数值分析试卷及其答案1汇编

1、学习 - 好资料1.已知 X 1*325413, X 2*0.325413 都有 6 位有效数字，求绝对误差限。（ 4 分）解：由已知可知 ,n=6X1*0.325413106 , k6, kn0,绝对误差限X 2*0.325413100 , k0, kn6, 绝对误差限111000.52 分22110 62 分21002. 已知A02 4求 A1,A ,A2（6分）024解：A 1max 1,4,88,1 分Amax 1,6,66,1 分A 2max AT A1 分100100100ATA022024=0802 分0440240032max ( AT A)max 1,8,32321 分A 2

2、32423. 设 f (x)(x 2a) 3（6 分） 写出 f(x)=0解的 Newton 迭代格式 当 a 为何值时， xk1(xk )（ k=0,1 ）产生的序列xk收敛于2解：xk1xkf ( xk )xk(xk2a)35xkaf ( xk )6xk (xk2a) 266xkNewton 迭代格式为：3分5xa( x)6x6 (x)5a,当 (2)10a1,即2 a22时迭代收敛3分66x212更多精品文档学习 - 好资料4. 给定线性方程组32， b3Ax=b ， 其 中 ： A2用迭代公式11x( k 1 )x( k)(bAx ( k) ) （ k=0,1 ）求解Ax=b ，问取什

3、么实数敛（8 分）解：BI132所给迭代公式的迭代矩阵为A12其特征方程为IB(13)20(12)即，解得 1 1,214要使其满足题意，须使(B)1 ，当且仅当00.5，可使迭代收2 分2 分2 分2 分12255. 设方程 Ax=b ，其中 A111， b6试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收2217敛性，并建立 Gauss-Seidel 迭代格式（9分）解：AL DU022BJD 1(L U)1 013 分220IBJ30, 12302 分即(BJ )0 1，由此可知 Jacobi 迭代收敛1 分Gauss-Seidel 迭代格式：x1( k 1)x2( k 1)x3( k 1)52

4、 x2(k )2x3(k)6x1( k 1)x3(k )（ k=0,1,2,3 ）3 分72x1(k 1)2x2(k 1)6.用 Doolittle 分解计算下列3 个线性代数方程组：Axibi （ i=1,2,3 ）其中更多精品文档学习 - 好资料2114A 232， b17 ,b2 x1 ,b3 x2 （12 分）2349解： Ax1 b12114232x172349100211A= 110021=LU3 分11100210044由 Ly=b1 ，即110y=7得 y= 31 分1119221141由 Ux1=y ，即 021x1= 3得 x1= 12 分00221 Ax2 b221112

5、32x2= 1234110011由 Ly=b2=x1 ，即 110y= 1得 y= 01 分1111021110.5由 Ux2=y ，即 021x2= 0得 x2= 02 分00200 Ax3 b32110.5232x3=02340更多精品文档学习 - 好资料1000.5由 Ly=b3=x2 ，即 110y=0得 y=11102110.5由 Ux3=y ，即 021x3=0.5得 x3=00200.50.51 分00.3750.252 分07. 已知函数 y=f(x) 有关数据如下：要求一次数不超过3 的 H 插值多项式，使H 3 ( xi )yi , H 3 ( x1 )y1（ 6 分）解：

6、作重点的差分表，如下：3 分H 3 ( x)f x0 f x0 , x1 ( xx0 )f x0 , x1 , x1 ( xx0 )( xx1 )f x0 , x1 , x1 , x2 ( xx0 )( xx1 ) 2=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)= 2x3x 23 分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式（ 7 分）解：由已知条件可作差分表，3 分xi x0ihi （ i=0,1,2,3 ）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为：N 3 (x)f 0( x x0 )f 0(x x0 )( x x1 ) 2f

7、0( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3f 01!h2! h23! h 3更多精品文档学习 - 好资料=4+5x+x(x-1)= x 24x 44 分9.求 f(x)=x 在-1,1 上的二次最佳平方逼近多项式P2 ( x) ，并求出平方误差（8 分）解：令 P2 (x) a0 a1x a2 x 22 分取 m=1, n=x, k=x2 ,计算得：(m,m)=1(m,n)=1(m,k)=12 dx =01dx =0xdx =1x11113 dx =0.511(n,k)=x(k,k)=x 4 dx =0(m,y)=xdx =111112 dx =013dx =0.5(n,y)=x(

8、k,y)=x11a11得方程组：a00.5a203 分0.5a10.5解之得 a0c,a11, a22c（ c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式P2 ( x)cx 2cx 21 分22222平方误差：fp2fai ( i , y)2 分2223i0142 dx的近似值 （保10. 已知如下数据： 用复合梯形公式， 复合 Simpson 公式计算x0 1留小数点后三位）（8 分）解：用复合梯形公式：更多精品文档学习 - 好资料T811131537 f (0)2 f ( )f ( )f ( )f ( )f ( ) f () f () f (1)168482848=3.1394 分用复

9、合 Simpson 公式：S41 f (0)4 f ( 1)f (3)f ( 5)f ( 7 )2 f (1 )f ( 1 )f ( 3) f (1)248888424=3.1424 分11. 计算积分 I2 sin xdx，若用复合 Simpson 公式要使误差不超过110 5 ，问区间02 0, 要分为多少等分 ?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间 0, 应分为多少等22分? （10 分）解： 由 Simpson 公式余项及 f ( x)sin x, f (4 ) ( x)sin x 得Rn ( f )2 () 4 max f (4) ( x)( )4(1) 4110 52分180 4

10、n0 x360 4n22即 n 4665, n5.08 ，取 n=62分即区间 0, 分为 12 等分可使误差不超过 110 51分22对梯形公式同样max f ( x)1，由余项公式得0x2Rn ( f ) 2 ( )110 52 分122n2更多精品文档学习 - 好资料即 n254.2,取 n2552分即区间 0, 分为 510 等分可使误差不超过 110 51分2212. 用改进 Euler 格式求解初值问题：y y y2 sin x 0 要求取步长 h 为 0.1，计算 y（ 1.1）y(1)1的近似值（保留小数点后三位）提示： sin1=0.84,sin1.1=0.89（6 分）解：

11、改进 Euler 格式为：yn 1ynhf ( xn , yn )2 分yn 1ynh f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )2于是有yn 1yn0.1( ynyn2 sin xn )（ n=0,1,2 ）2 分yn 1yn0.05( ynyn2 sin xn y n 1 yn 12 sin xn 1 )由 y(1)= y0 =1，计算得y1 10.1(112 sin1) 0.816分2y(1.1)y10.838即 y(1.1) 的近似值为0.83813.设 f ( x) C a,b, x0(a, b),定义： f x0 , x0 lim f x, x0 , 证明： f x0 , x0 f x0 14.x x0（4 分）证明：f x0 limf xf x0f x0 , x0 xx0lim f x, x0 x x0x x04 分故可证出 f x0 , x0 f x0 更多精品文档学习 -好资