2012考研数三真题及解析

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.2(1)曲线y =学冬渐近线的条数为()x -10123(A)(B)(C)(D)【答案】：【解析】：X2 + x匹尹，所以心为垂直的精品文档18lim 字兰=1，所以y =1为水平的，没有斜渐近线故两条选CxYx -1(2)设函数 f(X)=(ex 1)(e2x-2)川(enx-n),其中 n 为正整数，则f(0)=(A)(-1)2( n-1)!(B)(-1)n(n -1)!(C)(T)nn!(D)(1)n n!

2、【答案】：【解析】：f(x) =eX(e2x-2) H(enx-n) +(ex -1)(2e2x -2)lil(enx -n) +川(ex -1)(e2x -2)川(nenx - n)所以f(0) =(T)Z n!(3)设函数f(t)连续，则二次积分Z- 2d叫爲(r2)rdr=()fdxx2Jx2+y2f(x2+y2)dy(B)(D)2V 4 -x2dx L2 0d2x-x22v4-x2f dx丄:0仆 2x-x2 2 2財石匸f(x +y )dyJx2 + y2 f (x2 +y2)dy【答案】：（B）【解析】：由X Jx2 +y2解得y的下界为J2x X2，由Jx2 + y2 2解得y的

3、上界为J4 x2 .故排除答案（C）（ D）.将极坐标系下的二重积分化为X -型区域的二重积分得到被积函数为f（x2 +y2），(4)c1已知级数送(-1)n Jsin丄i 4n故选（B）.处（-1）n绝对收敛，2条件收敛，则a范围为（）y n (B)2-2；z弓:条件收敛可知a 2，故答案为 （D）的是（）foI 1 ,IC2丿= 1-1II 1其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相关IC4丿(B)【答案】：(C)【解析】：1,叫已A为3阶矩阵，(D)02,53401-11-10-11=C1-11C|C3C4阶可逆矩阵，=0,可知“103,4线性相关。故选（C）1且 PAP

4、 =卩=（。102,。3(C)(D)3a 22【答案】：（D）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的Q =(1 中02,2,僅3 )则04人0=(，丿2v(2(2(C) 故选(B)。1 0 0*q 0 0、100入*11 0 0、-11 0P*AP1 1 0=-1 1 011 1 0=10 0 1XZ0 0 1XZ故 Q AQ -X与丫相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则()(7)设随机变量Px2 +Y2 1(A)14【答案】：(B)兀(C)-8兀(D)4【解析】：由题意得,1, 0 C xc1,0 y v1,mxzf,其它.Px2 +丫2 1= JJf(X, y

5、 dxdy，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是D分的几何意义，知 pX2+Y2 1=-，故选(D).41,故根据二重积(8)设X1,X2,X3,X4为来自总体 N(1,cr2 ycT A0)的简单随机样本，则统计量X1 X2 的分布X3+X4-2100、100、【解析】：Q = P110，则Q=-11000b00b1丿【答案】：(B)2丿N(0,1)(B)t(1)(C)/2(1)(D)F(1,1)【答案】：(B)【解析】：从形式上，该统计量只能服从 t分布。故选B 。具体证明如下:X1 -X2Xs +X4-2X1-X2-,由正态分布的性质可知， X4-X2与Xs+j42均/収3 +X

6、4 -2 丫伍 辰认-?2丿服从标准正态分布且相互独立，可知X1-X272cr)O二、填空题：9_14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.1(9) lim (tanx 严乂皿 x_?【答案】：eW1 、【解析】：lim (tanx严xax =elim Ranx1X 制kCosx_sinx I兀1tan x-ta n lim ：|(tanx-1 = lim4cosxsinxycosx-sinx44tan=lim xm?r H Y IX - 一 I 1 + tan x|L 4人厂/ 兀-V2sin X忙4丿-72si=xm兀X -兀Y I !1+ta nxbta n 4人4

