如何构筑有深的课堂

1、好课应该是有深度的课堂好课应该是有深度的课堂 何谓有深度的课堂？（你是怎样理解深度） “深度”课堂不是“难度”课堂 深度课堂是对常态课的一种超越 深度课堂一定是有内涵的课堂 深度课堂一定是有冲突的课堂 深度课堂一定是有味道的课堂 深度课堂一定是有活力的课堂 深度课堂一定是有实效的课堂 深度课堂一定是有后劲的课堂 教学中的10个不等式 教师讲解机械灌输 传统的教学手段落后的教学方法 尊重学生放纵学生 现代化的教学手段现代化的教学思想 提倡教学民主不要教学秩序 教学中的10个不等式 掌握定义理解概念 掌握知识增长智慧 追求时尚理念先进 教学的观赏性强教学的时效性高 课堂气氛活教学效果好 现在的课

2、关注教学起点关注教学起点 关注学生生活关注学生生活 关注学习过程关注学习过程 关注学科本质关注学科本质 关注三维目标关注三维目标 构建深度课堂的十个策略 读懂学生 读懂教材 适度拓展 思想蕴伏 植入文化 局部美容 问题引领 数形结合 巧设练习 理念移植 读懂学生读懂学生关注教学起点关注教学起点 即使是最普通的孩子，只要教 育得法，也会成为不平凡的人。 爱尔维修 数学课真正的精彩是学生的精彩， 而不是教师的精彩。 不能真正了解学生，教师的教学行为 就是盲目的，课堂也必然是低效的。 只有读懂学生，我们的课堂教学才能 做到扎实高效。 学生前测的题目学生前测的题目 你能计算下面的分数加减法吗？你打算怎

3、么 计算？ 说明理由。若不会算，说说你的困惑 在哪儿？ 案例案例1：异分母分数加减异分母分数加减 如何找到解决问题的起点如何找到解决问题的起点? ?学生调研学生调研 1.1.学生已有知识基础（包括知识技能、方学生已有知识基础（包括知识技能、方 法）法） 2.2.学生已有生活经验和学习该内容的经验学生已有生活经验和学习该内容的经验 3.3.学生学习该内容可能的困难学生学习该内容可能的困难 4.4.学生学习的兴趣、学习方式等学生学习的兴趣、学习方式等 5.5.资料学习资料学习 教学目标 理解和掌握异分母分数加减法的计算方法，理理解和掌握异分母分数加减法的计算方法，理 解解“为什么要通分为什么要通分

4、”的道理。的道理。 在原有的知识经验基础上，利用知识的迁移，在原有的知识经验基础上，利用知识的迁移， 数形结合的思想在辨析中自主构建新知，渗透数形结合的思想在辨析中自主构建新知，渗透 转化的数学思想同时促进学生反思能力的提高。转化的数学思想同时促进学生反思能力的提高。 在活动中体会探究的快乐。在活动中体会探究的快乐。 教学重点：教学重点： 理解理解“只有分数单位相同才能相只有分数单位相同才能相 加减加减”的道理。的道理。 教学难点：教学难点： 让学生明白让学生明白“为什么要转化为什么要转化” 的道理。的道理。 人数比第二人数比第二 题少了，怎题少了，怎 么回事？么回事？ A:A:学生不会做学生

5、不会做, ,在思考时产生了疑问在思考时产生了疑问, ,没找到解决问题的办没找到解决问题的办 法法 这种想法是学生受了整这种想法是学生受了整 数数,小数减法计算算理的小数减法计算算理的 影响影响. B:受整数和小数加减法的影响，没有验证的意识。受整数和小数加减法的影响，没有验证的意识。 C:学生的想法受到同分母分数计算方法负迁移的影响，学生的想法受到同分母分数计算方法负迁移的影响， 没有验证的意识。没有验证的意识。 对于第二题学生对于第二题学生 已有一定的经验已有一定的经验, , 但做第三题时但做第三题时, , 学生受到数据干学生受到数据干 扰扰, ,思维开始混思维开始混 淆淆, ,产生了疑问产

