计算指标权重的方法PPT课件

1、授课：XXX1 v在统计学中用来确定权重的三种方法 三种方法：AHP、ANP、熵值法 授课：XXX2 三种方法：AHP、ANP、熵值法 其中，AHP、ANP既是一种评价方法， 但更 常用来计算指标权重。 而熵值法则是一种根据指标反映信息 可靠程度来确定权重的方法。 授课：XXX3 一、AHP v 层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等 人在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合 的多准则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问 题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后， 构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把利用较少的定量信息，把 决策的思维过程数学化

2、决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或 无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。 具体的说，它是指将决策问题的有关元素分解成目标、 准则、方案等层次，用一种标度对人的主观判断进行客 观量化，在此基础上进行定性和定量分析的一种决策方 法。他把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分 析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤其适合于适合于 人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接准确人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接准确 计量的场合。计量的场合。 授课：XXX4 v 应用层次分析法时，首先要把问题层次化。首先要把问题层次化。根据问题的 性质和要达到的目标，将问题分

3、解为不同组成因素，并按照 因素间的相互关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集 组合，形成一个多层次的分析结构模型。并最终把系统分析最终把系统分析 归结为最底层，相对于最高层目标的相对重要性权值的确定归结为最底层，相对于最高层目标的相对重要性权值的确定 或相对优劣次序的排序问题。或相对优劣次序的排序问题。在排序计算中，每一层次的因 素相对上一层次某一因素的单排序问题又可简化为一系列成 对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层次分析法引 入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，即 可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计 算出某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权

4、值。 授课：XXX5 v在计算出某一层次相对于上一层次各个因素在计算出某一层次相对于上一层次各个因素 的单排序权值后，用上一层次因素本身的权的单排序权值后，用上一层次因素本身的权 值加权综合，即可计算出层次总排序权值。值加权综合，即可计算出层次总排序权值。 总之，依次由上向下即可计算出最低层因素 相对于最高层的相对重要性权值或相对优劣 次序的排序值。 授课：XXX6 AHP的模型与步骤 假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业 高层领导决定如何使用。企业领导经过实际调查高层领导决定如何使用。企业领导经过实际调查 和员工建议，现有如下方案可供选择：

5、和员工建议，现有如下方案可供选择： v（1）作为奖金发给员工；）作为奖金发给员工； v（2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施；）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； v（3）办员工进修班；）办员工进修班； v（4）修建图书馆、俱乐部等；）修建图书馆、俱乐部等； v（5）引进新技术设备进行企业技术改造。）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和 改善员工的物质文化生活状况来看，这些方案都改善员工的物质文化生活状况来看，这些方案都 有其合理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，有其合理因素。如何使得这笔资金更合理的使用， 就是企

6、业领导所面临需要分析的问题。就是企业领导所面临需要分析的问题。 授课：XXX7 （1）构造层次分析结构 资金合理使用 A 调动职工积 极性 B1 提高企业技 术水平 B2 改善职工生 活 B3 C1 发奖 金 C2 扩建 福利设施 C3 办职 工进修班 C4 建图 书馆等 C5 引进 新设备 目标层 准则层 方案层 每一层次中的元素一般不超过每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。目过多的元素会给两两比较判断带来困难。 授课：XXX8 （2）构造判断矩阵 v判断矩阵的一般形式 性质性质：（：（1）Cij0;（2）Cij=1

7、/Cji;（3）Cii=1 此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k， 均有均有Cij*Cjk=Cik，则，则C为一致矩阵。为一致矩阵。 12 11 11 21 22 12 22 12 kn n n nnnn n BCCC CCCC CCCC CCCC 授课：XXX9 v1-9标度方法 1/9i元素比j元素极端不重要9 1/7i元素比j元素强烈不重要8 1/5i元素比j元素明显不重要7 1/3i元素比j元素稍不重要6 9i元素比j元素极端重要5 7i元素比j元素强烈重要4 5i元素比j元素明显重要3 3i元素比j元素稍重要2 1i，j两元素同等重要1 Cij赋

