3. 其他探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破

1、类型八 其他探究题【典例1】小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，连接，点F是线段上一点探究发现：（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？_（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由问题解决：（3）若，求的长【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用等角的余角相等求出A=E，再通过AB=BD求出A=ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线

2、等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出E=FDE，据此进一步得出ADB=FDE，最终通过证明ADB+EDC=90证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出90，90，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论；（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可.【详解】（1）ABC=CDE=90，A+ACB=E+ECD，ACB=ECD，A=E，AB=BD，A=ADB，在中，F是斜边CE的中点，FD=FE

3、=FC，E=FDE，A=E，ADB=FDE，FDE+FDC=90，ADB+FDC=90，即FDB=90，BDDF，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：，90，90，又，又90，90，F为的中点；（3）如图，设G为的中点，连接GD，由（1）可知，又，在中，在中，在与中，ABC=EDC，ACB=ECD，【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.【典例2】如图，在菱形ABCD中，ABAC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BECG，AF平分EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）（1）求证：AEHAGH；（2）当AB12

4、，BE4时求DGH周长的最小值；若点O是AC的中点，是否存在直线OH将ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）先判断出ABC是等边三角形，进而判断出ACDABC，判断出ABEACG，即可得出结论；（2）先判断出EH+DH最小时，AEH的周长最小，在RtDCM中，求出CM6，DM6，在RtDME中，根据勾股定理得，DE2，即可得出结论；分两种情况：、当OH与线段AE相交时，判断出点N是AE的中点，即可得出结论；、当OH与CE相交时，判断出点Q是CE的中点，再构造直角三角形，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形

5、ABCD是菱形，ABBC，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形，ABC60，BCD120，AC是菱形ABCD的对角线，ACDBCD60ABC，BECG，ABEACG（SAS），AEAG，AF平分EAG，EAFGAF，AHAH，AEHAGH（SAS）；（2）如图1，过点D作DMBC交BC的延长线于M，连接DE，AB12，BE4，CG4，CEDG1248，由（1）知，AEHAGH，EHHG，lDGHDH+GH+DGDH+HE+8，要是AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在RtDCM中，DCM18012060，CDAB12，CM6，DMCM6，在RtDME中，EMCE+CM14，根

6、据勾股定理得，DE2，DGH周长的最小值为2+8；、当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN，点O是AC的中点，SAONSCONSACN，三角形的面积与四边形的面积比为1：3，SCENSACN，ANEN，点O是AC的中点，ONCE，；、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，连接AQ，FG，点O是AC的中点，SAOQSCOQSACQ，三角形的面积与四边形的面积比为1：3，SAEQSACQ，CQEQCE（124）4，点O是AC的中点，OQAE，设FQx，EFEQ+FQ4+x，CFCQFQ4x，由（1）知，AEAG，AF是EAG的角平分线，EAFGAF，AFAF，AEFAGF（S

7、AS），FGEF4+x，过点G作GPBC交BC的延长线于P，在RtCPG中，PCG60，CG4，CPCG2，PGCP2，PFCF+CP4x+26x，在RtFPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2FG2，（6x）2+（2）2（4+x）2，x，FQ，EF4+，OQAE，即的值为或【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，判断出点N是AE的中点和点Q是CE的中点是解本题的关键【典例3】综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA

8、OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cosABO；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得AMQ的周长最小具体作法如图，作点A关于y轴的对称点A，连接MA交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时AMQ的周长最小请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（4，0），O

9、BOA4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，即可求解；（3）AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故直线AB的表达式为：yx2+2x；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+4；则ABO45，故cosABO；对于yx2+2x，函数的对称轴为x2，故点M（2，2）；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，则，即，解得：yP2或4，故点

10、P（2，2）或（0，4）；故答案为：yx+4；（2，2）；（2，2）或（0，4）；（3）AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，点A（4，0），设直线AM的表达式为：ykx+b，则，解得，故直线AM的表达式为：yx，令x0，则y，故点Q（0，）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（4，0）、（2，6）、（0，0），当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即06m，06n，解得：mn6，故点N（6，6）或（6，6）；当AC是对角线时，由中点公式得：4+2m+0，6+0n+0，解得：m2

11、，n6，故点N（2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（6，6）或（2，6）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏【典例4】已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EFBE，且EFBE，过点F作FGBC，交直线BC于点G.(1)如图，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：ABAEBG；(2)如图，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；(3)如图，当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上

12、时，FG交AD于点N，请直接写出线段AB、AE、BG之间的数量关系，不需要证明图 图 图第4题图【答案】(1)证明：如解图，延长AD交GF的延长线于点M，四边形ABCD是正方形，第4题解图A90，ABC90，又FGBC，四边形ABGM是矩形，AMBG，A90，EFBE，M90，AEBMFE，在ABE和MEF中，ABEMEF(AAS)，ABEM，AMAEEMAEAB，ABAEBG；(2)ABAEBG；证明：FEHBEA90，BEAABE90，FEHABE，在ABE和HEF中，ABEHEF(AAS)，EHAB，EHAEABAEAH，四边形ABGH是矩形，AHBG，ABAEBG；(3)AEABBG.