6、生了疑问. . D:学生意识到单位学生意识到单位 相同的数才能相加减。相同的数才能相加减。 E:学生学生有验证的意识。有验证的意识。 虽然不对,但是已 经有了一些想法. 受数据影响开始 产生困惑 F:F:学生能够学生能够 根据分数的根据分数的 意义意义, ,通过通过 画图来解题画图来解题. . 启示启示1.1.花些时间了解你的学生，花些时间了解你的学生， 确定你的教学起点确定你的教学起点 案例案例2 2：为何：为何“探究不出探究不出 来来”除法竖式除法竖式 24242 723 现象：题现象：题1 1很多同学都可以很多同学都可以 通过摆小棒掌握列出竖式，通过摆小棒掌握列出竖式， 题题2 2很困难

7、很困难 思考步骤思考步骤 24 242 2 72 723 3 第一步第一步 分整捆分整捆 把把2 2捆小棒平均分给捆小棒平均分给2 2 人，每人得到人，每人得到1 1捆捆 把把7 7捆小棒平均分给捆小棒平均分给3 3个人，无法个人，无法 分分 把把7 7捆小棒拆分成捆小棒拆分成6 6捆和捆和1 1捆捆 把把6 6捆小棒平均分给捆小棒平均分给3 3个人，每人个人，每人 得到得到2 2捆捆 第二步第二步 分零根分零根 把把4 4根小棒平均分给根小棒平均分给2 2 个人，每人得到个人，每人得到2 2 根根 把剩下的把剩下的1 1捆小棒拆开，与原来的捆小棒拆开，与原来的 2 2根小棒相加得到根小棒相加

8、得到1212根小棒根小棒 把把1212根小棒平均分给根小棒平均分给3 3个人，每个人，每 人得到人得到4 4根根 第三步第三步 得结果得结果 把每人得到的把每人得到的1 1捆小棒捆小棒 和和2 2根小棒相加，根小棒相加， 得到最后的结果得到最后的结果1212 回忆先前每人得到的回忆先前每人得到的2 2捆捆 将每人得到的将每人得到的2 2捆与捆与4 4根相加，得根相加，得 到最后的结果到最后的结果24.24. 第第4 4步步 写竖式写竖式 建立思考过程与竖式建立思考过程与竖式 的联系的联系 建立思考过程与竖式的联系建立思考过程与竖式的联系 启示启示2 2： 教师的职责教师的职责“解惑解惑”，解惑

9、，解惑 的前提的前提“知惑知惑”。“惑惑”就是你的教就是你的教 学关键学关键 学生学习困难具有两个特征：学生学习困难具有两个特征： 思考过程过于复杂思考过程过于复杂 与已有的知识和经验没有联系或与已有的知识和经验没有联系或 相悖。相悖。 教学关键：如何把教学关键：如何把“不能分不能分”转化为转化为 “可以分可以分” 读懂教材读懂教材关注学生生活关注学生生活 读懂教材是教师必备的基本功，也是 使用教材、进行有效教学的基础。现 行教材中都是以情境来展示教学目标 的。它给了老师更大的研读教材的空 间，同时也给了我们很大的挑战。教 材上的每幅图都有其深刻的含义和目 的，做为教师只有把它研读透彻才能 明

10、白其中真知。 案例1：案例：计算364+578 （1）300+500+60+70+4+8 （2）360+570+4+8 （3）300+500+64+78 （4）364+580-2 （5）364+600-22 （6）列竖式 启示1：如此繁多的算法如何处理 案例2：以33-7为例：说明算法多样化的三 个层次 第一层次：操作水平，左图男孩借助实物 操作，动作与思维兼而有之。 第二层次：表象操作水平。孩子在自己的 头脑中想自己的操作动作，但不赋予行为。 第三层次：分析水平。根据模型计算 动作思维 （动作表象） 表象思维 （图形表征） 抽象思维 （符号表征） 启示2：算法多样化中的三个思维层次 可以从哪

