应用数理统计吴翊李永乐假设检验课后作业参考答案

1、第三章 假设检验课后作业参考答案某电器元件平均电阻值一直保持 ，今测得采用新工艺生产 36 个元件的平均电阻值为 假设在正常条件下， 电阻值服从正态分布， 而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。 已知改变 工艺前的标准差为 ，问新工艺对产品的电阻值是否有显着影响 ( 0.01)解： (1)提出假设 H0 :2.64，H1 :2.64(2)构造统计量 uX 0 2.61 2.6430 / n0.06 / 6(3)否定域 V uuuuu21212(4)给定显着性水平0.01时，临界值 u2.575，u2.575122(5) u u ，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显着性影响。2100(

2、小时)的正态分布，一种元件 ,要求其使用寿命不低于 1000(小时) ,现在从一批这种元件中随机抽取25 件,测 得其寿命平均值为 950(小时)。已知这种元件寿命服从标准差 试在显着水平下确定这批元件是否合格。解：提出假设： H0 : 1000, H1 : 1000构造统计量：此问题情形属于 u检验，故用统计量：u=0n此题中：x 9500 100 n=250 1000代入上式得：950-1000u=100 252.5拒绝域：V= u u1本题中： 0.05 u0.95 1.64 即，u u0.95拒绝原假设 H0240 kg /cm2 。现从一认为在置信水平 0.05下这批元件不合格。某厂

3、生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布 N , 2 ，其中批这种钢索的容量为 9 的一个子样测得断裂强度平均值为 X ，与以往正常生产时的 相比，X 较 大 20( kg / cm2 ) 。设总体方差不变，问在0.01 下能否认为这批钢索质量显着提高解：(1)提出假设 H0 :0， H1 :0(2)构造统计量 uX 0 20 1.50 / n 40/3(3)否定域 V uu1(4)给定显着性水平0.01时，临界值 u12.33(5) u u1 ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显着提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%)：设测定值服从正态分布，问在0.01下能否接受假设，

4、这批矿砂的镍含量为提出假设： H0 : 1 0构造统计量：本题属于3.25H1 : 1 02未知的情形，可用 t 检验，即取检验统计量为：本题中，x 3.252, S=0.0117, n=5 代入上式得：3.252-3.250.0117 5 10.3419否定域为：V= tt (n 1)12本题中，0.01,t0.995(4) 4.6041解：Qt t12接受 H 0 ,认为这批矿砂的镍含量为 3.25。确定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值 X 0.452%, S 0.035%,(i)H0 :0.5%H1 :0.5%(ii) H0 :0.04%H1 :0.0.4%(i)构造统计量：本文中

5、未知，可用 t检验t=X0S n 1本题中，X0.452%S=0.035%设总体为正态分布 N(2), 试在水平 5%检验假设：。取检验统计量为代入上式得：-4.11430.452%-0.5% t=0.035% 10-1拒绝域为：V=t t 1- (n 1)本题中，0.05 n=10t0.95(9) 1.8331 t 4.1143拒绝H0(ii )构造统计量： 未知，可选择统计量2 nS220本题中， S 0.035% n=10 0 0.04%代入上式得：10 (0.035%)2 7.656320.04%)2否定域为：V=12 (n 1)本题中，21Q2 接受H0(n 1)12 (n 1)20

6、2.95(9) 16.919使用 A(电学法 )与 B(混合法 )两种方法来研究冰的潜热， 样品都是 0.72oC 的冰块， 据是每克冰从 0.72oC变成 0oC水的过程中吸收的热量 (卡/克)；列数方法 A：方法 B：，H 0 : 两种方法的总体假设每种方法测得的数据都服从正态分布，且他们的方差相等。检验均值相等。 (0.05)解：S12113 13 Xi13 i 1 i1 13Xi13 i 1 i80.0208,Y2X 5.4(1)提出假设 H 0 :(2)构造统计量 t8Yii179.978810 4 ,S22188iYi8.610 41 2， H1 : 1 2n1n2 n1 n2 2