13、【解法提示】由(2)得ABENEF，NEAB，ANNEANABAE，BGAN，AEABBG.【典例5】如图，在等腰RtABC和等腰RtEDB中，ACBC，DEBD，ACBEDB90，P为AE的中点(1)观察猜想连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是_，数量关系是_；(2)探究证明如图，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EFBC于F，连接PF，试判断PCF的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E的运动过程中，当PCF是等边三角形时，直接写出ACB与EDB的两直角边之比【答案】解：(1)PCPD，PCPD；【解法提示】如解图，过点E作EFBC于F，过点P作PHBC于H，连接PF，易得

14、四边形EFBD是正方形，EFED，DEBFEB45，PEFPED135，在PEF和PED中，PEFPED(SAS)，PFPD，EPFEPD，ACPHEF，点P为AE的中点，点H是FC的中点，CHHF，又PHBC，PCPF，故PCF是等腰三角形，CPHFPH，PCPD；HPBHPFEPF45，CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90，PCPD.(2)PCF为等腰三角形，理由如下：如解图，过点P作PHBC于点H，则ACPHEF，P为AE的中点，点H是FC的中点，CHHF，又PHBC，PCPF，PCF为等腰三角形；(3)2.【解法提示】如解图，过点E作EFBC于点F，过点P作PHBC于点

15、H，由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EFBFBDx，HFy，PCF是等边三角形，PHy，PHEF，BEFBPH，即，解得yx，BCx2y(2)x，2.ACB与EDB的两直角边之比为2.【典例6】问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，与相交于点点在边上，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，直接写出的长 【答案】23问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：【解析】【分析】问题背景：通过得到，再找到相等的角，从而可证；尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连

16、接CE，通过，然后利用对应边成比例即可得到答案【详解】问题背景：，BAC=DAE， ，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，；尝试应用：连接CE，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，由于，即，又，即，又，；拓展创新：如图，在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，ADE=BAD+ABD，ABC=ABD+CBD，ADE=ABC，又DAE=BAC，又DAE=BAC，BAD=CAE，设CD=x，在直角三角形BCD中，由于CBD=30，【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键【典例7】以下虚线框中为一个合作学习小组在一

17、次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题（1）在中，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；连线；观察思考（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想当 时，最大；（4）进一步C猜想：若中，斜边为常数，），则 时，最大推理证明（5）对（4）中的猜想进行证明问题1在图中完善的描点过程，并依次连线；问题2补全观察思考中的两个猜想： _ _问题3证明上述中的猜想：问题4图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段

18、为感光区城，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值【答案】问题1：见解析；问题2：2，；问题3：见解析；问题4：当时，感光区域长度之和最大为【解析】【分析】问题1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可；问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当2时，最大；设，则，可得，有，可得出；问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设，则，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），设，得，可得，根据当时，等式成立有，可得出；问题4：方法一：延长交于点，过点作于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，交于点，由题可知：在中，得，根据，有，得，易证四边形为矩形，四边形为矩形，根据可得，

19、由问题3可知，当时，最大，则有时，最大为；方法二：延长相交于点同法一求得：，根据四边形为矩形，有，得到，由问题3可知，当时，最大则可得时最大为【详解】问题1：图问题2：；问题3：法一：（判别式法）证明：设在中，关于的元二次方程有实根，当取最大值时，当时，有最大值法二：（基本不等式）设在中， 当时，等式成立，当时，有最大值问题4：法一：延长交于点过点作于点垂足为过点作交于点垂足为交于点由题可知：在中，即又，在中，即四边形为矩形，四边形为矩形，在中，由问题3可知，当时，最大时，最大为即当时，感光区域长度之和最大为法二：延长相交于点同法一求得：设四边形为矩形，由问题3可知，当时，最大时最大为即当时，感光区域长度之和最大为【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键【典例8】如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M(1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否