第2章多自由度系统振动

1、第2章多自由度系统振动 第2章 多自由度系统振动 2.1 多自由度系统的自由振动 2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法 本章目的：本章目的： 掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法 掌握多自由度振动系统的模态分析方法 了解动力减振器的基本原理 第2章多自由度系统振动 2.1 多自由度系统的自由振动 1.振动微分方程的建立振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应（模态叠加）初始条件和系统响应（模态

2、叠加） 第2章多自由度系统振动 （一）多自由度振动微分方程的建立（一）多自由度振动微分方程的建立 牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法（第9章） 第2章多自由度系统振动 1.用牛顿定律建立微分方程 G x G t T Fx lklklklk lklkkkx J m G G G G sin 0 0 2 22 2 111122 112221 F x K x M G G G G J m M 0 0 2 22 2 111122 112221 lklklklk lklkkk K 例题1（P24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质

3、量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2 ，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用 在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕 其质心扭转振动。 解取刚性杆的广义坐标为 由牛顿定律，系统的振动微分方程为 和 写成矩阵表达式： 即 质量矩阵刚度矩阵sin F Ft T 力列阵 122 21 1 sin()() GGG mxFtkkxk lk l 22 2 21 11 12 2 sin()() GGG JTtk lk l xk lk l 第2章多自由度系统振动 2.用拉格朗日方程建立微分方程 ), 2 , 1(,)(kiF q U q T q T dt d i iii

4、N j i j jz i j jy i j jxi q z F q y F q x FF 1 )( T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力 拉格朗日方程 t T Fx lklklklk lklkkkx J m G G G G sin 0 0 2 22 2 111122 112221 讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P25） G x G 和在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。 第2章多自由度系统振动 例题2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由 度系统的动力学微分方程（右图）。

5、22 3 )( 2 1 )( 2 1 ccc JlxmT 2 52 2 41 )( 2 1 )( 2 1 cccc lxklxkU tFxkxkmlxm cccc sin 213 tTlklkmlJxml ccccc sin 2 52 2 41 2 33 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 解广义坐标：取C点（G点为质心）的直线位移为 xc 为q1， 转角为c为q2 ，此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。 5241 lklk 另设： 系统的动能： 系统的势能： 利用拉格朗日方程，得 写出矩阵 第2章多自由度

6、系统振动 12 22 1 42 5 0 0 kk K k lk l 质量矩阵 讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P26） 3 2 33 mml M mlJml 为对称阵 刚度矩阵 为对角阵 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 G x G 和在两个方程中出现，称为惯性耦合。 第2章多自由度系统振动 3.影响系数法 n刚度影响系数法 n柔度影响系数法 刚度影响系数刚度影响系数kij ：在系统的 j 点产生单位位移（即 xj=1 ），而其余 各点的位移

7、均为零时，在系统的 i点所需要加的力。 刚度影响系数法又成为单位位移法刚度影响系数法又成为单位位移法 例如，上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1，而其它各质量位移均为0 时，在质量m1所施加的力。此时 111212 () 1kkkkk 第2章多自由度系统振动 0XKXM 3 2 1 00 00 00 m m m M 433 3322 221 333231 232221 131211 0 0 kkk kkkk kkk kkk kkk kkk K 例（P26）：质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统的 动力学微分方程。 解刚度影响系数kij ：

8、 111212 () 1kkkkk 122 kk 13 0k 212 kk 2223 kkk 233 kk 31 0k 323 kk 3334 kkk 动力学微分方程为 则 讨论：（讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！ （2）刚度影响系数）刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性！（与刚度矩阵的对称性！（P27） 第2章多自由度系统振动 11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ，而质量m2、 m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材 料力学，得 EI l 768 9 3 11 柔度影响系数法又称为单位力法柔度

9、影响系数法又称为单位力法 柔度影响系数ij ：在系统的 j 点作用一个单位力（即Fj =1 ），而其余 各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。 例（P27）：图2-3所示，简支梁上有质量 m1、m2 、m3，不计梁的自重。 的 位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。 解柔度影响系数 ij ： 21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上m2处所产 生得位移，由材料力学，得 3 21 11 768 l EI 同理，可以求出其他柔度系数。 第2章多自由度系统振动 11 , KK 0 1 XXM EI l 768 9117 1116

