高等数学教学教案§9. 1 多元函数的基本概念 §9. 2 偏导数

1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761179. 1 多元函数的基本概念9. 2 偏 导 数授课次序53教 学 基 本 指 标教学课题9. 1 多元函数的基本概念9. 2 偏 导 数教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点多元函数、极限、偏导数的概念教学难点多元函数的极限、偏导数的计算参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学开集：open set；闭集：closed set ；内点：inner point；孤立点：isolated point；邻域：neighborho

2、od ；函数：function；定义域：domain of definition；值域：range of function； 极限：limit；极限值：limit value；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；课堂教学目标1 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3 理解多元函数偏导数的概念教学过程1平面点集（15min）；2多元函数的概念及二元函数的几何意义（15min）；3二元函数极限和连续的概念（15min）；4多元函数偏导数的概念（25min）5偏导数的计算（20

3、min）教 学 基 本 内 容第九章 多元函数微分法及其应用9. 1 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1平面点集 由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p与有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)与平面上的点p视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组(x, y)的全体, 即r2=rr=(x, y)|x, yr就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质p的点的集合, 称为平面点集, 记作e=(x, y)| (x, y)具有性质p. 例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

4、c=(x, y)| x2+y2r2. 如果我们以点p表示(x, y), 以|op|表示点p到原点o的距离, 那么集合c可表成 c=p| |op|0为半径的圆的内部的点p (x, y)的全体. 点p0的去心d邻域, 记作, 即 . 注: 如果不需要强调邻域的半径d, 则用u (p0)表示点p0的某个邻域, 点p0的去心邻域记作. 点与点集之间的关系: 任意一点pr2与任意一个点集er2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点p的某一邻域u(p), 使得u(p)e, 则称p为e的内点; (2)外点: 如果存在点p的某个邻域u(p), 使得u(p)e=, 则称p为e的外点; (3)边

5、界点: 如果点p的任一邻域内既有属于e的点, 也有不属于e的点, 则称p点为e的边点. e的边界点的全体, 称为e的边界, 记作e. e的内点必属于e; e的外点必定不属于e; 而e的边界点可能属于e, 也可能不属于e . 聚点: 如果对于任意给定的d0, 点p的去心邻域内总有e中的点, 则称p是e的聚点. 由聚点的定义可知, 点集e的聚点p本身, 可以属于e, 也可能不属于e . 例如, 设平面点集 e=(x, y)|1x2+y22. 满足1x2+y22的一切点(x, y)都是e的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是e的边界点, 它们都不属于e; 满足x2+y2=2的一切点(x

6、, y)也是e的边界点, 它们都属于e; 点集e以及它的界边e上的一切点都是e的聚点. 开集: 如果点集e 的点都是内点, 则称e为开集. 闭集: 如果点集的余集e c为开集, 则称e为闭集. 开集的例子: e=(x, y)|1x2+y22. 闭集的例子: e=(x, y)|1x2+y22. 集合(x, y)|1x2+y22既非开集, 也非闭集. 连通性: 如果点集e内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于e, 则称e为连通集. 区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如e=(x, y)|1x2+y21是无界开区域; 集合(x, y)| x+y1是无界闭区域. 2.

7、 n维空间 设n为取定的一个自然数, 我们用rn表示n元有序数组(x1, x2, , xn)的全体所构成的集合, 即 rn=rr r=(x1, x2, , xn)| xir, i=1, 2, , n. rn中的元素(x1, x2, , xn)有时也用单个字母x来表示, 即x=(x1, x2, , xn). 当所有的xi (i=1, 2, , n)都为零时, 称这样的元素为rn中的零元, 记为0或o . 在解析几何中, 通过直角坐标, r2(或r3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也称为rn中的一个点或一个n维向量, xi称

