x)；=0,称在该极限过程中 a(x)是P (X)的高阶无穷小，记为a (x)=o(P(x).c 不存在(不为K),称a(X), P(x)不可比较. P(x)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于X轴、y轴对称,(如草图)只需计算所围图形在第一象限部分的面积;双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程较为简单：P2=cos2.显然,在第一象限部分日的变化范围是日亡0,.再由对称性得S=4S1=4 扛俨H2J；cos2日E 应选(A).【答案】(C)【解析

14、】这实质上是求两个向量的夹角问题，Li与L2的方向向量分别是11=(1,2,1), l2 =-1 0= (T,T,2),L1与L2的夹角申的余弦为cos =|COS(I1, I2) |=-乙! =3Ihllbl” 兀 所以W =,应选(C).【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上，该曲线积分与路径无关二(f(X)-eX)cos y = f (x)cos y,eXf(x)1 =e2x,eXf(X)=e2x+C ,所以 f(X)=e(1e2x+C).2 211化简得解之得f(X)+ f(X)=ex,即由 f (0) =0 得 C =-,因此 f(x) = (exe)，故应选(B).22【相关

15、知识点】曲线积分Jl Pdx +Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是cP【答案】(C)【解析】若A是ms矩阵，B是nxs矩阵，AB =0,则r(A)+r(B) n.当t =6时，矩阵的三行元素对应成比例，r(Q) =1,有r(P)+r(Q)兰3,知r(P) 2,所以，r(P)可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确;当t工6时，矩阵的第一行和第三行元素对应成比例，r(Q) = 2,于是从r(P) + r(Q)兰3得r(P) 1,从而r(P )=1必成立，所以应当选(C).三、(本题共3小题，每小题5 分,满分15分.)1(1)【解析】令一=t ,则当XT处时,tT 0,xx

16、msjndcosSx x1= limsin 2t+cost)t,1si n2tHcostJ=哩(1 +sin2t+cost-1)sin2t七0st-1”t这是1处型未定式,1lim(sin 2t +cost)t1而哩(1 +sin 2t +cost -1)sin2t七0sz是两个重要极限之一，即11四(1 + sin2t+ cost _1)sin2t卡0st=e.所以1sin2t4costj im sinZtcostJlim(sin 2t+cost)t =lim e t =6 t ttjPsin 2t +cost -1、2cos 2t sin tlim洛 lim= 2 ,Tt一 jlim(si

17、n + cos) =e . XY x x【解析】x方法一 ：J君xxdb=2xJeX 一1 -2j JeX 1dx.2tdt令 Jex -1 =t,则 x=ln(t2+1),dx= 2t +1所以 2JRd-Jt 需切tdt=2J(1-i4)dt=2t -2arctant + C =2jex -1 -2arctan血-1 +C ,所以XJ dx = 2xJeX -1 -2 J Jex -1dx Jex -1= 2xjex -1 -4jex-1 +4arctan Jex -1 +C方法二：令 JeX -1 =t,则eX =t2 +1,x = In(t2 +1),dx = 2tdtt +1所以J

18、启 dx= f(t1)ln(t1).-gLdfln(t1)dtVex -1t2 +1t2= 2tln(t2 +1)-2 Jtd In(t2 +1)=2tln(t2 +1)-4j;dt .关于fdt的求解同方法一，所以t2 +1xeXj dx=2tln(t2 +1)-4(t-arctant)+C Jex -1=2xJex -1 -4jex -1 +4arctan Jex-1 + C .(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程，两边除以y2得x2yS + xy4 =1,即一x2(y7) + xy4 =1.=z,则方程化为-X2z + xz = 1,即 z-1zx(-4,x x积分得z JxSc.

19、x 2由y/z得xyAC,2xy 1 +2Cx代入初始条件y 1x4 = 1,得C=丄，所以所求方程的特解是y22x解法二：所给方程可写成y =（y）2-的形式，此方程为齐次方程.x x=u ,贝U y =xu,y = u+xu,所以方程可化为积分得1 In2u-2u +xu =u2 - u ,分离变量得u-22=ln | x| +G ,即=Cx .dudxu(u-2) x2=u代入上式,得y-2x=Cx y.代入初始条件y|xT = 1,得C=-1,故特解为2xy+x2.四、（本题满分6分）【解析】将I表成I = JJPdydz + Qdzdx +Rdxdy,则+=2z+z-2z = z.r