11、些角度去解读教材，读懂可以从哪些角度去解读教材，读懂 教材？教材？ 1.1.要用整体联系的观点解读教材要用整体联系的观点解读教材 把数学看成一个不可分割的整体，就 要理解并把握数学课程内部的联系。 解读教材要了解在前面年级已学的数 学和后面年级将要学的数学知识，根 据已学的知识去理解掌握新的知识， 把新知识视为已学知识的推广或拓展， 把已学知识视为新知识的停靠点或生 长点。当我们发现已学知识与新知识 之间的联系时，我们的理解会深刻并 且牢固。 案例 解读三下“比赛场次”的教材时，是否联 系到三上“搭配中的学问”和六上的“比 赛场次”，是否想过它们之间的区别与联 系？ “搭配”问题是乘法的一种实

12、际情境：两 个集合的元素个数分别是m、n，它们交叉 对应，一共可以搭配成（mn）个不同的 组合。 “搭配中的学问”问题（下面简称“搭配”问题） 的特征是分别从两个有限集合任意取出一个元素 组成一个组合，问这两个集合的所有元素能组成 多少个不同的组合？ “比赛场次”的问题（下面简称“比赛”问题） 的特征是从一个有限集合任意取出两个元素组成 一个组合，问这个集合的所有元素能组成多少个 不同的组合？ “比赛”问题不是简单的乘法问题，但把这类问 题当作简单的乘法问题是学生常犯的错误。 在小学阶段，解决组合问题的基本策略是 具体操作，一一列举；并重在培养学生有 序思考的意识，理解怎么做才能不重复不 遗漏

13、。 2003年中国队所在的小组共有4 支球队，每2支球 队之间都进行一场比赛。整个小组共赛多少场？ 要不重不漏地找出所有比赛组合，用逻辑分类是 个好策略。即以是否有中国队参赛为标准把所有 的比赛分成两类：一类有中国队参赛 ，另一类没 有中国队参赛，此外就没有第三种情况了。通过 分类，原来的问题就转化为两个简单的问题，其 中一个问题就是教材中的 第一问：“中国队在小组中要进行几场比赛？” 另一个问题：中国队外，其他3队要进行几场比赛？ 读懂教材就要读懂教材中所蕴含的数学思 维，进而是如何用数学语言恰当地表达数 学思维的成果（包括数学模型）。 如果说三上的“比赛场次”，要学会的是 用画图或列表等方

14、法解决“比赛”问题， 那么六上的“比赛场次”就要进一步探究 “比赛”问题中的数量关系，即寻找“参 赛人数”与“比赛场数”之间存在的数字 关系和数字模式。比较两个学段“比赛场 次”的教材，读懂它们不同的内涵，才能 够层次分明地处理和落实好相同的课题在 不同学段的学习目标。 王皓、马琳、朱世赫王皓、马琳、朱世赫 、李廷佑等、李廷佑等13人进行比赛人进行比赛 ，每两个人之间都进行一场比赛每两个人之间都进行一场比赛。 一共要比赛多少场？一共要比赛多少场？ 参加比参加比 赛人数赛人数 3 表格示意图表格示意图 4 线段示意图线段示意图 5 比赛场数比赛场数 6 31+2=3 1+2+3=6 1+2+3+

15、4=1010 2 11 画勾或连线数画勾或连线数 AB A B ABC A B C A D D BC A B C DABCE A B C D E 一共要比赛多少场？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（场）（场） 按照上面的规律，根据按照上面的规律，根据: 1+2+3+15=120（场）（场） 这个算式，你能推理出有多少这个算式，你能推理出有多少 名运动员吗？名运动员吗？ 王皓、马琳、朱世赫 、李廷佑等13人进行比赛 ，每两个人之间都进行一场比赛。 星星体操队为联络方便，设计了一种联络方式星星体操队为联络方便，设计了一种联络方式: 1.先由教练同时通知两位队长。 2.两

16、位队长再分别同时通知两名同学。 3.依此类推，每人再同时通知两个人。 第一分钟第一分钟第一分钟第一分钟 第二分钟第二分钟 （每同时通知两人共需1分。） 1 2 22 2+4=66 2 2 分分 一共一共 通知通知 的人的人 6分一共可以通知到多少名同学? 学校数学教育的一个主要目标是使学生学会自主 学习。自主学习的一个重要内涵是学会阅读，学 会与教材文本对话。教师的责任不是直接教教材， 而要教会学生自己去学教材，鼓励学生自己与教 材对话，然后针对学生自学教材中发现与存在的 问题进行针对性的教学活动。这样的课堂教学活 动对教师提出了更高的要求。教师的高明不是脱 离教材另起炉灶，旁征博引，而是靠教