8、为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量. 特别地, rn中的零元0称为rn中的坐标原点或n维零向量. 为了在集合rn中的元素之间建立联系, 在rn中定义线性运算如下: 设x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)为rn中任意两个元素, lr, 规定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, , lxn). 这样定义了线性运算的集合rn称为n维空间. rn中点x=(x1, x2, , xn)和点 y=(y1, y2, , yn)间的距离, 记作r(x, y), 规定 . 显然, n=1, 2, 3时, 上术规定与数轴

9、上、直角坐标系平面及空间中两点间的距离一致. rn中元素x=(x1, x2, , xn)与零元0之间的距离r(x, 0)记作|x|(在r1、r2、r3中, 通常将|x|记作|x|), 即 . 采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得 . 在n维空间rn中定义了距离以后, 就可以定义rn中变元的极限: 设x=(x1, x2, , xn), a=(a1, a2, , an)rn. 如果 |x-a|0, 则称变元x在rn中趋于固定元a, 记作xa . 显然, xa x1a1, x2a2, , xnan . 在rn中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到

10、n(n3)维空间中来, 例如, 设a=(a1, a2, , an)rn, d是某一正数, 则n维空间内的点集 u(a, d)=x| x rn, r(x, a)0, h0内取定一对值(r , h)时, v对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p、体积v和绝对温度t之间具有关系,其中r为常数. 这里, 当v、t在集合(v ,t) | v0, t0内取定一对值(v, t)时, p的对应值就随之确定.例3 设r 是电阻r1、r2并联后总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系.这里, 当r1、r2在集合( r1, r2) | r10, r20内取定一对值( r1 , r2)时, r的对应值就

11、随之确定. 定义1 设d是r2的一个非空子集, 称映射f : dr为定义在d上的二元函数, 通常记为z=f(x, y), (x, y)d (或z=f(p), pd)其中点集d称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量. 上述定义中, 与自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(d)=z| z=f(x, y), (x, y)d. 函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 类似地可定义三元函数u=f(x, y, z), (x, y, z)d以及三元以上的

12、函数. 一般地, 把定义1中的平面点集d换成n维空间rn内的点集d, 映射f : dr就称为定义在d上的n元函数, 通常记为 u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)d, 或简记为 u=f(x), x=(x1, x2, , xn)d, 也可记为 u=f(p), p(x1, x2, , xn)d . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如, 函数z=ln(x+y)的定义域为(x, y)|x+y0(无界开区域);

13、 函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为(x, y)|x2+y21(有界闭区域). 二元函数的图形: 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)d称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面. 例如 z=ax+by+c是一张平面, 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面. 三. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在p(x, y)p0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数a, 则称a是函数f(x, y)当(x, y)(x0, y0)时的极限. 定义2 设二元函数f(p)=f(x, y)的定义域为d,

14、p0(x0, y0)是d的聚点. 如果存在常数a, 对于任意给定的正数e总存在正数d, 使得当时, 都有 |f(p)-a|=|f(x, y)-a|0, 使得对一切pd, 有|f(p)|m; 且存在p1、p 2d, 使得 f(p1)=maxf(p)|pd, f(p2)=minf(p)|pd, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域d上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 9. 2 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏

15、导数. 定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量dx时, 相应地函数有增量f(x0+dx, y0)-f(x0, y0). 如果极限 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作, , , 或.例如. 类似地, 称为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数, 记作 , , , 或fy(x0, y0). 偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域d内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数,

16、记作, , , 或.偏导函数的定义式: . 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 , , zy , 或. 偏导函数的定义式: . 求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数. （ 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？） , . , . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 例

17、2 求z=x2sin 2y的偏导数.例3 设, 求证: . 例4 求的偏导数. 例5 已知理想气体的状态方程为pv=rt(r为常数), 求证: . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义: fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截线z=f(x, y0)在点m0处切线tx对x轴的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截线z=f(x0, y)在点m0处切线ty对y轴的斜率. 偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 二. 高阶偏导数 设函数z=f(x, y)在区域d内具有偏导数, , 那么在d内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)在区域d内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二