7、丿 兀X、4丿=-721 所以 lim(tanxosxdinx =etanx 4 LCosx-si nx血=e(10)设函数f(X)n低X皂1.2xT,x G” f(f(x)，求 dxX=0【答案】：4【解析】：生dx7 = f(f(0)f(0) = f(_1)f(0)由f (x)的表达式可知f (0)= f(-1)=2，可知生dx=4Xz0(11)函数 Z = f(X, y)满足 lim f(x：y) 2x+_Ll2 xmJx2+(y1)2=0，则 dz(0,1) 一【答案】：2dx-dy【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即f (x,y) = 2x-y + 2 + o(Jx2+(

8、y-1)2),cz所以=dx(0,1) = 2，(0,1)= 1，故 dz(0,1)= 2dx - dy4(12) 由曲线y=和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为?x【答案】：【解析】：4ln 2被积函数为1的二重积分来求，所以-.33=Jdy fy dx+ Jdy J； dx =-+4ln 2 - 一 =4ln2042.422(13)设a为3阶矩阵，I a = 3, a为a的伴随矩阵，若交换 a的第一行与第二行得到矩阵B，则【答案】：-27 【解析】：由于 B = E12A，故 BA =Ei2AA A|Ei2=3Ei2，所以，I BA |=|3巳2 |=33 |E12| = 2

9、7*( -1) = 27.a,b,c是随机事件,1 1(14)设A,C 互不相容，p( AB) = ,P( C)=,则 P (ABC)=2 3【解析】：由条件概率的定义,P(AB“怦P(C )1其中 P(C )=1-P(C )=1 3 一- _ 一 _“一_二， 1 2三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或=23，1P( ABC)= P( AB)-P( ABC 二P( ABC )，由于 A,C 互不相容，即 AC , P (AC) = 0，又-3ABCU AC，得 P( ABC ) = 0,代入得 P (ABC )=；，故 P( A

10、B C )=-.演算步骤.（15）（本题满分10分）X1 22_2cosX、丄I -e e计算lim 4x-0X4X2【解析】：lim X J2 _2cos X -e4XX2 _2 羊cos X2 _2cos X I e1=lim elim4T7X4= lim_j0X2 一2 + 2COSX2X= lim 04X2+o(x )12 丿-2 + 2Z 24、1- + +OX2) 124!X4X（16）（本题满分10 分)=lim1=12X4计算二重积分JJeXxydxdy,其中D为由曲线y = JX与yD1所围区域。【解析】D =(x,y)|0vx 1,7Xvyc旷 j,，如图所示所以JJeXx

11、ydxdy = lim ( djteXxydyD1 门1 f 1= lim f eXx I .XT 0l2x 2 丿1dx1 1 1 2 =一 lim ( f eXdx - f eXx dx )=1 lim (eT -eXx22 x-0111 10+20eXxdx)= Tim (1 +2 f xdeX )2 XTp1=一lim (T +2(eXx2 x-01 10 十dx)（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为10000 （万元），设该企x20+（万元2/件）与6 + y

12、（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C（x, y）（万元）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。x【解析】：1）设成本函数为C（x,y），由题意有：Cx（x,y）=20+| ,2)3)2x对 x 积分得，C(x, y)=20x+ + D(y),4再对y求导有,Cy(x,y) =D(y) =6+y，再对y积分有,1 2D(y) =6y ty +c所以，C（x,y）= 20x+d6y+1y2+c42x21 2又 C(0,0) =10000,故 c=10000，所以 C(x, y)

13、 =20x+ + 6y+y2 +10000422）若x+y =50，贝U y =50-x（0 x50），代入到成本函数中，有X212C(x) =20x +才 + 6(50 -X) + -(50 -X)2 +10000 = 3x2 -36x +1155043所以，令 C(x)36 = 0,得 x=24, y=26，这时总成本最小 C(24,26) =111183）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx（24,26） =32，表示在要求总产量为50件时,在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。（18）（本题满分10分）x2证明：xln = +cosx 十亍