17、材搭起师 生的互动平台，捕捉契机，传授方法，启迪智慧， 引导价值。这一切都必须源于教材；都必须立足 于个性化地解读教材，不仅读懂而且读通教材的 基础之上。 问题引领问题引领关注学习过程关注学习过程 案例4：没有问题的“轻松”课堂 角的度量 l 创设情境 l认识量角器 l 使用量角器 总结提高 课后留给老师们的思考： . 课堂学生似乎轻松地学会了角的度量， 难道他们真的没有遇到问题吗？ 3 . 如何让学生在探究知识的过程中学会发 现问题、提出问题并尝试着解决问题呢？ 2 . 在数学学习过程中是否还有比掌握量角 的技能更重要的东西呢？ 4 . 这样的课堂似乎缺了点什么，缺了点什 么呢？ “问题丛生

18、”的课堂 问题一：“怎么才能量出这两个角谁大谁小呢？” 小角量大角，渗透度量意识 (1) 问题二：“小角量大角太麻烦了， 有更简便的测量方法吗？” 认识量角器，感受量角器的价值 问题三：问题三：“这样量怎么读不出度数这样量怎么读不出度数”？ 亲自尝试，探究量角的方法亲自尝试，探究量角的方法 学生一上来就犯了从直尺一端开始测学生一上来就犯了从直尺一端开始测 量的量的“经验主义经验主义”错误。不会正确摆放量错误。不会正确摆放量 角器。用量角器非中心点的一端顶住了角角器。用量角器非中心点的一端顶住了角 的顶点。因此，找不到角的度数。的顶点。因此，找不到角的度数。 学生用量角器的圆弧直接卡住了两条边学

19、生用量角器的圆弧直接卡住了两条边 的任意一点直接去量点。的任意一点直接去量点。 问题四：“究竟是30还是150呢？” 亲自尝试，突破难点亲自尝试，突破难点 30 150 这是一节问题丛生的“活力课堂”， 巧妙的教学设计魅力就在于此让学生 自己发现问题、提出问题、解决问题，积 极主动地自主建构。 学生的错误是有价值的教学资源。从 引发冲突，激起探究需要，到最后自主解 决问题，这样才能真正让学生从知识产生 过程的体验中，享受到探究的乐趣，获得 自信和活力，让学生获得高质量的课堂生 活。 思想蕴伏思想蕴伏关注学科本质关注学科本质 案例1：正方体和长方体的展开图 有效的办法：在纸上画出，剪下来， 再折

20、一折。 问题：动手操作代替空间想象，可行吗？ 思考： （1）这节课的目的是什么？ （2）会不会过度依赖动手操作，而弱化了 学生的想象力？ 结论：操作是必要的，但仅仅是为了给学 生建立展开图的表象是远远不够的。 发现规律很重要 生1：原来相对的面展开后都会隔开 生2：前后上下四个面会连成一排 生3：还有不是四个面会连成一排 （1）用小棒摆出不同的长方形 结论：在“选”与“摆”的过程 中 都要自觉的思考图形的特 征，因此，不仅仅是操作活 动，还有思维活动 （2）你能折出最大的正方形吗？学生一步步的严密推理 案例3.注重数学思想的渗透以“平行四 边形面积计算为例” （1）转化 （2）“变”与“不变”

21、等积变形 长方形面积相等，周长相等吗？ 圆柱铸成圆锥 （3）观察长方形框架逐渐变形对极限 的无限遐想 （4)类推 案例4 小案例（2年级） 1方法的学习：简化问题寻找规律； 生：“有100棵树，倒过来数第18棵是正过来数的第几棵？”，是第82棵吗？ 师：能肯定吗？ 生： 师：困难是什么？（意识到问题所在） 生：数字太大，小一点就好了； 师：有没有什么办法把数字改小一点？（进入方法学习） 生：有有20棵树，倒过来数第18棵是正过来数的第几棵？ （难度没有减小） 师：数字还是大！换一个办法减小数字可以吗？ 生：有10棵树，倒过来数第1棵是正过来数的第几棵？那当然是第10棵！ 师：原来的问题会解吗（

