知识讲解_命题及其关系_基础

1、命题及其关系学习目标】1了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四 种命题的真假；3能熟练判断命题的真假性要点梳理】要点一、命题的概念. 其中判断为真的语句叫用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 真命题，判断为假的语句叫假命题 .x 2”，“2 不一定大要点诠释：1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如于 3” .2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题 . 祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如： 起立”、“ 是有理数吗？” 、“今天天气真好！ ”等.3. 语句能否

2、确定真假是判断其是否是命题的关键. 一个命题要么是真， 要么是假， 不能 既真又假，模棱两可 . 命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性， 这类似于集合中元素的确定性要点二、命题的结构命题可以改写成“若 p，则q ”的形式，或“如果 p，那么q ”的形式.其中p是命题 的条件，q是命题的结论.要点诠释：1. 一般地，命题“若 p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式 .要点三、四种命题原命题：“若 p ，则 q ”；逆命题：“若 q ，则 p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；

3、否命题：“若非p，则非q”，或“若 p，则 q ”；实质是将原命题的条件和结论两 者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p ”，或“若 q，则 p ”；实质是将原命题的条件和结论 两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题 .要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系逆命题若q则p，否逆否命题若q则p四种命题之间的真值关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假要点诠释：(1) 互为逆否命题的两个命题同真同假；(2) 互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然

4、联系【典型例题】类型一：命题的概念例1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题(1) 末位是0的整数能被5整除；(2) 平行四边形的对角线相等且互相平分；(3) 两直线平行，则斜率相等；(4) A ABC 中，若/ A= / B，贝U sinA=sinB ；(5) 余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。【解析】(1) 是命题，真命题；(2) 是命题，假命题；(3) 是命题，假命题；(4) 是命题，真命题；(5) 不是命题这是一个疑问句，没有做出判断 【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行举一反三：【变式1】判断下列

5、语句是否为命题？若是，判断其真假X 1 ；(2) 当 X 0 时，X 1 ；(3) 你是男生吗？(4) 求证：是无理数.【答案】(1) 不是命题；由于无法确定变量 X的值，所以无法确定其真假.(2) 是命题；假命题.(3) 不是命题；这是一个疑问句，没有做出判断.(4) 不是命题；这是一个祈使句，没有做出判断.【变式2】下列语句中是命题的是()A. |x a| B. 0 N C.元素与集合D.真子集【答案】B【变式3】判断下列语句是否是命题 .(1) 这是一棵大树；1(2) sin30 =；22(3) x +10；(4) 梯形是平行四边形.【答案】(1) 不是，无法确定大”；(2)是；(3)是

6、；(4)是.类型二：命题的结构例2.指出下面命题的条件和结论 .(1) 对顶角相等；(2) 四边相等的四边形是菱形.【思路点拨】命题都是一定的条件下推出的一定的结果，所以据此确定哪是条件，哪是结论。【解析】(1)原命题写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等.条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.（2）原命题可写成： 如果一个四边形的四边相等， 则这个四边形是菱形 . 条件：一个四 边形的四边相等；结论：这个四边形是菱形 .【总结升华】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果P,那么q”的形式，其中p是条件，q是结论.举一反三：【变式】指出下列命题的条件 p 和结论 q.（1

7、）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.【答案】（1） 条件p :空间四边形为正四面体；结论 q:顶点在底面上的射影为底面的中心.（2）条件p:两直线a、b都和直线c平行；结论q：直线a和b平行.【高清课堂: 命题及其关系 394803 例 3】例3.将下列命题改写为“若 p，则q”的形式，并判断其真假（ 1 ）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ 2）对角线相等的平面四边形是矩形 .【解析】（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行” ，真命题 .（ 2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边

8、形是矩形”，假命题 .【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式，但适当的改写后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论举一反三: “【变式1】把命题“ 6是12和24的公约数”写成若 p则q的形式. 【答案】若一个数等于 6，则这个数是 12和24的公约数 .【变式2】将下列命题改写成“若 p则q”的形式，并判断真假（ 1 ）偶数能被 2 整除；（ 2）奇函数的图象关于原点对称；（ 3）同弧所对的圆周角不相等 .【答案】（ 1 ）若一个数是偶数，则它能被 2 整除；真命题 .（ 2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称；真命题 .（ 3）若两个角为同

9、弧所对的圆周角，则它们不相等；假命题 . 类型三:命题的四种形式【高清课堂: 命题及其关系 394803 例 5】例 4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.（1）若 ab 0 ，则 a2 b2 0；（2）若 x 1，则 x2 3x 2 0 ；（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等 思路点拨】由原命题写出逆命题，否命题和逆否命题时注意规律： 交换原命题的条件和结论 . 所得命题就是逆命题 . 同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题 . 交换原命题的条件和结论并且同时否定 . 所得命题就是逆否命题 【解析】（1）原命题：若 ab0 ，则 a2b2

10、0；假命题逆命题：若 a22b2 0 ，则ab0；真命题否命题：若 ab0 ，则 a2b20；真命题逆否命题：若a2 b20 ，则 ab0.假命题（2）原命题：若 x1 ，则2 x3x 20；真命题逆命题：若 x23x20，则 x1；假命题否命题：若 x1 ，则2 x3x 20；假命题逆否命题：若x2 3x20 ，则x 1.真命题（3）原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；真命题 逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；真命题 否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等；真命题 逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有

