数列最值问题

1、数列最值问题数列的最值问题教学目的1、会通过研究数列 an 通项的规律，判断其 前 n 项和 Sn 的最值情况；2、会利用函数思想研究数列的最值问题；3、会利用求数列中最大（小）项的一般方 法研究数列的最值问题；4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系 和相互转化。数列的最值问题是一类常见的数列问题， 是数列中的难点之一， 也是函数最值问题的一个 重要类型，数列的最值问题大致有以下 2 种类 型： 类型 1求数列an的前 n 项和 Sn的最值，主要是两种思 路：（1）研究数列 an f （n）的项的情况，判断 Sn的最 值；(2)直接研究 Sn 的通项公式，即利用类型2的思路求 Sn 的最值。

2、类型 2求数列 an 的最值，主要有两种方法： (1)利用差值比较法若 有 an 1 an f (n 1) f(n) 0 ， 则 an 1 an ， 则a1 a2an an 1 ，即数列 an是单调递增数列，所以数列 an 的最小项为 a1 f(1)；若有 an 1 an f (n 1) f(n) 0 ， 则 an 1 an ， 则 a1 a2an an 1 ，即数列 an是单调递减数列，所以数列 an 的最大项为 a1 f(1).值；(2)利用商值比较法若有 an f(n) 0 对 于 一切 an 1 f (n 1) 1，则 an 1 an ，则 a1 a2 an f (n)an 是单调递增

3、数列，所以数列 f (1) ；若有 an f(n) 0 对 于 一切 an 1 f (n 1) 1 ，则 an 1 an ，则 a1 a an f (n)an 是单调递减数列，所以数列 a1 f (1). N* 成 立 ， 且 即数列anan 1an 的最小项为a1 N* 成 立 ， 且 即数列anan 1an 的最小项为例 1、在等差数列 an中， a1 10,d 1，Sn为an前 n 项和，求 Sn 的最大值。解法 1：研究数列 an 的正数与负数项的情况 an 0 n 11，又 a11 0， 当 n=10 或 n=11 时， Sn 取 到最大值 55。2解法 2：Sn 1（n 21）2

4、21 ， 当 n=10 或 n=11 时，Sn 2 2 8取到最大值 55。练习：已知等差数列 an（d0）其前 n 项和为Sn， 若 S9 S17 ，问 Sn 中哪一项最大？解：因为 S9 S17 a10 a11a17 0又因为a17 a11 a16 a12a15 a13a14a13 a140，因为d1所以a9 6n1anbn6 n n1 1 2 1 312 ( 1)(12)2 ( 3)(12)3n 1?, ?c n(12)212 (f (x) 上，SnS1Sn3n2 6nSn 13n2 6n) 6n,?3(n 1)2 6(n1)(913( 1) (21)3 (122)(2)2 (整理得 T

5、n16n)(12)n62n)( 21 )n ,?1(312n)( 12) n ?, ?所以(33)(12)412)(2)(2n(3 2nn 1?,1n2)(2)n (32) 2n)(21)n 1 (12)21 (12)n 1(32n)(21)n11，策略一 利用差值比较法由式得 Tn 1 (2n 3)(12) n1，所以值 T1 2Tn 1Tn1 n 1 1 n (2n 3)( )n 1 (2n 1)( ) n22?1 1 n (2n 3)( ) (2n 1)( )22?31 n 11 nn (2n 1)( )n ( n)( )n .?22 22因为 n1，所以 12 n0.又(12)n0，所

6、以 Tn 1Tn 0所以 Tn1 Tn，所以 T1T2 T3TnTn 1 . 所以 Tn 存在最大1?.策略二 利用商值比较法由式得因为 TTn 1Tn1 Tn 1 (2n 1)(12)n 0.1 n 1(2n 3)(12)n 1 2n 3n 2(2n 1)(2n 1) 2?,(2n2(2n 1)所以Tn11Tn 112(1 )2 2n 1 Tn 1 ， /12(1即221)Tn 1所以 Tn存在最大值 T1Tn所以练习：1.（2014 杭 州市一模数学（理）试题）设数an满足：a1 a2 a3an n an(n N ) (I) 求证：数列 an 1 是等比数列；()若 bn (2 n)(an

7、 1) ，且对任意的正整数 n，都 有bn 41t t2 ，求实数 t 的取值范围2. (浙江省温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(理)试题) 已知数列an 的前n项和 Sn 2an 2n1()证明:数列 a2nn 是等差数列 ;( ) 若不等式 2n2 n 3 (5 )an 对 n N 恒成立 , 求 的取值范围 .【答案】 解:( ) 当 n 1时, S1 2a1 22得 a1 4Sn2an 2n 1当n 2时, Sn1 2an1 2n, 两式相减得2an 2an 1 2nan2an 1 2n ,所以 a2nn 2ann 112an 1 2n2nan 1an11an11n

8、 1n1n12n 12n12n1又 a211 2,所以数列an2n是以 2 为首项 , 1为公差的等差数列3. 已知函数f(x) log3(ax b)的图象经过点 A(2,1)和 B(5,2)，记 an 3f (n),n N*.1）求数列 an 的通项公式；2）设bn 2ann ,Tn b1 b2bn，若Tn mm 11对一切 n N*均成立，求 m 的范围；解：（1）由题意得log3(2alog3 (5ab) 1b) 2解得a2b1f (x) log3(2x1)an3log3 (2n 1)2n 1,nN*（2）由（1）得bn2n 1 ，2n ，1 Tn1n21352322 232n 3 2n

9、 1 n 1n2n 12n1Tn2132322 232n2n5 2n 31 2n2n 12n1- 得82n 5f(n 1)2n 12n 51 1 1 112 2n 3 2 5f(n)2n 3 2(2n 3)2n得 f (n)2n2n 3,n N*随n的增大而减小当n时， Tn 3又 Tnm 1 恒成立，m1m 1 3 1 m 2m12Tn32121 212222 23 2n 1 2n 122n 1Tn2 2n 12n 212n 211212n 12n( 11 12(21 222n 3 ，12n 21n1)2n 12n 12n 1f (n)2n 32n ,n4.在数列 an中， a11,an1(

10、11 ) an(n N*) n1（）求数列 an 的通项公式；（）若对于一切 n1 的自然数，不等式 an 1 an 2 a2n 112 log（ a 1） 23 恒成立，试求实数 a 的取值范围.解：（）因为 an 1 (1n11)?，an(nN*)，a=1，所以 an0.an 1nann 1ananan ? an 1an 1an 21a22 ?a1a1n 1?n 2 1 ?a1n n 1 21a1n. 而 a1=1，所以bn 1bn 1)设 bn1n2an 1an 2a2n (nN*) ，m)知1n3an1n，所以2n 2n 11，2n 2 ，bn1n1所以bn 2n 1 2n 1 n 1 (2n 1)(2n 2) 所以数列 bn 是单调递增数列 . 所以当 n 2时， bn 的最小值为b212112n ，1