22、见学生迟疑）？倒过来数第2、3棵是正过来数的第几棵？ 生：那是第9个、第8个，知道了！倒过来数第8棵应当是正过来数的第3棵！ 师：100棵树的时候呢？ 生：应当是第93棵。 师：那倒过来数第18棵呢、第37棵呢？ 生：应当是100-18+1=83，100-37+1=64，棵。 师：我随便说第几棵，你是不是都能够给出答案？（一般化） 数学广角的启示 1.“植树问题”我们可以看到这样一些 共同点 第一，任课教师往往特别重视关于“植树问题” 的三种不同类型的区分，即所谓的“两端都 种”“只种一端”与“两端都不种”。例如，在 “应用模型，解决问题”这一环节，教师常常会 不厌其烦地反复提出这样一个问题：

23、“这属于(“植 树问题”中的)哪个类型啊?”有的教师更为此设计 了专门的练习题：“选一选，下面每一题相当于 植树问题中的哪一种情况?(1)广场上的钟声；(2) 音乐中的五线谱； (3)衣服上钉的纽扣” 另外，在现实中这往往也就是诸多不同教案的主 要区别所在：我们究竟应当同时引入所说的三种 情况，还是应当首先重点研究其中的某一种然后 再过渡到其他两种? 第二，就上述三个类型的区分而言，教学 设计者往往又归结为“规律的发现”。如 “从简单问题、简单事例人手，寻找规律， 通过规律的得出，最终得到问题的解决”。 另外，从实际的教学情况看，更有不少教 师将此当成了“教学重点”，并普遍地采 取了“学生独立

24、探究(或分组探究)、反馈 交流、教师总结”这样的教学方法。再则， 主要地 也就是基于这样一种认识，有不 少教学设计者就将最后的“应用模型，解 决问题”简单地命名为“应用规律”。 第三，就相关的数学思想而言，有不少教 师突出地强凋了所谓的“化归思想”，尽 管从相关的教学实践看，“模型的建立与 应用”似乎更可被看成这一教学活动的主 线，而且，在此似乎也很难看出究竟什么 是所说的“化归思想”，后者又如何在 “植树问题”的求解过程中得到了具体的 运用? 就“植树问题”这一内容的教学而言，事 实上涉及了两种不同的数学活动：其一， 以“植树问题”为(现实)原型引出普遍性的 数学模式(例如，可以称为“分隔问

25、题”)， 然后再利用这一模式去解决各种新的实际 问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、 爬楼问题等。其二，对于上面所提到的每 一个问题，我们又都可区分出三种不同的 情况，就“植树问题”而言，这也就是所 谓的“两端都种”“只种一端”与“两端 都不种”。 思考：究竟何者应当成为这一教学活动的 重点?什么又是这一教学活动的真正难点? 2.烙饼问题 3.找次品问题 4.鸡兔同笼问题 案例案例3：鸡兔同笼问题：鸡兔同笼问题 问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有 46元买10支笔，应如何购买？ 有两种思维方法： 算术方法：尝试，调整 穷举，列表 假设，推理 代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未

26、知数，列方程（不同方式），解 方程。 算术方法（一）尝试（猜测）调整 有的学生尝试：买4支铅笔6支钢笔， 供需要58元。 调整：只有46元，不足，只能少买一 些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43 元。再调整：自己有46元，还可多买 钢笔；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。 算术方法（二）穷举，列表 学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、 列表法做出判断。 在“分类分类”讨论是数学思考问题的基本思讨论是数学思考问题的基本思 想想，穷举、列表等是最基本、重要的一种 方法。为了把所有的情况表示清楚，我们 常常采用这种方法。 算术方法（三）假设、推理 假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要40 元。如