14、 T*11 +x,1 +x1+x厂 2sin X X1 +x=ln1-x,1 +x =ln1-x2x+2 -sin X - x1-x21 +x2+ Lx sin X1-x当0x0, 11 -X 12刍:1，所以 -X“ 21 + X|_x - Sin X 0，1-x故 f (x)30，而 f (0)=0,即得1 +xxln+ COSX 1 一1 -X2X02m1 +XX2所以 xln+COSX +1。21 -X当 一1 vx c0,1 +x有 ln J 1，所以1 -X2竺&sin x，1-x21 +x2故 f(X )30,X 即得 xln +COSX-1 一一 0 1 -X21 + xX2可

15、知，xsrcos1+亍-1x0和x0 时2 x2 x X22x 0,2(1+2x2 )ex e dt 0可知 y ； 当 X 0 时，2 X2/_l22x0,2(1+2x )e (e dt c。，可知 yv0。可知 x=0 是 y = 0 唯一的解。(1a001、a001 a001 、01a0-1T01a0-1T01a0-1001a0001a0001a00010丿.02-a01a.003 a12a a 丿001a2 X2同时，由上述讨论可知曲线y = f(x)_0 f(_t)dt在x = 0左右两边的凹凸性相反，可知(0,0 )点是曲线2 x 2y = f(X打f(-t )dt唯一的拐点。(2

16、0)(本题满分10 分).000004则有=0，可知 a = 1。=0 及一a此时，原线性方程组增广矩阵为21-aV0 3V31，非齐次方程的特解为-1，故其通解为k1+-110106.0可知导出组的基础解系为线性方程组 Ax=b存在2个不同的解，有|A|=0.即:1AT=(A 1)2(a+1) = 0,得 k =1 或-1.1 1 pfx1、1当A =1时,0 0 01 X2=0U 1 1丿11x3丿u丿，显然不符，故A = -1 .(21)(本题满分f110分)三阶矩阵A = ! 0I-1= xtAt Ax。1)2)1、1，A为矩阵A的转置，已知r(ATA)=2，且二次型求a求二次型对应的

17、二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1)由 r(ATA) =r(A) =2可得,=a +1=0= a = 1-1f2f =x2)TAt Ax =(X1,X2,X3 )1。(2 22Yx1 )2X24人X3丿= 2X12+2x222+4X3 +4 X1X2 +4 X2X3022224则矩阵B0A2-2A2-2-2-2解得B矩阵的特征值为:对于71 =0,解i1E B )X =0得对应的特征向量为:对于/戈=2,解(爲E -B )X =0得对应的特征向量为:对于為=6,解(- B )X =0得对应的特征向量为:-1,112丿将n 1,1, %单位化可得:f!) -1， l

18、0Q =(Ct1,Ct2,Ct3 )(22)(本题满分10 分)已知随机变量 X ,Y以及XY的分布律如下表所示,X01P1/21/31/6Y01P1/31/31/3XY014P7/121/301/12求：(1)P(X =2Y );(2) cov(X -Y,Y 卢 PXY.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12(1) P(X =2Y ) = P(X =0,Y =0)+ P(X =2,Y =1) = -+0 = -44(2) cov(X -Y,丫戶cov(X,Y )-cov(Y,Y )2 5245cov(X,Y )=EXY-EXEY，其中 EX =,EX2 =1,EY = 1,EY2 = ,DX = EX2-(EX ) = 13 399DY =EY2 -(EY 2 =5-1 =2,EXY =3 332 2所以，cov(X,Y) = 0，cov(Y,Y )=DY , cov(X-Y,丫戶-,xy = 0 .3 3(23)(本题满分10 分)设随机变量 X和丫相互独立，且均服从参数为 1的指数分布，V=mi n( X,Y ),U = max(X,Y )求(1 )随机变量V的概率密度;(2) E(U +V )【解析】：(1) X概率密度为f(x)=T其r分布函数为T：1 了，