7、n1 n2n1S1 n2S23.98(3)否定域V t t n12n2t t1n1n2 2 t t1n1 n2 2(4)给定显着性水平0.05时，临界值tn1 n2 212t0.975 19 2.0930(5) t tn1 n2122 ，样本点在否定域内，故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不 相等。今有两台机床加工同一种零件， 分别取 6 个及 9 个零件侧其口径， 数据记为 X 1,X , X 6 及 Y1,Y2, Y9 ，计算得6 6 9 9 22X i 204.6, X i2 6978.93, Yi 307.8, Yi 2 15280.173i 1 i 1 i 1 i 1 假设零件的口

8、径服从正态分布，给定显着性水平0.05 ，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显着性差异 解：nS121 X i2ni120.345,S22nn Yi 212Y 0.357（1）提出假设 H0 :2， H :21（2）构造统计量n1n2 1S12n2 n11S221.031（3）否定域n11,n2 1F Fn1121,n2 1Fn1 1,n2 112（4）给定显着性水平 F1n121,n2 10.05时，F0.975 5,8临界值4.82F n112件口径的方差无显着性影响。(5)1,n2 1 ，样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中S

9、iO2的含量，得如下结果重量法： n=5 次测量， X 20.5%,S10.206%比色法： n=5 次测量， Y 21.3%,S20.358%假设两种分析法结果都服从正态分布，问（i ）两种分析方法的精度 （ ）是否相同ii ）两种分析方法的 均值（ ）是否相同（ 0.01）解：（i）提出原假设： H0 : 1 2 H1 : 1 2 对此可采用统计量n1(n2 1)S12F= 2n2(n1 1)S22在 H0 下， F: F( n1 1， n2 1)我们可取否定域为V=FF (n1 1，n2 1)12此时 P( V H0)= 本题中， n1 5, n1 5,0.01x 20.5%,y 21.

10、3%,S1=0.206%S1=0.358%代入上式得：22 n1(n2 1)S12 5 (5 1) (0.206%)2 F= 2 n2(n1 1)S22 5 (5 1) (0.358%)21F0.00(5 5， 5) =14.94 0.0669F0.99(5 5， 5) =14.94由于 F0.00(5 5， 5)F=7频数81617106210某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表：试问这个分布能看作为泊松分布吗 （ =0.05 ）解：检验问题为：H0 :P(x k)ke参数为k!已知 的最大似然估计6016 L 6* 610 7* 600 L1*60P10220e 2

11、P20!21e 20.13532*P31!222e22 0.2707P42!23e22* e0.2707P53!24e2P64!5225e 2P75!26e26!P8k (ni2 npi)i 1npi21.5* e 20.20302*e230.09024*e2150.03614 * e 2 0.012045(8 60*0.1353) 260*0.1353(16 60*0.2707) 260*0.2707(1 60*0.0120) 260*0 .012020.9(55)=11.071= 0.6145 由于 12（ k-1） =Q 2 12（k-1 ）接受 H 0 ,即分布可以看作为泊松分布。检查

12、产品质量时，每次抽取 10 个来检查，共抽取 100 次，记录每 10 个产品中的次品数如 表：次品数012345610频数35401851100试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数 X 是否服从二项分布 (0.1)解：提出假设 H0：P X kCnk pn k 1P0PX0100.910 0.3487P1PX1C1100.110.990.3874P2PX2C1200.120.980.1937P3PX3C1300.130.970.0574P4PX4C1400.140.960.0112P5PX5C1500.150.950.0015P6PX6C1600.160.940.0001参

13、数 p 的极大似然估计为：0 35 1 40 10 0 /1000 0.1从一批滚珠中随机抽取了50 个，测得他们的直径为(单位：mm)P7P8P9 P1002k2ni npi5.0734i1npi21k102.9 610.645, 12 k 122 ，故在置性水平0.1下接受 H 0 ，认为次品数服从二项分布。是否可认为这批滚珠直径服从正态分布 ( 0.05)解：设X为滚球的直径，其分布函数为 F(x),则检验问题为xH0 :F(x) (x )在 H0成立的条件下，参数 ， 2的最大似然估计为 =15.078， 2 0.1833p1(14.6-15.078 )( 0.4282 )(-1.11

