二重极限与累次极限的关系

1、二重极限与累次极限的关系二元函数的极限是多元函数微积分学的一个重要内容，对初学者来说，二元函数的两种极限二重极限与累次极限之间的关系是他们学习的难点。为了搞清楚这两种极限之间的关系，我们首先要紧紧抓住这两种极限的定义，理解它们的实质性区别，其次要探究和总结两种极限存在性的内在联系。1二重极限与累次极限的定义定义1设f 为定义在D 奂R 2上的二元函数，P o 为D 的一个聚点，A 是一个确定的数，若坌0，埚0，使得当P 缀U 0（P 0；）I D 时，都有f （P ）AP P 0时的二重极限，记为f （P ）A当P ，P 0，分别用坐标（x ，y ），（x o ，y o ）表示时，上式也可记为

2、f （x,y ）A定义2、对于二元函数f （x ，y ），若固定y y o ，极限f （x ，y ）（y ）存在，且（y ）A 也存在，则称A 为f （x ，y ）在点（x o ，y o ）处先对x 后对y的累次极限，记作f （x ，y ）A 类似地，可定义f （x ，y ）在点（x o ，y o ）处先对y后对x 的累次极限f （x ，y ）A 注：（1）二重极限定义中，（x ，y ）（x o ，y o ）蕴涵着x x o 和y y o 的同时性和任意性，同时性是指两个自变量x 和y 作为D 中一个点（x ，y ），趋向于固定点（x o ，y o ），任意性则是指（x ，y ）作为D 中任意

3、一点，不管以何种方式趋向于点（x o ，y o ），函数f （x ，y ）都趋向于唯一固定数值A ，这正是二重极限求解的难点之处，同时反过来考虑，这也为判断二重极限的不存在提供了方法，即若P 沿两条不同的曲线趋于P O 时，函数f 的极限不同或不存在，则此函数f 在点P O 的二重极限不存在。（2）由累次极限的定义很容易看出，求累次极限实质上是求两次一元函数的极限，因此，累次极限又称二次极限。2二重极限与累次极限存在性之间的关系2.1.由定义可知，二重极限与累次极限的本质不同，二者之间并没有蕴涵关系，并且，两个累次极限之间也没有蕴涵关系。2.1.1累次极限存在，二重极限未必存在。例1、设f （

4、x ，y ）x-y +y 2x+y ，求f （x ，y ）在点（0，0）处的累次极限和二重极限。解：首先f （x ，y ）在点（0，0）处的两个累次极限都存在，分别为：f （x,y ）-y y y1f （x,y ）x 1二重极限与累次极限的关系王旭琴（吕梁高等专科学校数学系山西吕梁033000）摘要：本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义，并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系。关键词：二元函数；二重极限；累次极限中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1008-7354（2010）02-0157-02收稿日期：20090106作者简介：王旭琴（1981-），女，山西吕梁人，

5、吕梁高等专科学校数学系助教，首都师范大学在读硕士，主要研究方向：数学。limP p o lim（x ，y ）（x o ，y o ）lim P p olim y y o lim lim y y o x x olim lim y y o x x olim limy o x o lim y o lim lim x o y o lim x o232232南昌高专学报2010年第2期（总第87期）2010年4月出版Journal of Nanchang College No.2(Sum 87)Apr.2010157南昌高专学报2010年再求二重极限，令（x，y）沿直线y=mx趋于（0，0），有f（x，y

6、）1-m x+m x2+m x =1 2但这并不能说明f（x，y）在点（0，0）处的极限是12，事实上，当（x，y）沿曲线xy2趋于时（0，0），f（x，y）y3y=13f（x，y）在点（0，0）处二重极限不存在。2.1.2两个累次极限都存在且相等，二重极限未必存在。例2、设f（x，y）xyx+y，（x，y）（0，0），求f （x，y）在点（0，0）处的累次极限和二重极限。解：f（x，y）在点（0，0）处的两个累次极限都存在且相等：f（x，y）=f（x，y）=0再求二重极限，令（x，y）沿直线ymx趋于点（0，0），有f（x，y）=mx 2x+m x =m 1+m因为上式对不同的m有不同的极限

7、值，所以f（x，y）在点（0，0）处的极限不存在。2.1.3二重极限存在，累次极限未必存在。2.1.3.1二重极限存在，两个累次极限都不存在。例3、设f（x，y）（x+y）sin1，求f（x，y）在点（0，0）处的二重极限和累次极限。解：由sin 1xy1，有0（x+y）sin1xyx+yxy，又（xy0），于是，由夹逼准则知，f（x，y）0但由于sin1和sin1和都不存在，所以两个累次极限都不存在。2.1.3.2二重极限存在，一个累次极限存在，但另一个累次极限不存在。例4、对于f（x，y）ysin1x，f(x，y)0，即二重极限存在，且f(x，y)=（ysin1x）0但f（x，y）不存在。

8、2.1.4一个累次极限存在，另一个累次极限未必存在（上例已说明）。2.1.5两个累次极限都存在，二者未必相等，即累次极限的两个极限运算次序不一定可交换(如例1)。2.2作为二元函数的两种极限，二重极限和累次极限还是有一定的内在联系的。2.2.1二重极限与某一个累次极限都存在，则二者必相等。2.2.2二重极限与两个累次极限都存在，则三者必相等。2.2.3两个累次极限都存在但不相等，则二重极限必不存在（此结论常作为判断二重极限不存在的方法）。这三个结论都可以由下面两个命题很自然地得出：命题1、设函数f（x，y）在区域D：x-xoy-yo1）f（x，y）A；2)对一切满足0证明：坌0，由假设1），埚

9、0，使得当（x，y）（x O，y O），x-x of（x,y）-A在上式中令yy O，由假设2），有（x）A即（x）A。命题2、将上述命题1中的条件2）换为2对一切满足的0参考文献1陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004:121-124.2刘新波主编.数学分析选讲M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009:141-142.3严子谦，尹景学，张然.数学分析中的方法与技巧M.北京：高等教育出版社，2009:87-88.lim（x，y）（0，0）lim（x，y）（0，0）lim x0limy0lim（x，y）（0，0）lim limx0y0limx0limx0lim limy0x0lim（x,y）(xo，yo)limyy olim