8、 值 重要性等级序号 注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。 授课：XXX10 对于上述例子，假定企业对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这个领导对于资金使用这个 问题的态度是：首先是问题的态度是：首先是 提高企业技术水平，其提高企业技术水平，其 次是改善员工物质生活，次是改善员工物质生活， 最后是调动员工的工作最后是调动员工的工作 积极性。则准则层对于积极性。则准则层对于 目标层的判断矩阵目标层的判断矩阵A-B 为：为： AB1B2B3 B111/51/3 B2513 B331/31 11/51/3 513 31/31 A 授课：XXX11 v同样，可得： 1 12

9、347 1/31325 1/5 1/311/2 1 1/4 1/2213 1/7 1/5 1/2 1/3 1 B 2 11/71/31/5 7153 31/511/3 51/ 231 B 3 1133 1133 1/3 1/311 1/3 1/311 B 授课：XXX12 （3）判断矩阵的一致性检验 v判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性 时，各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的 结果。出现不一致在多阶判断的条件下，极容易 发生，只不过是不同的条件下不一致的程度上有 所差别而已。 v根据矩阵理论可知，如果满足： v则为A的特征值，并且对于所有aii=1，有 Axx 1 n i i n

10、授课：XXX13 v显然，当矩阵具有完全一致性时， 其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一 致性时，则有 ，其余特征根2，3，n 有如下关系： n max1 n max1 max 2 n i i n 授课：XXX14 v上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用： 检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩

11、阵的一致性越好。 max 1 n CI n 授课：XXX15 v当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； v当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的 平均随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI 值如下： v当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平 均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR， 当CR=CI/RI0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的 一致性，否则需要调整判断矩阵。 123456789 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 授课：XXX16 （4）层次单排序 v 理论上讲，层次单排序计算问题可归结 为计算

12、判断矩阵的最大特征根及其特征向量 的问题。但一般来说，计算判断矩阵的最大 特征根及其对应的特征向量，并不需要追求 较高的精确度，因为判断矩阵本身有相当的 误差范围。而且，应用层次分析法给出的层 次中各种因素优先排序权值从本质上来说是 表达某种定性的概念。因此，一般用迭代法 在计算机上求得近似的最大特征值及其对应 的特征向量。在此给出计算矩阵最大特征根 及其对应特征向量的方根法的计算步骤： 授课：XXX17 v计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi v计算Mi的n次方根 v对向量 正规化（归一化处理） i W 1 n iij j Ma n ii WM 12 , T n WW WW 1 i in j j

13、 W W W 授课：XXX18 则 即为所求的特征向量。 v计算判断矩阵的最大特征根 其中，（AW）i表示向量AW的第i个元素。 12 , T n WWWW m a x 1 n i i i A W n W 授课：XXX19 v对于判断矩阵A，其计算结果为： p对于判断矩阵B1，其计算结果为： max 0.105 0.637 ,3.308,0.019,0.58,0.033 0.258 WCIRICR 0.491 0.232 ,max5.126,0.032,1.12,0.0280.092 0.138 0.046 WCIRICR 授课：XXX20 v对于判断矩阵B2，其计算结果为： v对于判断矩阵B

14、3，其计算结果为： max 0.550 0.564 ,4.117,0.039,0.90,0.043 0.118 0.263 WCIRICR max 0.406 0.406 ,4,0,0.90,0 0.094 0.094 WCIRICR 授课：XXX21 （5）层次总排序 层次B 层次C B1B2B3总排序W 0.1050.6370.258 C10.49100.4060.157 C20.2320.0550.4060.164 C30.0920.5640.0940.393 C40.1380.1180.0940.113 C50.0460.26300.172 3 1 ji j j bc 授课：XXX22

15、 （6）决策 v企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑 方案的实施先后次序，或者决定分配企业留 成利润的比例。 授课：XXX23 算例算例 v有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方 法计算指标权重。 列出判断矩阵 15711/3 1/5121/51/8 1/71/ 211/71/9 15711/3 38931 A 授课：XXX24 一致性检验 求最大特征根：在此采用MATLAB软件软件求取 A=1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,5,7,1,1/3;3,8,9,3,1