27、何使用余下的6元？ 我们知道： 1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元 这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。 由此可知 46元可买8支铅笔，2支钢笔。 算术方法小结： 从数学上来讲，前两种方法更重要一些，它们体 现了数学基本思想逼近、分类逼近、分类。它们也是数 学的通性通法，在今后学习中非常有用。希望老 师帮助学生掌握。 从学生认知来说，前两种方法也是学生容易接受 的方法。它们反映了比较自然的解决问题过程。 很多老师更喜欢用第三种方法来解决类似问题， 但这对于部分学生有一定难度。 代数方法： 1、量的分析 铅笔每支4元、钢笔每支7元 （1） 铅笔的数量、钢笔的数量 （2） 铅笔和钢笔的总量10支

28、（3） 一共拥有46元 （4） 其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.这些在 讨论问题过程中都是不变的。 2、等量关系 让学生用自然语言叙述等量关系 等量关系1：铅笔、钢笔的数量之和是10支。 等量关系2：买铅笔和钢笔的费用之和是46元。 3、设未知数、列方程 第一种列方程方式：设未知量铅笔的支数为x， 利用等量关系1：钢笔的数量为10-x, 这样，利用等量关系2，有： 4x+7(10-x)=46 。 第二种列方程方式： 设铅笔的支数为x，钢笔的支数为y，则 x + y=10 （利用等量关系1） 4x+7y=46 （利用等量关系2） 4、 解方程。 适度拓展巧设练习 在熟练操作的背景

29、下产生智慧在熟练操作的背景下产生智慧 熟能生巧熟能生巧“熟熟”，表示反复地按照现，表示反复地按照现 有程序进行操作，达到得心应手的程度，有程序进行操作，达到得心应手的程度， 以至于形成一种习惯。以至于形成一种习惯。“巧巧”代表一种代表一种 新的智慧新的智慧 “对基本概念的理解要变为直觉对基本概念的理解要变为直觉” 杨振宁杨振宁 思维需要效率思维需要效率 记忆通向理解记忆通向理解 速度赢得效率速度赢得效率 严谨形成理性严谨形成理性 重复依靠变式重复依靠变式 (1)(1)变式引领下的数理演练变式引领下的数理演练 什么是变式？抽象的概念需要熟悉什么是变式？抽象的概念需要熟悉 广泛、众多的事物才得以形

30、成。变广泛、众多的事物才得以形成。变 式就是从不同的角度组织感性材料，式就是从不同的角度组织感性材料， 变换事物的非本质特征，在各种表变换事物的非本质特征，在各种表 现形式中突出事物的本质特征，从现形式中突出事物的本质特征，从 而使学生对概念的理解达到越来越而使学生对概念的理解达到越来越 高的概括化程度。高的概括化程度。 通过变式教师为学生的思维提供了通过变式教师为学生的思维提供了 一个阶梯，重复而不呆板。每个便一个阶梯，重复而不呆板。每个便 是具有创新的意味，但又能夯实基是具有创新的意味，但又能夯实基 础。础。 原问题：原问题： 小明从学校去往同学家，前一段路程乘车用小明从学校去往同学家，前

31、一段路程乘车用 了了1515分钟，后一段路程步行也用了分钟，后一段路程步行也用了1515分钟。分钟。 其中，车子行驶的速度是其中，车子行驶的速度是18km/h18km/h，步行的速，步行的速 度是度是3 km/h3 km/h。小明去同学家的平均速度是多。小明去同学家的平均速度是多 少？少？ 变式一：变式一： 小明从学校去往同学家，去时以小明从学校去往同学家，去时以4km/h4km/h的速度的速度 走了走了4 4小时，原路返回以小时，原路返回以3km/ h3km/ h的速度行走，的速度行走， 求他来回的平均速度。求他来回的平均速度。 同原水平：不存在抽象，不加深对问题中核同原水平：不存在抽象，不

32、加深对问题中核 心概念的理解。心概念的理解。 变式二变式二 小明从学校去往同学家，前一半时间以小明从学校去往同学家，前一半时间以 4km/h4km/h的速度行走，后一半时间以的速度行走，后一半时间以3km/h3km/h的的 速度行走，求他的平均速度。速度行走，求他的平均速度。 高一级水平思维：通常，解决速度的问题，高一级水平思维：通常，解决速度的问题， 我们需要求出路程、时间，现在时间没有、我们需要求出路程、时间，现在时间没有、 路程也求不出。怎么办？路程也求不出。怎么办？ 未知数加入运算！未知数加入运算！ 设行走的总时间是设行走的总时间是2x2x， 那么，结果就是：（那么，结果就是：（4x+

