大学课件-概率论9.2

1、9.2 9.2 单个正态总体的参数检验单个正态总体的参数检验 对于正态总体（包括单个正态总体 和两个正态总体）本教材讨论的假设检 验问题都是双边假设检验问题，即备择 假设是双边的，所用的检验统计量与参 数的区间估计量是一致的，原假设的接 受域实际上就是置信区间（当置信度 (1-)中的与检验显著性水平 相等 时）。 拒绝域的推导拒绝域的推导 设 X X N ( 2)，2 已知，需检验： H0 : 0 ； H1 : 0 构造统计量 0 (0,1) X UN n 给定显著性水平与样本值(X X1, X X2, X Xn ) （1 1）关于）关于 的检验的检验 P(拒绝H0 |H0 为真 ) 0 H

2、0 H 00 ()PXk 0 0 () H PXk 0 0 () H Xk P nn 0 2 0 () H X Pu n 2 ku n 取 所以本检验的拒绝域为 0： 2 Uu U 检验法 0 0 2 Uu U U 检验法检验法 ( 2 2 已知 已知) ) 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布 拒绝域 0 (0,1) X U n N 0 0 2 tT 0 (1) X T S n t n T T 检验法检验法 ( 2 2 未知 未知) ) 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布 拒绝域 例例1 1 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马

3、达在正常负载下平均消耗电 流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均 消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准 差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分 布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这 个样本, 能否否定厂方的断言? 解解 根据题意待检假设可设为 H0 : = 0.8 ； H1 : 0.8 未知, 故选检验统计量: (15) /16 X TT S 查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为 753. 1 / 8 . 0 ns x 94. 0 4 32. 0 753. 18 . 0 x 现 94. 092. 0 x 故接受原假设, 即不

4、能否定厂方断言. 由于假设检验是控制犯第一类错由于假设检验是控制犯第一类错 误的概率误的概率, 使得拒绝原假设使得拒绝原假设 H0 的决策的决策 变得比较慎重变得比较慎重, 也就是也就是 H0 得到特别的得到特别的 保护保护. 因而因而, 通常把有把握的通常把有把握的, 经验的经验的 结论作为原假设结论作为原假设, 或者尽量使后果严或者尽量使后果严 重的错误成为第一类错误重的错误成为第一类错误. 2= 02 2 02 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 检验法检验法 2 ( 已知) 2 2 1 2 0 2 () ( ) n i i X n )( )( 22

5、 2 1 2 2 2 n n 或 （2 2）关于）关于 2 2 的检验 的检验 2= 02 2 02 ) 1( ) 1( 22 2 1 2 2 2 n n 或 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 ) 1( ) 1( 2 2 0 2 2 n Sn ( 未知) 例例2 2 某汽车配件厂在新工艺下 对加工好的25个活塞的直径进行测量, 得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生 产的活塞直径的方差为0.00040. 问 改革后总体的方差比改革前是否显著 变化？ 解解 一般进行工艺改革时, 若指标 的方差显著增大, 则改革不成功； 若方差变化（减小）不显著, 则

6、需试行 别的改革方案. 设测量值 2 ( ,)XN 00040. 0 2 需考察改革后活塞直径的方差是否 等于改革前的方差？故待检验假设可 设为： 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 取统计量 ) 1( ) 1( 2 2 0 2 2 n Sn 拒绝域 0： 22 0.05(24) 36.415 415.366 .39 00040. 0 00066. 024 2 0 落在0内, 故拒绝H0. 即改革后的方 差显著大于改革前, 因此本次改革是 不成功的. 22 0.95(24) 13.8 或 设 X X N ( 1 1 2 ), Y

7、N ( 2 2 2 ) 两样本 X X , Y 相互独立, 样本 (X X 1, X X 2 , X X n ), (Y 1, Y 2 , Y m ) 样本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym ) 显著性水平 9.3 9.3 两个正态总体参数的假设检验两个正态总体参数的假设检验 1 2 = ( 12，22 已知) 22 12 (0,1) XY U nm N 2 Uu (1) (1) 关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检验 的检验 1 2 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 1 2 = 2 tT 1 2 11 (2) w X

8、Y T S nm T nm 2 ) 1() 1( 2 2 2 1 mn SmSn Sw 其中 12, 22未知 12 = 22 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 12 = 22 12 22 (2) (2) 关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验 的检验 2 ( , )F F nm 或或 2 1 ( , )FFn m 1, 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 () 1 () ( , ) n i i n i i X n F Y m Fnm 均已知 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域