10、11 7119 3 333231 232221 131211 最后得出总柔度系数矩阵 可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即 三自由度铅垂方向振动微分方程为 讨论：（讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P2

11、8） 结论：（结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法用拉格朗日方程方法较容易较容易 第2章多自由度系统振动 （二）多自由度系统的固有频率与主振型（二）多自由度系统的固有频率与主振型 0XKXM )sin( )sin( 22 11 tAx tAx n n 0)sin()( 2 1 2 12 t A A K A A M nn 0)( 2 uKM n 2 1 A A u 对于一个多自由度多自由

12、度的自由振动系统（以二自由度系统为例）自由振动系统（以二自由度系统为例） 设质量块作简谐振动，即 （2-5） 带入（2-5）式，则 上式对于任意时间t 成立，则 振幅列阵 特征方程特征方程 （2-6） 即为振型 第2章多自由度系统振动 求解二自由度系统的固有频率与主振型 0)()( 0)()( 2 2 22221 2 2121 2 2 12121 2 1111 AmkAmk AmkAmk nn nn 0 2 2222 2 2121 2 1111 2 1111 nn nn mkmk mkmk 0 2 MK n 2 1,2 1122 112222 11 2 112212 4 2 () n bbac

13、 a am m bm km k ck kk 二自由度系统特征矩阵方程的展开式为 （2-7） （2-8） 该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 也可表示为 易解出 第2章多自由度系统振动 得出两个固有频率下的振幅比值 21nn 为一阶固有频率（或第一阶主频率） 为二阶固有频率（或第二阶主频率） 1n 2n 固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。 将所求得的固有频率 1n 2n 和代入系统特征矩阵方程 12 2 21111 )2( 1 )2( 2)2( 12 2 11111 )1( 1 )1( 2)1( k mk A A k mk A A

14、n n 因此，振型可表示为 )1( )1( 1 u )2( )2( 1 u , )2()1 ( uuu 第一主振型 第二主振型 22方阵方阵 第2章多自由度系统振动 , )()2()1 (n uuuu n1 nn 对于 n 个自由度振动系统 0XKXM 由特征方程，可求出 n 个固有频率 其振型可表示为 nn方阵方阵 第2章多自由度系统振动 （三）初始条件和系统响应（模态叠加）（三）初始条件和系统响应（模态叠加） (1) u )2( 2 )1( 22 )2( 1 )1( 11 xxx xxx )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 1 )2( 11 )1( 1 )1( 2 2

15、2 )2( 111 )1( 11 tAutAux tAtAx nn nn 101 xx )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 211 )1 ( 22 22 )2( 111 )1 ( 11 tAtAx tAtAx nn nn 202 xx 101 xx 202 xx 2 2 2010 )1( 2 2010 )1( )2()1( )2( 1 2 1 2010 )2( 2 2010 )2( )2()1( )1( 1 )()( 1 )()( 1 n n xxu xxu uu A xxu xxu uu A ) )( tan( ) )( tan( 2010 )1( 2010 )1( 2

16、 2 2010 )2( 2010 )2( 1 1 xxu xxu a xxu xxu a n n 以二自由度系统为例，质量块 m1、m2 组成的二自由度振动系统有两组解，而其 全解由这两组解叠加而成，即 系统的响应响应为 引入振型 设初始条件初始条件：t=0 时， 推导出 2n 1n (2) u (2) 1 A 已知已知： 求求： (1) 1 A 1 2 （2-14） 第2章多自由度系统振动 2.2 动力减振器 t F x x kk kkk x x cc cc x x m m sin 00 0 0 2 1 22 221 2 1 2 1 2 1 ti eBx 222 111 xieBix xie

17、Bix ti ti 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 xeBx xeBx ti ti 在工程中，为减少振动带来的危害，可以在主系统主系统上装 设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统主系统构成一 个二自由度系统二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区，并 有减振效果，故称为动力减振器动力减振器。 动力减振器动力减振器与隔振器是本质不同的。 该二自由度系统二自由度系统的动力学微分方程为 采用复数法求解微分方程（参见第1.9节，P20） ti e FF 0 sin 0 00 （2-18） 带入（218）式，得 第2章多自由度系统振动 为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系