33、3x4x+3x）2x2x。 简简 单地：（单地：（4+34+3）2 2。发现，这时求平均速。发现，这时求平均速 度，实际和时间无关。在思路上可以用到度，实际和时间无关。在思路上可以用到 假设。假设。 变式三：变式三： 小明从学校去往同学家，先乘车以小明从学校去往同学家，先乘车以 24km/h24km/h的速度行走了一半的路程，后的速度行走了一半的路程，后 以以4km/h4km/h的速度步行了一半路程，求他的速度步行了一半路程，求他 的平均速度。的平均速度。 高一级水平：加深对问题中核心概念高一级水平：加深对问题中核心概念 “平均平均”的理解。的理解。 2X2X(X24+X4) 变式四：变式四：

34、 小明卖明信片，第一天以小明卖明信片，第一天以“甲种一元甲种一元2 2 张、乙种一元张、乙种一元3 3张张”的方式定价，共卖的方式定价，共卖 去甲种去甲种3030张、乙种张、乙种3030张，得款多少元？张，得款多少元？ 第二天以第二天以“两元两元5 5张张”方式定价，仍卖方式定价，仍卖 去甲种去甲种3030张、乙种张、乙种3030张，得款多少元？张，得款多少元？ 如果是甲种如果是甲种2 2元元3 3张，乙种张，乙种1 1元元2 2张，也张，也 是各卖是各卖3030张呢？张呢？ 在更高一级水平上理解问题中的核心在更高一级水平上理解问题中的核心 概念。概念。 数形结合数形结合关注学习的策略关注学习

35、的策略 模式化方法解决数学问题的有效策略 模式化方法就是数学建模的过程，用数学 描述或解释现实世界中的现象 案例1.图1由五个同样大小的圆组成,请画一 条直线将该图分成面积相等的两个部分。 案例2：用模式化的方法解决富有有挑战性 的数学问题 小林和小红的年龄之和是42岁，小林比小 红大16岁，5年后，小红的年龄是多少？ 小红存的钱是小明的3倍，丽丽存的钱比小 红少20元，如果3人共存款645元，丽丽有 多少元？ 新的教学内容、教学理念带给我们 诸多的不适应 从不同的视角思考，可以画出以下几种统计图从不同的视角思考，可以画出以下几种统计图。 案例一：案例一：“某企业有某企业有5 5位股东，位股东

36、，100100个工人个工人 ，1990199019921992年年3 3年间的收益情况如下年间的收益情况如下 从资金分配总额绘制统计图，说明老板与工人从资金分配总额绘制统计图，说明老板与工人 “有福同享，有难同当有福同享，有难同当“ B.B.分别以分别以19901990年的资金总额为标准，按资金分年的资金总额为标准，按资金分 配的增长绘制统计图，说明老板与工人的收益配的增长绘制统计图，说明老板与工人的收益 存在存在“剪刀差剪刀差” C.C.按平均每人收益绘制统计图，则老板按平均每人收益绘制统计图，则老板 与工人简直是与工人简直是“一个在天堂，一个在地下一个在天堂，一个在地下 。 多数教师一般只

37、能画出第一种统计图，多数教师一般只能画出第一种统计图， 使他们觉得很尴尬，其实不是他们不会解使他们觉得很尴尬，其实不是他们不会解 此题，而是不习惯这样的开放题。此题，而是不习惯这样的开放题。 例例1 1：一个家庭有两个孩子，这两个：一个家庭有两个孩子，这两个 孩子都是女孩子的概率是多少？是一孩子都是女孩子的概率是多少？是一 男一女的概率又是多少？男一女的概率又是多少？ 错误：因为一个家庭有两个孩子的情况错误：因为一个家庭有两个孩子的情况 共有三种不同情况：即或者两个都为男孩共有三种不同情况：即或者两个都为男孩 、或者都为女孩，或者是一个男孩和一个、或者都为女孩，或者是一个男孩和一个 女孩，所以