9、12 = 22 12 22 ) 1, 1( 2 mnFF 或 ) 1, 1( 2 1 mnFF 1, 2 ) 1, 1( 2 2 2 1 mnF S S F 均未知 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域 例例3 3 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中, 现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中 9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟 巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下: m = 15 5689. 0 12.21 2 2 s y 19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22

10、.3 n = 9 4225. 0 20.22 2 1 s x 21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2 试判别两个样本均值的差异是仅 由随机因素造成的还是与来自不同的 鸟巢有关 ( ). 05. 0 解解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取统计量 (2) 11 w TT n m S nm 718. 0 2 ) 1() 1( 2 2 2 1 mn SmSn Sw 拒绝域 0：074. 2)22( 025. 0 tT 074. 2568. 3 0 T统计量值 . 落在0内, 拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关. 例例4 4 假设机器 A

11、和 B 都生产钢管, 要 检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定 程度. 设它们生产的钢管内径分别 为 X 和 Y , 且都服从正态分布 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 现从机器 A和 B生产的钢管中各 抽出18 根和13 根, 测得 s12 = 0.34, s22 = 0.29, 设两样本相互独立. 问是否能认 为两台机器生产的钢管内径的稳定程 度相同? ( 取 = 0.1 ) 解解 设 H0 : 12 = 22 ；H1 : 12 22 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59, 42. 0 38. 2 1 )17,12( 1 05. 0 F 22 12 /

12、( 17, 12 )SSF F0.95( 17, 12 ) = 拒绝域为:59. 2 2 2 2 1 S S 或42. 0 2 2 2 1 S S 由给定值算得:17. 1 29. 0 34. 0 2 2 2 1 s s 落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为 内径的稳定程度相同. 接受域置信区间 1 假 设 检 验 区 间 估 计 统计量 枢轴量 对偶关系 同一函数 假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照 ),( 22 n zx n zx 2 0 x z n 接受域 置信区间 检验统计量及其在 H0为真时的分布 枢轴量及其分布 0 0 （

13、 2 已知) 0 (0,1) X UN n （ 2 已知) 0 (0,1) X UN n 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 接受域 置信区间 检验统计量及其在 H0为真时的分布 枢轴量及其分布 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 0 0 （ 2未知） 0 (1) X TT n S n （ 2未知） 0 (1) X TT n S n ) 2 n s tx 2 0 x t s n ,( 2 n s tx 接受域 置信区间 ) ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( ( 2 1 2 2 2 22 n sn n sn 2 22 2 1 022 (1)nS 检验统计量及其在 H0为真时的分

14、布 枢轴量及其分布 原假设 H0 备择假设 H1 待估参数 2 02 2= 02 2 (未知) ) 1( ) 1( 2 2 0 2 2 n Sn (未知) ) 1( ) 1( 2 2 0 2 2 n Sn 例例5 5袋装味精由自动生产线包装，每 袋标准重量 500g,标准差为25g.质检 员在同一天生产的味精中任抽 100袋 检验，平均袋重495g. 在的检验中犯取伪错误的概 在显著性水平 下，该05.0 天的产品能否投放市场？ 率 是多少？ 解解 设每袋重量)25,500( 2 NX 96. 12 100/25 500495 0 U H0 : 500 ； H1 : 500 故该天的产品不能投

15、放市场. 落在 内0 2 0 0.025 1.96 / X Uuu n 0： 22 00 (|) ()()1 pHH uu 接受不正确 5 2 /25/ 100n 令令 00 495 5005x 1)96.3()04.0( 2 1.96u 484.0)04.0(1 此概率表明：有48.4%的可能性将 包装不合格的认为是合格的. 9.4 总体分布的假设检验 前面讨论的关于参数的假设检验，都是事先前面讨论的关于参数的假设检验，都是事先 假定总体的分布类型为已知的，而且所讨论假定总体的分布类型为已知的，而且所讨论 的总体都认为是正态总体。但有时候，事先的总体都认为是正态总体。但有时候，事先 并不知道

16、总体的分布，因此就需要根据样本并不知道总体的分布，因此就需要根据样本 对总体分布函数对总体分布函数F F( (x x) )进行检验，这种检验称进行检验，这种检验称 为分布的拟合（优度）检验，它是非参数假为分布的拟合（优度）检验，它是非参数假 设检验中较为重要的一种。设检验中较为重要的一种。 2 本本 节节 介介 绍绍拟拟 合合 检检 验验 法法 ， 其其 步步 骤骤 与与 参参 数数 假假 设设 检检 验验 的的 步步 骤骤 基基 本本 相相 同同 。 0 2 2 2 1 2 1 22 100 1:( )( ), ( ) 2 (-) () (4) ,;. k ii i i HF xF x F x m