20、ccex cy cz又工是封闭曲面，可直接用高斯公式计算.记E围成区域O,见草图，工取外侧，由高斯公式得5M|ldSzdV.0-+ yz +用球坐标变换求这个三重积分在球坐标变换下，0为：00 2.0 9 -,0 Pk 0,所以当XT +处时，Xf徉）T y ,故f（X）T 母由f (0) k：0,故f(x)为严格单调增函数,故n值唯一.证法二：用牛顿-莱布尼兹公式，由于XXf(X)= f(0) + L f (t)dt f (0) + L kdt = f (0) +kx,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形：因为b a e,故原不等式等价于 bln a ：alnb或gU.a ba

21、证法一：令 f(X)=xln a a ln x, (x ；ae),则 f (x) =ln a -.Xaa因为从而X Aa Ae,所以 ln a 1, 0.XXf(x)在xa:e时为严格的单调递增函数，故 f(X)f(a)=0, (xaAe).由此f (b) =bln a -aln b 0,即b I aa b .ln X证法二：令f(x)=(X Ae),则Xf(X)c。，所以f (X)为严格的单调递减函数，故存在ba e使得f(b)lnbbf(a)Ha成立.即ab :ba.七、(本题满分8分)2【解析】写出二次型 f的矩阵为,它的特征方程是|aE -A|=0f- -3-a-aA -3=(A 2)

22、() 6 +9_a2) = 0.f经正交变换化成标准形f = y2 + 2y； +5yf,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A的特征值.把A =1代入特性方程f20知a =2.这时A =(000、012、对于初=2,由(2E -A)x =0,0-1-2003，得 X2 =(1,O,O)T .-2-b勺00 r00、对于h=5,由(5E-A)x = 0,02-2T01-1，得 X(0,1,1)t.0-2200/将Xi，X2，X3单位化，得次的多项式)n nf (X1,X2，Xn送 aijXXj,其中 aij =ajiy j#称为n元二次型.令X =(Xi,X2，XnA=(aij ),则二次型

23、可用矩阵乘法表示为f (Xi,X2，Xn )=XTAx,其中A是对称矩阵(aT=A),称A为二次型f (x1,x2- ,xn )的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B按列分块,记B =(优，3n)，若即(fV p2,Pn)% k2b=0,亦即1Bgk2b1kn丿厲1)“1=0.k2k2k2两边左乘A ,得AB=0,即=0 ,亦即kiPi +k2p2 十中 knPn =0,kn丿Jkn丿所以耳，6,pn线性无关.证法二：因为B是mxn矩阵，n cm,所以r(B) r(AB)=r(E)= n,故r(B) = n.所以氏，码Pn线性无关.【相关知识点】1.向量组线性相关和线性无关的定义：存

24、在一组不全为零的数 k1,k2 ,km,使匕1 +k2a2卡+kCt0,则称口102： ,%线性相关；否则，称92,，线性无 关.2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩 九、(本题满分6分)【解析】如图，设当A运动到(0,Y)时，B运动到(x,y).由B的方向始终指向A,有dy = y 丫，即dx x-O(1)丫 xdydx又由一”碍勞,得dx由题意, x(t)单调增一0,所以乎.亦即dtTdYdY由(1)，(2)消去Y，2丫，便得微分方程dx2xy” +J1+ y 产=0初始条件显然是y( 1) = 0, y(1) = 1.十、填空题(本题共2小题，每小题3分,满分6分,把答案填

25、在题中横线上(1)【解析】可以用古典概型，也可以用抽签原理.方法一：从直观上看，第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关.),所以考虑用全概率公式计算.2 设事件Bi = “第i次抽出次品” i=1,2，由已知得P(3,)= ，P(B1)121012,P( B21 B1) = 1，P(B2 I B1)= 2 .应用全概率公式11 11 2 1 10 2 1P(B22 P(B1)P (B2|B1) + P(B1)P (B2|B121211 +打市二方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关)，不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得2 1次品的

26、概率相同，都是三=丄.12 6(2)【解析】方法一：可以用分布函数法，即先求出分布函数，再求导得到概率密度函数由已知条件，X在区间(0, 2)上服从均匀分布，得X的概率密度函数为(1I-，0x2Fx(x)詔 20,其它先求 F 的分布函数 Fy (y) = P(丫 y) = P(X2 y).当 y 4时，斤(丫)=1 ;当 0 y v4时,FY(y) = pW Ey = p x2 y = P -jyx 4.于是,对分布函数求导得密度函数1c/I0 c y c4 fY(y) = FY(y) =47?0，其他2 1故随机变量Y = x2在(0,4)内的概率分布密度 fY(y) =三.4/y方法二：也可以应用单调函数公式法由于y =x2在(0,4)内单调，反函数x = h(y)=jy在(0,2)内可导，且导数1,得到随机变量Y的概率h(y)恒不为零，因此，由连续型