复数典型例题原..

1、2m - 3m-2（2z=2+ （m + 3m 10）i例1当m为何实数时，复数m -25; （1）是实数;虚数；（3）是纯虚数。广 2m +3m -10 = 02解：（1） z为实数，则虚部 m2+3m10 = 0,艮卩m - 25式解得m=2 m=2时，z为实数(2)是f 2m + 3m -10 鼻 02(2) z为虚数，则虚部 m2+3m10式0，即,m 一25工- 22m -3m-2=02m +3m100（3）z为纯虚数1m = 解得2m2 - 25 = 01m -当2时，z为纯虚数例3求同时满足下列条件的所有复数z:（ 1）的实部和虚部都是整数。_ 2 2解：设 z = a bi（a

2、,b R 且 a b - 0）z叫z是实数，且。（2）zz 10 -a bi 10 a bi 则 za bi.10(a -bi)a2 b210二a(1-a由（1 ）知b(1102)5(1-飞 2)ib2a2 b210 彳 10 * z1 ： z6z是实数，且z10、门)=0a2 b2) 即 b = 0或 a2 b2=101 a(1 又10a2 b2当b=0时,1 a + 2x（D）z 勻x+ y解析:可对选项逐个检查，A项，z z Z 2y，故 A错，B 项，z2 = x2 y2 + 2xyi，故 B（2010浙江理数）（5）对任意复数z=x yi x,yR ，i为虚数单位，则下列结论正确错，

3、C项，z-Z兰2y，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数（A） -3 - 4i（ B） -3 4i【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算（C） 3 - 4i（D） 3 4i陶析】1-2i）2 一3-4i A（D）第四象限（2010陕西文数）2.复数z二丄在复平面上对应的点位于1+i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限解析：本题考查复数的运算及几何意义1。，所以点（1,1）位于第一象限1 i 2222 21+2i（2010辽宁理数）（2）设a,b为实数，若复数 =1 i，则a +bi31（A） a , b（

4、B） a = 3,b = 1221 3（C） a , b（D） a = 1,b = 32 2【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由 上也 =1+i可得1+2i=(ab)+(a+b)i，所以 b = ，解得a bia b = 2-，故选A。2（2010江西理数）1.已知（x+i ）（1-i ） =y，则实数x, y分别为（)A.x=-1 , y=1B. x=-1,y=2C. x=1 , y=1D. x=1,y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得（x-i2） （1-x）i二y，没有虚部，x=1,y=2.（2010

5、安徽文数）（2）已知 i2 一1，则 i（ 1 _、3i）=(A) ,3 -i(B).3 i (C) 一一3i (D)-.3 i2.B【解析】i(1V3i) =i +73，选 b.【方法总结】直接乘开，用 i2 = -1代换即可（2010浙江文数）5 i3.设i为虚数单位，则5 i1 +i(A)-2-3i(C)2-3i(B)-2+3i(D)2+3i解析：选C,本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题a +2i（2010山东文数）（2）已知b i a, R，其中i为虚数单位，则a b =iA. -1B. 1 C. 2D. 3答案：B（2010北京文数）在复平面内，复数 6+5i,-2+3i

6、对应的点分别为 A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（A）4+8i （B）8+2i（ C）2+4i（D）4+i答案：C23（2010四川理数）（1） i是虚数单位，计算i + i + i =(A) 1(B) 1(C)(D) i解析：由复数性质知：i2= 1故 i + i2+ i 3= i + ( 1) + ( i) = 1答案：A(2010天津文数)(1)i是虚数单位，复数=1 -i(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i (D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。2 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i改为-1

7、.3 i (3 i)(1+i)2 4i ,1 2i1-i(1-i)(1+i)2【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。(2010天津理数)(1)i是虚数单位，复数 一1 +2i(A)1 + i (B)5+ 5i (C)-5-5i (D)-1 i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.-1 3i (-1+3i ) (1-2i)5 5i1 i1 2i (1 2i)(1 2i)5【温馨提示】 近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心

8、，不要失分哦。(2010 广东理数)2.若复数 Z1=1+i , Z2=3- i，贝U Z1 Z2=()A. 4+2 iB. 2+iC. 2+2 i D.32. A . z1 z2 -(1 i) (3 i) =1 3 1 1 (31)i =4 2i一1+i 4(2010福建文数)4. i是虚数单位，(-)4等于()1-iA. iB. -iC. 1D. -1【答案】C【解析】 21 i 4(1 i) 4 .4()=i =1 ,故选 C.1-i2【命题意图】本题考查复数的基本运算，考查同学们的计算能力.3 + 2i(2010全国卷1理数)复数2 - 3i(A) i (B)-i (C)12-13 i

9、 (D) 12+13 i(A) i(B) -i(C)12-13z(D) 12+13i分析；本小题主要考杳复数的基本运算解：+= (3 + 2i)i =.(注：本题也可用分母实数化处理j做选上2-3i(23训3 + 2ia + 2ia 十 2i(2010山东理数)(2) 已知=b+i(a,b)=b+i ( a,b R),其中i为虚数单ii位，则a+b=(A)-1(B)1 (C)2(D)3【答案】Ba+2i【解析】由 =b+i得a+2i=bi-1 ,所以由复数相等的意义知a=-1,b=2 ,所以a+b= 1,故选iB.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1. (2010安

