30几何综合二

1、【内容僵述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积 所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.【典型问题】!_ - -I -I- -1_|-；北京帝第三届迎屛杯” 学竞赛*决赛第二jia第4题1. 如图30-1，已知四边形 ABCD中，AB=13, BC=3, CD=4 DA=12并且BD与AD垂直，则四边形 ABCD勺面积等于多少？c【分析与解】因为/ ADB=90,所以在 ABD中有 aB=AE2+BE2,即 BE2=aB-AD2=132-12 2=25,所以 BD=5.1 ABD的面积为一BD AD 30

2、2而在 BCD中有32+42=52 ,即 bC+CBD2 ,所以有 BCD为直角三角形. BCD的面积为1-BC CD 6.2而四边形 ABCD勺面积为 ABD BCD的面积和，即为 30+6=36.二 :-二- J = F-u - i yT-I_ rp-般題惣姣詰違裁AI咖年全国小学数学宴林匹克初赛人卷第5題2. 如图30-2，已知四边形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD勺边长为10厘米，那么图中阴影三 角形BFD的面积为多少平方厘米 ？SACffl和亠3【分析与解】 方法一：因为CEFG勺边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形CEFG勺边长为x，有：221110

3、X-Xs正方形 ABCD =10 10=100, S正方形 cefG=x , S dgf = -DG GF= (10-x)x二2 2 221 110x+x又 Sabd = 10 10=50, S bef = (10+x)x=2 2阴影部分的面积为：S正方形ABCDS正方形CEFGS DGF S ABD S BEF100 x210x x210x X2十、，50 50（平万厘米）.方法二：连接FC,有FC平行与DB则四边形BCFD为梯形.ftDe 3150(平有 DFB DBC共底DB等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积-10 102方厘米）.阴影部分 DFB的面积为50平方厘米

4、.jgjO竽全国学救学典林匹克初赛第呵籲3. 如图30-3，在平行四边形 ABCD中, AB=16, AD=10, BE=4,那么FC的长度是多少？【分析与解】方法一：因为有CB平行与DA有更FB,有fb EB EA DAEADA4 1610 2,所以 CF=CB-FB=10-2=8.方法二:如下图所示，连接 DBCE精品文档5S CEF ，又S DFBS CFE 所以 DCF FBE DBE CEF的面积为 16:1:4:1 ，即 S dcf ： S dfb16:44:1DC: BE=4:I 所以.DFC 与FBE 的面积比为 16:1 ,有 S dcf S fbe S dBfBC 8有 D

5、CF DFB同高，面积比为底的比， 即CF: BF=4:I ,而CE BF的长度和为10,有FC觀级数：車車車FIK 30-44. 如图 30-4 , / A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/ G+/ H+/ I 等于多少度？C【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有/ 1=180 0 -( / 1 + / 2),而/ 1=1800- / 3, / 2=1800- / 4,有/ 1= / 3+/ 4-180 0同理，/ H=/ 4+/ 5-180 0, / G=/ 5+/ 6-180 0, / F=/ 6+/ 7-180, / E=/ 7+/ 8-180,/ D=/ 8+

6、/ 9-1800, / C=/ 9+/ 10-180 0, / B=/ 10+/ 11-1800, / A=/ 11 + / 3-180则/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/ G+/ H+/ 1=2 X ( / 3+/ 4+ / 5+/ 6+/ 7+/ 8+/ 9+/ 10+/ 11)-9 X 180 而/ 3+/ 4+/ 5+/ 6+/ 7+ / 8+/ 9+/ 10+/ 11 正是 9 边形的内角和为(9- 2) X 1800=12600.所以/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G+/ H+Z I= 2X 12600-9 X 18Oo=9OO0删年全国小学数学

7、真林匹克预琲A菲第9题5. 如图30-5，设正方形 ABCD勺面积为1, E, F分别为边AB, AD的中点，FC=3GC则阴影部分的面积是 多少？Fffl no-s【分析与解】过G作线段PQ垂直于AB,分别交AB DC于 P Q两点:有G为FC三等分点，且16 .GQ平行与FD,1所以GQ -FD3贝U PG=PQ-GQ=,61 -EB2有 S EBGPG1 1 522 2 624I)12业虻华y庚金揉二少年歎学it请赛决赛二试第6题6. 长边和短边的比例是2: 1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相