18、统的振幅与主 系统在激振力幅值 作用下产生的静位移 之比来评价。 0 ) 0 0 ( 0 2 1 22 221 2 12 F B B kk kkk cc cc i m m 22 2 2 11 2222 22 2 22 2 11 2222 220 1 )()( )( mmkcmkmkmk cmkF B （2-20） 展开后，求出 B1 ，再将B1的复数值求模，得 静位移为 0 F 0 F st 10 /kF st 1n 1 2 n n 1 1 1 m k n 2 2 2 m k n 1 2 m m 22 22 22mk c m c c c nc 设 带入（220）式，得 注意希腊字母 (ksi)

19、 原机械固有频率原机械固有频率 减振器固有频率减振器固有频率 注意：为了工程设计方 便，与二自由度系统两 阶固有频率概念有别。 第2章多自由度系统振动 22222222222 22222 2 1 )1 (4)(1( 4)( )( st B 0 22222 22 1 )(1 ( st B 1 . 0/ 12 mm 注意希腊字母 (ksi) 如果 （2-22） 则 无阻尼动力减振器的设计讨论无阻尼动力减振器的设计讨论 当减振器的固有频率等于激振频率时，即 2n 则 （2-23） 1 0 st B 达到了消振目的 然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点 ：1 2 和 取式（2-23）分母为零（意

20、味着共振），并令 1 2 2 1,2 1 24 则 即：新的共振频率仅由减振器与主系统质量之比 为使主系统能远离新的共振点的范围内，希望 1 2 与相差较大 一般在设计无阻尼动力减振器设计无阻尼动力减振器时，取 （2-24） 理想情况理想情况 第2章多自由度系统振动 2.3 多自由度系统的模态分析方法 1.方程的耦合与坐标变换 2.主振型的正交性 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化 6.振型截断法（Cut Off） 第2章多自由度系统振动 1.方程的耦合与坐标变换方程的耦合与坐标变换 t T Fx lklklklk lklkkkx J m G G G G

21、 sin 0 0 2 22 2 111122 112221 c c c c c c T Fx lklk kkx mlJml mlm 2 52 2 41 21 2 33 3 0 0 回顾回顾（第（第2.1节节P24、P25） （G点为质心）为刚性杆的广义坐标时，有 G x G 和针对行驶车辆的二自由度系统，用牛顿定律，以 用拉格朗日方程，以 G x G 和为刚性杆的广义坐标时，有 称谓弹性耦合 称谓惯性耦合 第2章多自由度系统振动 n对于同一系统，采用的坐标系统不同，微分方程的 形式和耦合情况就不同。即微分方程的耦合状态是 由所选的坐标系统决定的。 n如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵，

22、各方程间不存在任何耦合，各分别求解，与单自 由度求解完全相同。 n适当的坐标变换，可以使相互耦合的方程解除耦 合，即解耦。 结论结论 问题问题 如何进行坐标变换？ 第2章多自由度系统振动 GC CGC lxx 3 G G C C xlx 10 1 3 YuX 仍然采用行驶车辆的二自由度系统图，有如下关系 写成矩阵 对于任意的线性变换可表达为 u 为变换矩阵 遗憾：遗憾：前面这个变换矩阵不能达到解耦目的 要做的工作：要做的工作： 寻找一个合适的变换矩阵，使原来方程解耦 结论：结论： u 这个变换矩阵就是主振型矩阵 第2章多自由度系统振动 2.主振型的正交性主振型的正交性 与第一式相减，有 0)(

23、 2 uKM n uMuK n 2 )2(2 2 )2( )1 (2 1 )1 ( uMuK uMuK n n (2)(1)(2)2(1) 1 (1)(2)(1)2(2) 2 TT n TT n uKuuMu uKuuMu T u )2( T u ) 1 ( ) 1 (2 2 )2() 1 ()2( uMuuKu n TT 0)( ) 1 ()2(2 1 2 2 uMu T nn 以二自由度系统为例 特征方程 或 将两个固有频率和相应振型代入，得 将上式两边分别前乘以和 将第二式转置，有 第2章多自由度系统振动 0)( 2 1 2 2 nn 0 ) 1 ()2( uMu T 0 ) 1 ()2