38、：女孩，所以： P P（两个孩子都是女孩）（两个孩子都是女孩）=P(=P(两个孩子是两个孩子是 一男一女一男一女)=)= 4 1 2 1 分析与正解：这是最容易出现的一种分析与正解：这是最容易出现的一种 错误，表面上看好像是对的，实际是错错误，表面上看好像是对的，实际是错 的。错误的原因解题者在解题过程中只的。错误的原因解题者在解题过程中只 重视了事件发生后的结果，没有重视事重视了事件发生后的结果，没有重视事 件发生的过程，本题结果虽然是件发生的过程，本题结果虽然是 只有只有3 种情况，但其发生的过程应该是种情况，但其发生的过程应该是4种不种不 同的情况（一男一女的结果实际是两种同的情况（一男

39、一女的结果实际是两种 ，两男、两女各一种），两男、两女各一种） P（两个孩子都是女孩）（两个孩子都是女孩）= P(P(两个孩子是一男一女两个孩子是一男一女)=)= 三、我们的课堂要追求什么三、我们的课堂要追求什么 1.1.化知识为智慧，积文化为品质化知识为智慧，积文化为品质( (圆周率、一年级作圆周率、一年级作 文）文） 2.舒适的学习环境舒适的学习环境, ,平等的师生关系平等的师生关系 3.3.建立建立以促进以促进“过程生成过程生成”为目的的为目的的“回应反馈回应反馈 ” 4.4.构筑理想课堂，必须明确构筑理想课堂，必须明确“理想理想”的标准。这个的标准。这个 “标准标准”，没有最好，只有更

40、好！不断的自我超越，没有最好，只有更好！不断的自我超越， 经典超越。经典超越。 曹冲称象曹冲称象 5.5.理想的课堂让我们克制虚荣和理想的课堂让我们克制虚荣和 贪欲，感知人世的真善美，从贪欲，感知人世的真善美，从 而陶冶情操，净化心灵。而陶冶情操，净化心灵。 6.6.理想的课堂是教师展现教育智理想的课堂是教师展现教育智 慧和个性魅力的舞台，是教师慧和个性魅力的舞台，是教师 实现生命价值的绿洲，因而课实现生命价值的绿洲，因而课 堂也是教师最精彩的人生。堂也是教师最精彩的人生。 案例1：四个数学准备性学习案例的启示 问题引出：她需要什么样的帮助？ 152152牌牌5252型拖拉机，一天耕地型拖拉机

41、，一天耕地150150公亩，问公亩，问1212天耕地多少公天耕地多少公 亩？亩？ 学生解答：学生解答：52521501501212 师：为什么？师：为什么？ 生：我错了生：我错了 师：怎样列式？师：怎样列式？ 生：除生：除 师：怎么除？师：怎么除？ 生：大数除小数生：大数除小数 师：为什么除？ 生：又错了，应该加。 （分析：猜，加、减、乘、除中肯定有一个对的） 师：换一道题，每天吃2个饼，5天吃几个？（每份数、份数、总数） “老师，我早上不吃大饼的” “那你吃什么?” “我经常吃粽子” “好，那你每天吃2个粽子，5天吃几个粽子?” “老师，我一天根本吃不下两个粽子” “那你能吃几个粽子?” “

42、吃半个就可以了” “好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?” “两个半” “怎么算出来的?” “2天一个，5天两个半” 案例启示：善于举例 前者是一种极生活化的思考，关注材料的合理性前者是一种极生活化的思考，关注材料的合理性; 后者是一种数学思考，将材料抽象为一个后者是一种数学思考，将材料抽象为一个“量量”， 从而进行形式化的演绎思考从而进行形式化的演绎思考 这位学生的问题就在于这种数学思考的方式尚未这位学生的问题就在于这种数学思考的方式尚未 建立起来，也就是说，她需要的不是老师不断地建立起来，也就是说，她需要的不是老师不断地 重复讲这类题目，而是建立起与题目对应的数学重复讲这类题目，而是建立起与题目对应的数学 语言，并运用数学语言间的数理关系进行演绎建语言，并运