16、 B，D=eig（A） 则：B = 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 -0.7071 0.0906 -0.0633 - 0.0182i -0.0633 + 0.0182i 0.2303 -0.0000 0.0595 -0.0063 - 0.0620i -0.0063 + 0.0620i -0.1231 -0.0000 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 0.7071 0.8455 0.9339 0.9339 0.8799 0.0000 D = 5.1141 0

17、0 0 0 0 -0.0177 + 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0177 - 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0786 0 0 0 0 0 -0.0000 授课：XXX25 max=5.1141 CI=(max-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)= 0.1141/4=0.0285 RI（5）=1.12 CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.02550.10 因此，通过一致性检验。 求得权重 权重即为最大特征根对应的特征向量 W=0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455进行归一 化后的结果，w=W./sum(W) =0

18、.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873 授课：XXX26 二、ANP（网络分析法） vAHP是基于以下几个假设进行决策的，而这几个假设与某 些实际决策问题有背离： （1）将决策系统分为若干层次，上层元素对下层元素起支 配作用，同一层元素之间是相互独立的，但实际上，一 般各层内部的元素之间都存在依存关系，同时下层对上 层也有反支配（反馈）的作用； （2）决策问题可分为多个层次，上层元素对下层元素起控 制，同一层次的元素间相互独立，不存在内部的相互依 赖性。而实际决策问题中某些指标往往存在相互影响； （3）各个层次间只是存在相邻两个层次间自上向下的影响 作用，没有考虑下

19、层对上层的反作用。非相邻层次间的 相互影响也没有考虑。而在实际决策中下层元素对上层 元素有反作用（反馈）。 ANP则取消了这些假定，在理论上允许决策者考虑复杂动态 系统中各要素的相互作用，从而更符合决策问题的实际 情况。 授课：XXX27 ANP基本结构 目标 准则P1准则Pn 元素组C1元素组C2 元素组C3 元素组C4 元素组C5 控 制 层 网 络 层 授课：XXX28 ANP的超矩阵算法 v设网络ANP中控制层的元素为 P1,P2,Ps, Pm，网络层有元素组为 C1,C2,Ci,Cj,CN。其中Ci有元素 ei1,ei2,eini。 v构造超矩阵如下，其中行表示汇，列表示 源。针对网

20、络结构中的相互作用和反馈信 息，基于源对汇中的元素进行两两比较， 求解源对于汇的相对偏好和重要性。 授课：XXX29 12 1 2 12 1 112 121 1 1 1 1 11 21 1 2 1 2 2 12 22 2 1 12 N N N nnNN n N n N n N NNN N N N n CCC eeeeee e C WWW e e CWWWW e e WWWC e 授课：XXX30 v超矩阵W的每一元素Wij都是基于一个两两判断比较 矩阵获得的归一化特征向量，列和为1，但是，W 不是归一化矩阵，为此，以控制元素ps为准则，对 控制元素ps下的各元素组对各元素组Cj的重要性进 行比

21、较，得到一个归一化的排序向量： 111 1 N NNN aa A aa 授课：XXX31 v把矩阵把矩阵A与与W相乘得到加权超矩阵：相乘得到加权超矩阵： v在网络分析法在网络分析法ANP中，为了反映元素之间的依中，为了反映元素之间的依 存关系，加权超矩阵存关系，加权超矩阵W需要做一个稳定处理，即需要做一个稳定处理，即 计算极限相对排序向量：计算极限相对排序向量： v如果极限收敛且唯一，则如果极限收敛且唯一，则W的第的第j列就是控制元列就是控制元 素下网络层各元素对于元素素下网络层各元素对于元素j的极限相对排序。的极限相对排序。 ijij Wa W 1 lim (1 /) N K N k NW

22、授课：XXX32 ANP的决策步骤 v1.基于网络模型中各要素间的相互作用，进行两基于网络模型中各要素间的相互作用，进行两 两比较；两比较； v2.确定未加权超矩阵（基于两两判断矩阵，使用确定未加权超矩阵（基于两两判断矩阵，使用 特征向量法获得归一化特征向量值，填入超矩特征向量法获得归一化特征向量值，填入超矩 阵列向量）；阵列向量）； v3.确定超矩阵中各元素组的权重（保证各列归确定超矩阵中各元素组的权重（保证各列归 一）；一）； v4.计算加权超矩阵；计算加权超矩阵； v5.计算极限超矩阵；（使用幂法，即求超矩阵的计算极限超矩阵；（使用幂法，即求超矩阵的 n次方，直到矩阵各列向量保持不变）。