24、( uKu T 主振型的正交性的物理意义：主振型的正交性的物理意义：各阶主振型之间的能量不 能传递，保持各自的独立性，但每个主振型内 部的动能和势能是可以相互转化的（P33） 当 时，有 主振型对质量矩阵的正交性主振型对质量矩阵的正交性 同理可得 主振型对刚度矩阵的正交性主振型对刚度矩阵的正交性 条件：条件：主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对 称矩阵时才成立 推论：推论： ( )( )( )( ) 0,0, TT ijij uMuuKuij 第2章多自由度系统振动 3.模态矩阵和模态坐标模态矩阵和模态坐标 , )2() 1 ( uuu 由主振型对质量矩阵和刚度矩阵的正交性 K 可使M、

25、K 变为对角矩阵。 以主振型 u 线性变换矩阵，对系统的原方程进行坐标变换 设系统原方程为（仍以二自由度为例） FXKXM 主振型称为模态矩阵或振型矩阵 坐标变换 YuX YuX 线性变换矩阵， uM Y为模态坐标 （2-35） 代入原方程，并在等号两边分别前乘以 Tu，得 第2章多自由度系统振动 （2-35） 2 1 2 1 0 2 1 0 00 0 0 0 0 Q Q FuQ K K uKuK M M uMuM QYKYM T T T 0 M 0 K 1 M为模态质量矩阵 2 M 为模态刚度矩阵 1 K 2 K 为第一、二阶模态质量或主质量 为第一、二阶模态刚度或主刚度 Q为模态力列阵 理

26、解：理解： 0 ) 1 ()2( uMu T 0 ) 1 ()2( uKu T 运用主振型的正交性运用主振型的正交性 第2章多自由度系统振动 4.多自由度系统的模态分析方法多自由度系统的模态分析方法 FXKXM )()2()1 ( )( 2 )2( 2 )1 ( 2 )( 1 )2( 1 )1 ( 1 )()2()1 ( , n nnn n n n uuu uuu uuu uuuu YuX YuX QYKYM 00 FuQ uKuK uMuM T T T 0 0 在二自由度系统模态分析基础上扩展 多自由度系统运动微分方程为 坐标变换 有 （2-38） （2-40） 系统的模态方程 是一组不耦合

27、的方程组 理解：理解： 运用主振型的正交性运用主振型的正交性 ( )( )( )( ) 0,0, TT ijij uMuuKuij 第2章多自由度系统振动 （4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应 小结：多自由度系统模态分析的基本步骤（小结：多自由度系统模态分析的基本步骤（P34） （1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵 u YuX YuX （2）坐标变换 QYKYM 00 FuQ uKuK uMuM T T T 0 0 得 （3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分杜哈美积分，或待定系数法待定系数法求微分 方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表 示，并代

28、入模态方程，求出各积分常数。注意：此时的变量为Y！ XuY即 理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！ 第2章多自由度系统振动 5.模态矩阵正则化模态矩阵正则化（P35）（本科生略）（本科生略） IM N 1 )()( i N T i NNi uMuM )()(i i i N uu )(i u )(i N u i i i T i i M uMu 11 )()( 将模态方程的模态质量矩阵变为单位矩阵，该坐标变换 称为模态矩阵正则化，即 第 i 阶模态质量为 为系统的 i 阶振型； 为系统的 i正则阶振型 所以，必须对系统主振型加以修正： 为正则化因子 （2-41） （2-42）

29、将（2-42）代入（2-41），得 i M为 i阶模态质量 第2章多自由度系统振动 理解：正则模态质量矩 阵为单位矩阵；正则模 态刚度矩阵为对角阵 用正则模态矩阵进行坐标变换，有 n 000 000 000 000 2 1 uuN , NNNN XuYXuY 2 2 1 NNNNNNnNN T NNN T NNN T NN NiNi niNi Ni MYKYQYYQ MuMu KuKu QuF kk k m 或 将正则化因子排成一个对角矩阵 正则模态矩阵为 （2-44） （2-45） （2-47） 第2章多自由度系统振动 6.振型截断法（振型截断法（Cut Off） nn 1 1 n )1()