10、徽理数)1、i是虚数单位，F=3 3iA、丄一 2B、丄占1 -3. CiD、4 124 122 62 61.B【解析】i一i(3-3i) 3i 3，丄3j，选b.412【解析1】一丁 3 +3i3 9-12【规律总结】i为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数. -3i，然后利用复数的代数运算，结合i2 =1得结论.2. (2010福建理数)氏 对于夏数讥Qd若嵬會$=砥,“1具葡性质 快J任，则当a=l* b=1 时.b+c+d #cI=b%A.1 B J CXDi【答寬】Bf解析】由題魚 可取尸l.bd“W.4“所LUb+c+(l-H+-i = -1选乳【曲題豊图

11、】本X1(K$A#S础知识*(2010湖北理数)1.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z,则表示复数的点是1+iA. E B.F C.G D.H1. 【答案】D【解析】观察图形可知z=3i,贝yZ 二U=2_i ,即对应点 1+i 1+iH (2, - 1),故 D 正确.导数一导数的概念(一) 导数的定义1导数的原始定义：设函数y二f(x)在X=Xo处附近有定义，如果 X 0时，号与Ux 的比二(也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫ZAx一、/f (x0 + 也x) - f (x0)做函数y = f(x)在xt Xo处的导数，记作y xy0 ,即f(X

12、。)=他瓦2导函数的定义：如果函数 y二f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f /(x)，从而构成了一个新的函数f lx),称这个函数fix)为函数y二f (x)在开区间内的导函数，简称导数。(二) 导数的实际意义：1导数的几何意义：f/(X0) 是 曲线y = f (x)上点(x0, f (x0)处的切线的斜率+因此，如果y = f (x)在点x0可导，则曲线y = f(x)在点(X0,f(x)处的切线方程为y - f (x) = f / (x)(x - X0)*2导数的物理意义:导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化

13、率。(三) 概念部分题型：1利用定义求函数 y二f(x)的导数主要有三个步骤：(1) 求函数的改变量 y = f (x ： x) - f (x)*_y f (x ： -x) - f (x)(2) 求平均变化率lxlx取极限，得导数y/ = f (x) = l.im：y .2利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。导数的运算(一) 常见函数的导数1. C =0n *nd2. (x )nxxx3. (e )e4. (ax)二ax|na15. (In x)x(log ax)J log a e xx I n a7. (sinx) =cosx8. (cosx) =-

14、sinx(二) 导数的四则运算1和差：(u-v)二 U -V2积： (uv) = U V UV3商：(,U) , U V - UV VV2三)复合函数的导数：1 运算法则复合函数导数的运算法则为:fg(x)卜 f (g) g (x)2. 复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1) 分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2) 运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求 导数(3) 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量

15、换成 自变量的函数 三导数的应用(一)利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1导数和函数单调性的关系：若f (x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，f (x)0的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间；若(x)0在(a, b)上恒成立，则f(x)在(a, b)上是减函数，f (x)0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f (x)f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作 y极小值=f(x 0), X0是极小值点(3) 函数的最大值和最小值：在闭区间a,b 上连续的函数f (x)在a,b上必有最大值与 最小值，分别对应该区间上的函数值的最

16、大值和最小值。2极值的性质：(1) 极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小+并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2) 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3) 极大值与极小值之间无确定的大小关系+即一个函数的极大值未必大于极小值。(4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点”而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3判别f(xo)是极大、极小值的方法：若X。满足f (Xo) =0，且在Xo的两侧f(x)的导数异号，则 X。是f (x)的极值点， f(

17、Xo)是极值，并且如果f(X)在Xo两侧满足“左正右负”，则Xo是f (X)的极大值点，f(Xo)是极大值；如果f(X)在Xo两侧满足“左负右正”，则Xo是f(X)的极小值点，f(Xo) 是极小值，4. 求函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f (x) 求方程f (x)=O的根+用函数的导数为 O的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值.5. 利用导数求函数的最值步

18、骤：求f (x)在(a,b)内的极值；将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较得出函数f (x)在a,b上的最值.(三) 利用导数求解证明不等式：主要方法为将不等式 t(x) _ g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x) =t(x) -g(x),通过对f (x)求导，根据(x)的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。四 定积分与微积分基本原理(理科考查，文科不考查)(一)曲边梯形面积与定积分1、定积分定义：设函数 f (x)在a,b上有界(通常指有最大值和最小值 )，在a与b之间任 意插入n -1个分点，a =怡：x, ： X2 ： III ： xn: xn = b , 将区间！a,bl 分成 n 个 小 区 间【X4,Xi】(i =1,2,|,n )，记每个小区间的长度为“Xi = x Xi斗(i =1,2,川，n)，在X 4X上任取一点Z i,作函数值f (q )与小区间长度収的乘积f (G )AX(i=12|H，n ), 并求和 s = 7 f .：xi1nf(x)dx“忙f( i)：Xi记入=max .-；Xi ；