14、63)0.1321p2(14.8 15.078)( 0.4282 )(-1.1163)(-0.6492)(-1.1163)0.1260p3(15.1 15.078)( 0.4282 )(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)0.2624p4(15.4 15.078)( 0.4282 )(-0.6492)(0.7520)(0.0514)0.2535p51 p1 p2 p3 p40.226021-( k-m-1 ) = 02.9(5 2)=5.991Q212-( k-m-1 )=5.991接受 H 0 ,认为滚珠直径服从正态分布。表 3-13i(ai 1,ai )nipinpi(ni

15、npi )2 npi1(0,62,53,134,145, )12调查 339 名 50 岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表：吸烟不吸烟患慢性支气管炎431356未患慢性支气管炎162121283205134339患病率21试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同 (0.01)解： H0 :吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同H1 :吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同 对每个对象考察两个指标， X是否吸烟， Y是否患病 X 的取值：吸烟，不吸烟； Y 的取值：患病，不患病 要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是一个r=s=2 的二元列联表解：设X为年龄Y为疗

16、效X1儿童显著X2Y2X3 老年 般 Y3 较差成年H0： p ijpi p j i=1,2,3本题选择的统计量为j=1,2,3即X与 Y独立i1j1nij n pipjnijninjpi p jni1j1ni n jrn(i12nij1 ni n j 1)n1143,n12 13, n21 162,n22 121, n1. 56, n.1 205,n2. 283,n.2 13422n11n22 n12 n21n 7.469n1.n.1n2.n.2对于0.01，查表 21 102.99 1 6.635 2 ，所以拒绝 H 0 ，认为吸烟者的慢性支气管炎病患病率较高。列为某种药治疗感冒效果的 3

17、*3 列联表。年龄疗效儿童成年老年显着583832128一般284445117较差2318145510910091300试问疗效与年龄是否有关 ( 0.05)代入数据得：r2n(i12ni2j1)=300(j 1 ni n j582+109*128 100*12822232182+382322282442109*55100*55452+ + + + 91*128 109*117 100*117 91*117142+ -1)91*55= 13.586212- (r 1)(s 1)02.95(4) 9.488Q 212- (r 1)(s 1)02.95 (4)拒绝 H 0 ,认为疗效与年龄有关。自

18、动机床加工轴，从成品中抽取 11 根，并测得它们直径(单位： mm )如下：试检验这批零件的直径是否服从正态分布 (0.05,用W检验 )解： 为了便于计算，列表如下：这里 n=11。表 3-16kX(k)X(n 1 k )X (n 1 k) X(k)ak(W)1234560H0 :总体服从正态分布H1 :总体不服从正态分布将观察值按非降次序排列成：X (1) X(2) L X(n) 本题采用的统计量为： n2ak(W) X(n+1-k)X(k)W=k=1n2(X(k) X)2 k111(X(k)i1X)2 0.3821X 10.52645ak(W)X(12 k) X(k) i=1=0.560

19、1*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1 =0.6130所以0.61302W= 0.98340.3821W0.05 0.85QW W0.05 接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。用 D Agostino D 检验法检验例。解： H 0 :维尼纶纤度服从正态分布 H1 :维尼纶纤度不服从正态分布为了便于计算，统计量D 的分子可以换成与其相等的形式：101定义统计量：XkD k 1nn 1 k X 101 k 1 257.345 0.466123.18Xk对于给定的显着性水平0.01，查表得DD0.995 1.59, D122

20、D0.0053.57 ,由于 D2D ,故接受 H 0 ，认为维尼纶12纤度服从正态分布.18 用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下：甲(小时)： 1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800乙(小时)： 1580 1600 1640 1640 1700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显着差异 ( 0.05)解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。 设两个总体的分布函数分别为 F1(x)与F2 (x), 它们都是连续函数，但均为未知。 我们要检验的原假设为：H 0 :F1(x)