8、同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1, 2, 5, 6, 12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1a2a3a4a5分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(a 1,a2,a3,a 4,a 5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.iU临12IS 30-6【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况：以为特征的有7组:7.2It*僖况prrna.61血7 25Ip Ifi f 1030-10T10【分析与解】如下图所示，为了

9、方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG精品文档17Sabf 12设 AEG的面积为 x，显然 EBG BFGA FCG的面积均为 x，则 ABF的面积为 3x ,罟，那么正方形内空白部分的面积为4x罟20 10100 即 x所以原题中阴影部11.如图 30-11 ,分面积为2020400800ABCD是 一个长方形，AC是对角线试比较两块阴影区域的面积的大小.【分析与解】在长方形AEOH中，被对角线 AO平分的两块三角形面积相等，有Saho SAEO -同理在长方形OGCF中，S ogc S ofc ;在长方形 ABCD中,S adcS ABC所以有S adcS AHO S OGC S ABC

10、 S AEO S OFC ,即 ShdGO:也:岛:空:空:、ffl 30-11SlOFI，即 S S2将 PJCI 视为 ABCD 冋理有 Skjgo SlofiShdgo SkjgOSeoFB1求阴影部分的面團 30- 12【分析与解】如下图所示，左图中的 3个阴影部分面积相等，右图中的相等我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为1 1大半圆的面积为3A 3B 3-小圆的面积2323个阴影部分的面积也B.9而小圆的面积为 ，则A B 232原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为-212.如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半

11、圆的半径长都是 积.13如图30-13所示，一块半径为 2厘米的圆板，从平面上标有 I号位置起始，沿线段 AB, BC, CD滚到2 号位置如果 AB, BC, CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米 ?（ 取3. 14,答 案保留两位小数.）图刃-13【分析与解】如下图所示，将小圆板经过的区域分成4个部分。第IB分弟分其中：第1部分是半径为2厘米的半圆：第2部分是长为（20-2=）18厘米，第3部分是半径为2X 2=4厘米，第4部分是半径为（20-2=）18厘米，宽4厘米的长方形：第5部分是半径为（20-2-2=）16 厘米，宽4厘米的长方形;注意第4、5部分有重叠，为边

12、长是 2的正方形；12厘米的丄圆；42厘米的半圆.第6部分是半径为第7部分是半径为 这4部分的面积和为184空42360204233宽4厘米的长方形；圆心角为（360 0-90 0-90 0-120 0）=600 的扇形:18 4 16 4 2 2228.07（平方厘米）- 14.如图30-14，将长方形 ABCD绕顶点 积.（取 3.14）C顺时针旋转90度，若【分析与解】如下图所示,8CD精品文档AB=4,BC=3 AC=5求AD边扫过部分的面Ary419端点D扫过轨迹为 DD D，而AD之间的点，扫过的轨迹 且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所如下图所示，端点 A扫过的轨迹为

13、 AA A， 在以A D轨迹，AD, AD所形成的封闭图形内, 以AD边扫过的图形为阴影部分.精品文档21显然有阴影部分面积为S直角AD CS扇形ACAS直角ACD S扇形CDD，而直角二角形AD C、ACD面积相等.所以S直角AD CS扇形ACAS直角ACDS扇形CDD = S扇形ACAS扇形CDD空AC2360空CD236075242)97.065(平方厘米)即AD边扫过部分的面积为 7. 065平方厘米.F窖：华y废金杯”少年數学還请赛复静11趙15.在图30-15中有分别标记为，的4个平面图形.30-1中.这(1) 数一数每个图中有多少个顶点、多少条边，这些边围出了多少块区域，将结果填人表里号图形的有关数据已经填好.(2) 观察下表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间存在的关系.3(50-1图号11