23、次方，直到矩阵各列向量保持不变）。 授课：XXX33 案例 选车 维修 成本耐用性 美国车日本车欧洲车 控制层 网络层 授课：XXX34 成本美 国 车 欧 洲 车 日本 车 特征 向量 美国 车 1530.637 欧洲 车 1/511/30.105 日本 车 1/3310.258 CR=0.033 维修美 国 车 欧 洲 车 日本 车 特征 向量 美国 车 1520.582 欧洲 车 1/511/30.109 日本 车 1/2310.309 CR=0.003 授课：XXX35 耐用 性 美 国 车 欧 洲 车 日本 车 特征 向量 美国 车 11/51/30.105 欧洲 车 5130.63

24、7 日本 车 31/310.258 CR=0.033 美国 车 成 本 维 修 耐用 性 特征 向量 成本1340.634 维修1/3110.192 耐用 性 1/4110.174 CR=0.008 授课：XXX36 欧洲 车 成 本 维 修 耐用 性 特征 向量 成本111/20.25 维修111/20.25 耐用 性 2210.50 CR=0.008 日本 车 成 本 维 修 耐用 性 特征 向量 成本1210.40 维修1/211/20.20 耐用 性 1210.40 CR=0.000 授课：XXX37 再考虑成本、维修和耐用性之间的相互影响，得到三者的再考虑成本、维修和耐用性之间的相互

25、影响，得到三者的 权重矩阵如下：权重矩阵如下： 成本维修耐用性 成本 维修 耐用性0.30.550.1 授课：XXX38 v得到初始超矩阵 成本维修耐用性美国车欧洲车日本车 成本0.6340.250.4 维修0.1920.250.2 耐用性0.30.550.10.1740.250.4 美国车0.6370.5820.105000 欧洲车0.1050.1090.637000 日本车0.2580.3090.258000 授课：XXX39 v假定A=0.5,1;0.5,0,则加权超矩阵： 成本维修耐用性美国车欧洲车日本车 成本

26、0.6340.250.4 维修0.20.1250.150.1920.250.2 耐用性0.150.2750.050.1740.250.4 美国车0.3190.2910.053000 欧洲车0.0530.0550.319000 日本车0.1290.1550.129000 授课：XXX40 将加权超矩阵稳定处理，即自乘将加权超矩阵稳定处理，即自乘4-6次，得到稳定的极次，得到稳定的极 限超矩阵。（注意，每一步自乘之前需要将列向量归一限超矩阵。（注意，每一步自乘之前需要将列向量归一 化，否则加权超矩阵会越变越小，不会收敛）化，否则加权超矩阵会越变越小，不会收敛） 成本成本维修维修

27、耐用性耐用性美国车美国车欧洲车欧洲车日本车日本车 成本成本0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 维修维修0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 耐用性耐用性0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 美国车美国车0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.1

28、59 0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 欧洲车欧洲车0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 日本车日本车0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 ANP决策结果表明：美国车是最优选择，成本是决定性因素。决策结果表明：美国车是最优选择，成本是决定性因素。 授课：XXX41 软件：Superdecision 授课：XXX42 图 元素组权重矩阵 授课：XXX43 权重矩阵 授课：XXX44 三、熵值法 v 熵的概念源于热力学，是对系统状态不确 定性的一种度量。在信息论中，信息是系统 有序程度的一种度量。而熵是系统无序程度 的一种度量，两者绝对值相等，但符号相反。 根据此性质，可以利用评价中各方案的固有 信息，通过熵值法得到各个指标的信息熵， 信息熵越小，信息的无序度越低，其信息的 效用值越大，指标的权重越大。 授课：XXX45 v熵是不确定性的度量，如果用Pj表示的j个信息不确 定度（也即出现的概率）则整个信息（设有n个） 的