30、2()1 ( )1( 2 )2( 2 )1 ( 2 )1( 1 )2( 1 )1 ( 1 )1()2()1 ( , n nnn n n n p uuu uuu uuu uuuu pp pp YuX YuX FuQ uKuK uMuM QYKYM T pp p T pp p T pp ppppp 适用于：（1）对于自由度很大的系统，可以进行自由度缩减，求解大 模型的少数阶（前几阶）模态。（2）对于外力随时间变化较慢，系统 初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况。 在 n 个主振型中，取个主振型，且 进行坐标变换，有 nn1矩阵，无逆阵正 n1个方程，即自由度缩减 第2章多自由度系统振动 pp Y

31、uX pppp T p T p YMYuMuXMu XMuMY T ppp 1 问题问题 p u pp pp pp YuX YuX YuX 由于无逆阵，运用 不能直接求出模态坐标的初始条件 方法方法利用 则 （2-51） 则可求出模态坐标的初始条件 讨论：讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多大提高，在工程 实际中得到广泛应用。 第2章多自由度系统振动 振型截断的正则化振型截断的正则化（P36）（本科生略）（本科生略） pN MI 1 2 1 000 000 000 000 p p p pn pNpp uu ( )( ) 11 ii pi T pi ppp M uMu ( )

32、( ) i i pNpip uu 2 1 2 2 2 1 00 00 00 nn n n pN K XMuXMuMY T pN T pNpNpN 1 , pNpNpNpN XuYXuY 2 pNpNpNpNpNpNnpNpN MYKYQYYQ 或 坐标变换 振型截断正则模态矩阵为 模态方程 模态坐标的初始条件（2-54） 第2章多自由度系统振动 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法 1.矩阵迭代法 2.瑞雷(Rayleigh)法 3.邓克莱(Dunkerley)法 4.传递矩阵(Transfer Matrix)法 第2章多自由度系统振动 1.矩阵迭代法（矩阵迭代法（P36） AMpAK 2

33、A p AMK 2 1 1 AKMAp 12 MKD 1 A p AD 2 1 ,1kkn kk BDABA k kn k B B A , 1 1 基本方法：基于数值计算方法的迭代计算方法 0)( 2 uKM n 特征方程特征方程 改写为改写为 或或 （2-56） （2-57） 依次从最低阶固有频 率和主振型开始计算 依次从最高阶固有频 率和主振型开始计算 动力矩阵动力矩阵 引入一个迭代初始列阵 1A，进行迭代计算迭代计算： 得到下一步迭代初始列阵 是 ,n k B 中的最后一个元素（最好是绝对值最大的元素） kB A u 2 p 2 n n为固有特性阶数 k 为迭代次数 （2-60） 第2章

34、多自由度系统振动 2 )( 2 )1( 2 )( / kkk ppp 1k A 注意：请比较 A p AD 2 1 ,1kkn kk BDABA 容易看出：每次迭代中计算 kn k B p , 2 )( 1 精度设置：若满足（也可以对其他值进行精度设置） 迭代过程终止，则 第一阶主振型 2 )( 2 1 k pf 第一阶固有频率（Hz） 过程示范： 111,11 1 BDABA 21 1,1 1 AB B 1A 初选 2 (1) 1,1 1 p B 221,22 1 BDABA 32 1,2 1 AB B 2 (2) 1,2 1 p B 1,1kkkk BDABA 1 1, 1 kk k AB

35、 B 2 ( ) 1, 1 k k p B 注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！ 第2章多自由度系统振动 * 2(1)(1) 1( ) 1T kk k DDAAM M p ) 1() 1(1 k T k AMAM ) 1( k A 2 )(k p 下一步目的：用矩阵迭代法矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型 方法：用清除法清除法从动力矩阵D中清除与上一阶算出的主振型有关的部分 清除法清除法 清除（矩阵）部分 上一阶算出的主振 型固有频率和 D * D 上一阶用于迭代计算的 动力矩阵。如果上一阶 计算的是第一阶，即为 原始动力矩阵 将 D ，应用前面的迭代式，即可求解下一阶固有特