21、F2(x)表 3-18序号123456789101112数据158016001610164016401650168017001700172017501800这里 1700 两组都有，排在第 8，第 9 位置上，它的秩取平均数( 8+9)/2= 这里n1 7 n2 5,T 取T2 ,即T=T 2 1 2 4 5 8.5 20.5从附表 13查得 T(1) T(01.0)5 22,T(2) T(02.0)5 43Q T0求未知参数 的极大似然估计值解：1 12 1X i (340 430 L 1650)=1416.67 12 i=112X (i )按公式F0(X(i); ) 1 e 1416.67

22、计算X(i)点的分布函数值，在列表计算 di值。X(i)niF0(X (i); )Fn(X(i)Fn(X(i 1)F0(X (i); )Fn( X(i)Fn(X (i 1) )F0 (X (i) ; )di3401043015601920113801152011660117701210012320123501265011.65由表可知 Sn 2.2108,给定显著水平0.10，查附表 9得S12,0.10QSn S12,0.10拒绝H 0 ,既不认为故障时间服从指数分布。由 10 台电机组成的机组进行工作， 在 2000 小时中有 5 台发生故障， 其故障发生的时间为： 1350 965 42

23、7 1753 665试问这些电机在 2000 小时前发生的故障时间 T 是否服从平均寿命为 1500 小时的指数分布(0.1)解： H 0 :故障时间服从指数分布 H1 :故障时间不服从指数分布求未知参数 ?的极大似然估计值为Xi1032i11032XiF0 X i计算 X i 点的分布函数值，再计算 di ，计算过程见下表：XiniF0 X i , ?i1 ni nF0 X i , ? i 1 ni F0 X i , ? ndi42710665196511350117501合计由表知 Sn* 1.134 ，在给定的置性水平0.1下，查表得 Sn*S5*,0.1 1.23 Sn* ，故接受 H

24、0 ，认为服从平均寿命为 1500 小时的指数分布考察某台仪器的无故障工作时间 12 次，的数据如下：28 42 54 92 138 159 169 181 210 234 236 265 试问无故障工作时间是否服从指数分布 (0.1)解：H 0 :无故障工作时间服从指数分布H1 :无故障工作时间不服从指数分布12求未知参数 ?的极大似然估计值为：12 i 1 Xi150.667XiF0 X ie 150.667计算 X i 点的分布函数值，再计算 di ，计算过程见下表：XiniF0 X i , ?i1 ni nF0 X i , ? i 1 ni F0 X i , ? ndi28104215

25、4192113811591169118112101234123612651合计由表知 Sn* 1.891，在给定的置性水平0.1下，查表得 Sn*S1*2,0.1 1.65 Sn* ，故拒绝 H0 ，认为无故障工作时间不服从指数分布对 20 台电子设备进行3000 小时的寿命试验，共发生 2 次故障，故障时间为：340 430 560 9201380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650试问在显着性水平0.10下，故障时间是否服从指数分布解：H0 :故障时间服从指数分布H1 : 故障时间不服从指数分布求未知参数 的极大似然估计值：1 1212 i 1xi1500

26、Xi1500F0 X i计算 X i 点的分布函数值，再计算 di ，计算过程见下表：XiniF0 X i , ?i1 ni nF0 X i , ? i 1 ni F0 X i , ? ndi3401043015601920113801152011660117701210012320123501265015合计Sn* 1.9319,Sn* 1.65 Sn* ，故在0.10下，拒绝 H 0 ，认为故障时间不服从指数分布。甲乙两位工人在同一台机床上加工相同规格的主轴，从两人加工的主轴中分别随机的抽取7 个，然后测量它们的外径 （单位： mm） ，的数据如下：试用柯尔莫哥洛夫检验法和秩和检验法分别检验这两位工人加工的主轴外径是否服从相同的分布 (0.20)解：(1)柯尔莫哥洛夫检验法H0 :两位工人加工的主轴外径服从相同的分布H1 :两位