11、两条边相等 . 真命题 【总结升华】 一般地，先将命题改写成“若卜”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存 在大前提，写其它命题时应注意保留 . 互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假， 因此在判定真假时， 只需判定二者中的一个举一反三：【变式1】原命题为 若an一01 an , nN*，则an为递减数列”关于其逆命题，否2命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A .真、真、真B 假、假、真C.真、真、假D 假、假、假【答案】.0n勺口 an? an+1b，则a + cb + c;矩形的对角线互相垂直.其中 真命题共有（）A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个4. 下

12、列语句中，不能成为命题的是（）A. 512B . x0C. 若 a丄 b,贝U a b= 0D. 三角形的三条中线交于一点5. （2015山东文）设m R,命题“若m 0,则方程x +x m=0有实根”的逆否命题是（）2A. 若方程x +x m=0有实根，贝U m 0B. 若方程x +x m=0有实根，贝U me 0-.若方程x2+x m=0没有实根，则 m0二. 若方程x2+x m=0没有实根，则 me 06. （2016 嘉兴一模）已知命题 p :若av 1，则a2v 1,下列说法正确的是（）A .命题p是真命题B .命题p的逆命题是真命题C. 命题p的否命题是：若av 1，贝U a21D

13、 .命题p的逆否命题是：若 a2 1,贝V av 1二、填空题7. 命题 一元二次方程ax2 + bx+ c = 0有两个不相等的实数根 ”，条件： 结论.是命题.8. （2016春 枣阳市校级期中）有下列命题： 终边相同的角的同名三角函数的值相等； 终边不同的角的同名三角函数的值不等； 若sina 0,则a是第一，二象限的角； 若 sin a =sin B,则 a =2k n + 3, k Z; 已知a为第二象限的角，则一为第一象限的角。其中正确命题的序号有 。29. 命题 若x= 3, y= 5，则x+ y= 8”的逆命题是 ;否命题是，逆否命题是.10. 原命题：在空间中，若四点不共面，

14、则这四个点中任何三点都不共线.其逆命题为 (真、假).三、解答题11. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除.12. 把下列命题写成 若p，则q”的形式，并判断真假.(1) 当 acbc 时，ab;(2) 已知x、y为正整数，当 y= x+ 1时，y= 3, x= 2;1(3) 当m时，mx2 x+ 1 = 0无实根；4当 abc = 0 时，a = 0 或 b= 0 或 c= 0;(5)当 x2 2x 3= 0 时，x= 3 或 x= 1.13 .命题 若m0，则2x2 + 3x m= 0有实根是真命题吗

15、？证明你的结论.14. 写出下列命题的否定和否命题.(1) 正n(n 3边形的n个内角全相等；(2) 0的平方等于0.15. 设原命题为 已知a、b是实数，若a+ b是无理数，则a、b都是无理数”写出它的 逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假.【答案与解析】1. 【答案】 C【解析】是命题，不是命题.地球上的四大洋是不完整的句子.2. 【答案】A【解析】由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题.3. 【答案】B【解析】只有中的命题是真命题.4. 【答案】B【解析】x0是开语句，故不是命题.5. 【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选

16、D.6. 【答案】 B【解析】已知命题p：若av 1,则a2 1，命题p为假命题, A不正确；命题p的逆命题是：若 a2v 1则av 1为真命题， B正确；命题p的否命题是：若 a 1,贝U a2 1 , C不正确；命题p的逆否命题是：若 a2 1,则a 1 , D不正确。 故选：B。7. 【答案】一个方程是一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0它有两个不相等的实数根【解析】题意即 对任意一个一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0，它都有两个不相等的实数根”8. 【答案】【解析】三角函数的定义得，正确；与和终边不同，但cos cos()，故错误；6 6 6 6若，则sin a,但a不是

17、第一，二象限的角，故错误；2人5令,，贝U sin a =s in B,但a 2k n + 3, k Z,故错误；6 6147为第二象限的角，但为第三象限的角，故错误。6 2 6故答案为9. 【答案】逆命题：若x+ y= 8，则x= 3, y= 5；否命题：若x3或y5贝U x+ y8逆否命题：x+ y8贝U或yM5.10. 【答案】假【解析】女口：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面.11. 【解析】(1) 逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真； 否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真； 逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两

18、圆不外切，真.(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假； 否命题：不是奇数的数能被 2整除，假； 逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真.12. 【解析】(1)若acbc,则ab，假命题.已知x、y为正整数，若y= x+ 1,贝U y= 3且x= 2，假命题.1若m ,贝U mx2 x+ 1 = 0无实根，真命题.4若abc = 0，贝U a = 0或b= 0或c= 0,真命题.若x2 2x 3= 0，贝V x= 3或x= 1,真命题.13. 【解析】是真命题./ m0,= 9 + 8m0,二方程 2x2 + 3x m= 0 有实根，故原命题 若 m0，贝U 2x2 + 3x m= 0有实根是真命题.14