36、性 说明：固有特性就是指固有频率和主振型 第2章多自由度系统振动 AMpAMK)()( 2 )(MK MMKD 1 )( A p AD 2 1 问题：有刚体运动的机械系统刚体运动的机械系统，刚度矩阵K是半正定半正定的，无法求逆，也就 无法直接形成动力矩阵 D，不能直接使用上述算法 方法： 改写为 AMpAK 2 是任意正数 是正定矩阵正定矩阵 令 原问题改变为 利用前面的计算方法，得到固有频率与主振型 提问：请列举有刚体运动的机械系统？刚体运动的机械系统？ 例如：空中的飞行器；齿轮减速器中的齿轮轴扭转（不计摩擦力） （2-66） （2-64） （2-65） 2 p 2 p 第2章多自由度系统振

37、动 讨论（P37） （1）采用（2-64）式后，系统的主振型（特征失量）不变，只是 2 p变为 2 p原系统的固有频率（特征值）变了， （2）一般取比系统估计的最低固有频率的平方 2 p 略小一些为宜。 对经验不足者，这一点难以把握。可以随意取一个正数，试 算之后调整。 课后练习（P37） 课后，请对图2-8所示的3自由度水平振动系统、图2-9所示的13自由度扭 转振动系统，运用MATLAB或自己熟悉的计算机语言，求出所有各阶固有 频率与主振型。要求：编写程序、打印计算结果，最好是图形显示结果。 第2章多自由度系统振动 2.瑞雷瑞雷（Rayleigh）法（法（P42） 下一小结之引言：人们早就

38、认识到多自由度系统有多个固有频率与振型。 但是，一方面由于微分方程组精确求解困难，另一方面，工程实际中最 关心的是低阶固有特性，尤其是第一阶固有频率。在电子计算机问世之 前，瑞雷法、邓克莱法等具有一定的实用价值。 采用系统的机械能守恒原理机械能守恒原理求系统的固有频率。 基本思想：先根据经验和理论分析，假定一个振型，然后用能量法求出与这 个假定振型相应的系统固有频率。 局限性：只能求一阶固有频率（基频） 第2章多自由度系统振动 )( 2 1 332211max gymgymgymU )( 2 1 2 33 2 22 2 11max ymymymT 332211 ,yyyyyy nnn )( 2

39、 2 33 2 22 2 11 2 max ymymymT n maxmax UT n i i i n i ii n ym ymg 1 2 12 1 )( )( 2 33 2 22 2 11 332211 2 1 ymymym gymymym n 例（P42）：右图所示的三自由度横向振动 系统，在一根无质量弹性梁上，固定三个集中 质量，用瑞雷法求其基率。 解：（1）假定一阶振型 根据经验和理论分析，这个系统的一阶振型十分接近它的静绕度曲线。 因此，其振型可用各点静绕度（由材料力学）来表示。 123 ,y yy （2）梁振动至极限位置的变形能 （3）梁恢复到平衡位置的动能 由于则 （4）机械能守

40、恒机械能守恒 对于保守系统（系统作自由振动，且忽略系统的阻尼时） （5）推广到 n 个自由度 第2章多自由度系统振动 3.邓克莱邓克莱(Dunkerley)法（法（P43） kk k m kkk nkk 2 22 33 2 22 2 11 2 1 11111 nkknnnn 1n 2 11n 22 22 nnkk 19世纪邓克莱在通过试验方法确定多圆盘轴的 横向振动固有频率时，发现了这样一个关系： 系统的基频 当轴上只有圆盘1，而其余圆盘都不存在时，单圆盘轴系统的固有频率 依此类推 22 11 nnkk 的计算是一个单自由度问题。 可以利用材料力学公式（可查表），先计算相应点的挠度， ，再计算 然后计算相应点的刚度 第2章多自由度系统振动 4.传递矩阵传递矩阵(