[理学]天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

1、第一章 随机变量习题一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 = (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 = (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 =(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 = (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 = 其中分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间u

2、= “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间u =解: ( 1 ) u = e3 ， e4 ， e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) u = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)与 互不相容 (2)与 对立事件(3)与 互不相容 (4)与 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对

3、立事件 解: 互不相容:;对立事件 : 且3、设a,b,c为三事件，用a,b,c的运算关系表示下列各事件(1)a发生，b与c不发生 - (2)a与b都发生，而c不发生 - (3)a,b,c中至少有一个发生 - (4)a,b,c都发生 -(5)a,b,c都不发生 - (6)a,b,c中不多于一个发生 -(7)a,b,c中不多于两个发生-(8)a,b,c中至少有两个发生-4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件a表示“取到的球的号码为偶数”，事件b表示“取到的球的号码为奇数”，事件c表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1) 必然事件 (2)

4、 不可能事件(3) 取到的球的号码不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若，则成立(6)若，且，则 成立(7)若，则成立(8)若，则 成立7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) (2)至少有一个产品是次品；(2) (3)只有一个产品是次品；(3) (4)至少有三个产品不是次品4)8. 设 e、f、g是三个随机

5、事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、设是两事件且，问(1)在什么条件下取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解: (1)(2)10. 设 事 件 a， b， c 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， d 表 示 灯 亮 ， 则可用事件a，b，c 表示：(1) d = ；(2) = 。 11、设a,b,c是三事件，且， 求a,b,c至少有一个发生的概率.解: 12. (1)设事件a , b的概率分别为 与 ，且 a 与 b 互 斥，则 = . (2).一个盒中有8只红

6、球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .设 a1 , a2 , a3 是随机试验e的三个相互独立的事件， 已知p(a1) = a , p(a2) = b，p(a3) = g ，则a1 , a2 , a3 至少有一个 发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球， 则摸

7、到的没有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率. 解: 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件“至少有两个人的生日在同一个月的”“任何两个人的生日都不

8、在同一个月”17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少？解：3个球放入4个杯子中去共有种放法，设表示杯子中球的最大个数为n的事件,表示每只杯子最多只能放一个球，共有种方法，故;表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故包含的基本事件数为，于是 ;表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故.18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 d 内 ( 其 中 d 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y

9、 = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 a 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 p(a) 。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回, 设( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： ， ， ， ，21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂产品，b表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中

10、有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少？解: 解：设第i个人取得红球的事件,则为第i个人取得白球的事件，显然 , 同理23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？ 解：设为由出生活到20岁的事件，为由出生活到25岁的事件则所求事件的概率为24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 a,b,c分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求.解：25. 设 0 p(c) 1 ，试 证 ：对 于

11、 两 个 互 不 相 容 的 事 件 a，b，恒 有 p ( a b )c = pac + pbc证: 26、设事件a与b互斥，且，证明.证明：由于，故27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：设为第i次取到正品，由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设为第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率

12、。解: a ：“ 抽到的一人为男人”；b ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有n只白球，m只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？ 解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2% (1)今从该厂产品中任取一件问是废

13、品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？解：设“所取出的一件产品是废品”，“产品系甲车间生产”，“产品系乙车间生产”， “产品系丙车间生产”已知(1)由全概率公式：(2)由贝叶斯公式：所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求至是通路的概率.13245lr解: 设为第i只继电器闭合的事件，为有电流从l流向r的事件，已知显然故 32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂

14、的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” b ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 ， ， ， ， ， ， 由 全 概 率 公 式 : = 由 贝 叶 斯 公 式 :故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击

15、落的概率为0.6。若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设表示“恰有i人击中飞机”，为飞机被击落， 同理 易知，由全概率公式 34、袋中装有只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白 球，这样继续摸下去，问第次摸球时摸到白球的概率是多少？解：设事件表示第次摸到白球，则事件表示第次摸到红球。因为袋中只有1只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k次摸到红球，前k-1次一定不能摸到红球，因此等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k次摸出红球，所以 因此第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数

16、是 ， 则 用 f (x) 表 示 概 = _。 解：2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则 p 0x1 = _。 解： p 0x0， 则 c 的 值 应 是 _ e-l_。解： 5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 则 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 义 分 布 函 数 ， 则 函 数 f(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 f ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 f (x) 右 连 续 ， 且 f ( ) = 0 ， f ( + ) = 17. 随机变量，记， 则随着的增大，之值 保 持 不 变 。8. 设

17、x n ( 1， 1 )，记x 的概率密度为 j( x ) ，分布函数为 f ( x )，则 0.5。9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件.“收到呼唤3次” ，“收到呼唤次数不多于6次”(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.“长度等于10cm” = ；“长度在10cm到10.1cm之间” = (3)检查产品5件，设a为至少有一件次品，b为次品不少于两件，试用随机变量表示事件.解: 10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最x345 大号码，则x的分布律为: 二

18、. 计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别写出的分布律.234567891011122、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以x表示取出次品的只数.求x的分布律；.x0123、(1)设随机变量x的分布律为：为常数，试确定常数.解: 因 , 故 (2)设随机变量x的分布律为：，试确定常数. 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.x1230.60.240.165、汽车需要通过有4盏红绿信号

19、灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设a的表示事件：汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯，由题意表示已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯),故表示已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故.同理于是x的分布律为即x012340.40.240.1440.08640.12966、自动生产线调整以后出现废品的机率为，生产过程中出现废品

20、时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012k7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2)至少有3个设备被使用的概率是多少？(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？8、设事件a在每一次试验中发生的概率为0.3，当a发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.(2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解：(1)5次独立试验,指示灯发出信号=(2)7次独立试验,指示灯发出信号 9、设某批电

21、子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：，当时，相当于前 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子的事件，10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；(1)要使，必须，即射击次数必须不小于次.(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4

22、个用户使用电话的概率.解：由二项分布得现用泊松定理近似计算，,故12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理计算)解：设x为发生事故的次数，则用泊松定理计算，13设x服从泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 条 件。解：由且 且 b 015 设x服从参数l = 1的指数分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概

23、率 。 解： 知 故 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 a ，b 。解：由 条 件 即 知 有 又 由 即 解 得 a = ，b = 17、设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数.解：不 能 因 为 当 时 ， j ( x ) = sin x 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 负 。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为： 试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确19

24、、在区间上任意投掷一个质点，以x表示这个质点的坐标，这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.解：p 0 0 )解: 正 方 体 体 积 h = x 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 h 的 概 率 密 度 为 31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， + )上 变 化 时 ， y 在 ( ， + ) 上 变 化 ， 于 是 h 的 概

25、 率 密 度 为 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 n(m , s2)， 并 规 定 | x m | m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解：p | x m | m = 0.95，此式等价于 pmm x m + m = 0.9因 为 x 服 从 n(m , s2 )， 故 pmm x m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取