蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真论文VIP

1、摘要 摘要摘要 蜂窝夹层结构以其优秀的强度比，刚度比和较好的隔热隔震，耐冲击性能， 被广泛应用于多个领域，如：航空航天，航海以及高速铁路等。对蜂窝夹层的分 析通常采用有限元分析进行，蜂窝夹层结构通常有蜂窝芯体与面板组成，分析时 由于蜂窝芯体结构复杂，有限元模模型不易建立，于是为了减少计算量、提高分 析效率就有了蜂窝芯体等效模型。 本文所做的工作是利用有限元软件以参数化建模方式建立蜂窝的实体模型和 等效模型，在验证蜂窝等效模量的精度同时改变蜂窝的实体模型和等效模型的宏 观尺寸，观察蜂窝芯体的宏观尺寸对蜂窝等效模量精度的影响，最后通过总结得 到相应的结论。 关键词：蜂窝夹层结构关键词：蜂窝夹层结构

2、 有限元有限元 蜂窝等效模量蜂窝等效模量 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真2 ABSTRACT Honeycomb core sandwith structrue is wildly useded in many field, such as space, airplane designing and high-speed railway consduction. Generally,Honeycomb core sandwith structrue are engineered with Finite-Element method,but as we known Honeycomb cor

3、e sandwith structrue is complex whitch is consited of honeycomb core and two panels,therefore,its difficult to mldel the honeycomb core structrue with Finite- Element method.In order to reduce the work in caculating and improve the efficenc during engineering,equivalent model theory came out. What h

4、ave done in this paper are modeling the Honeyconb core sandwith structrue and the equivalent model with APDL(Ansys Programing Design Language),then analysis the changing macroscopic dimensions of Honeyconb core sandwith structrue how to impact the equivalent precision of equivalent models. Keywords:

5、 Honeycomb core sandwith structure Finite-Element method Equivalent model 目录1 目录目录 第一章第一章 绪论绪论.3 1.1 蜂窝夹层材料的简介.3 1.2 蜂窝夹层结构的研究现状.4 1.3 本文的所做的工作.6 本章小结.6 第二章第二章 蜂窝等效模量的推导与分析蜂窝等效模量的推导与分析.7 2.1 概述.7 2.2 共性面性能能分析.8 2.3 富明慧修正式 .12 2.4 综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式.15 2.5 异性面等效模量分析.19 2.6 对于蜂窝夹芯板的等效处理方法.23 本章小结.24

6、 第三章第三章 建模与分析建模与分析.26 3.1 有限元与 ANSYS简介.26 3.2 通用有限元程序 ANSYS.27 3.3 有限元建模.28 本章小结.31 第四章第四章 误差分析误差分析.32 4.1 约束条件.32 4.2 等效误差.34 本章结论.42 第五章第五章 全文总结全文总结.45 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真2 第六章第六章 结束语结束语.47 参考文献参考文献.49 第一章 绪论3 第一章第一章 绪论绪论 1.11.1 蜂窝夹层材料的简介蜂窝夹层材料的简介 铝蜂窝夹层板由两层薄而强的面板材料中间夹一层厚而轻的铝蜂窝芯组成。 面板一般采用铝板制作，它是夹层结构的

7、主要受力部分。蜂窝在夹层结构中起连 接和支撑面板的作用。铝蜂窝夹层板结构由上、下为面板，中间夹六角形、十字 形、长方形、波条形、双曲形或三角形等孔格的蜂窝状芯材，蜂窝通常选用 0.02 mm0.08 mm 厚的铝合金箔制造。面板厚度通常为 08 mm1 mm，面板与蜂窝 通过高分子胶粘剂粘接制成。 与普通铝板相比较，铝蜂窝夹层板具有以下特点和良好力学性能：(1)重量轻、 密度小。蜂窝铝板的密度约为 300 400，质量只占同体积普通铝 3 /kg m 3 /kg m 板的 1114；(2)强度高、刚性好。当蜂窝板承受弯曲载荷时，当上面板被 拉伸的同时，则下面板被压缩，通过蜂窝传递剪切应力。此外

8、，由于蜂窝板的高 度比面板厚度高出数倍，所以截面的惯性矩随之呈 4 次方增大，结构刚度高，具 有良好的稳定性和突出的抗压、抗弯能力；(3)抗冲击、减振性好。铝蜂窝夹层 板具有较好的韧性和弹性，铝蜂窝夹层板抗压强度极限为 407.6790.4 2 /kN m ，抗弯强度极限为 740.0788.0，抗压刚度为 2 /kN m 2 /kN m 2 /kN m 5.07.5 ，抗弯刚度为 0.400.66。夹层剪切力/kN mm/kN mm 2 /kN m 2 /kN m 纵向为 3.6 7.1，横向为 4.65.9 。拉伸剥离强度极限为 265kNkNkNkN 417 。自由落球撞击试样凹痕直径为

9、 19mm21mm，凹痕深度为 2 /kN m 2 /kN m 3.02mm 3.20 mm，均未发现凹痕处有裂纹。可见，铝蜂窝夹层板在承受外载荷 时，能吸收大部分能量，具有良好的减振效果。 因此，铝蜂窝夹层板在许多行业得到了大范围应用，尤其是在航空、航天以 及军工等行业的应用更为广泛。5 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真4 1.21.2 蜂窝夹层结构的研究现状蜂窝夹层结构的研究现状 蜂窝夹层结构的宏观结构及芯层细观结构性能的研究自 50 年代以来就得 到了充分的发展，其研究范围不断拓广，现已覆盖了夹层结构的理论分析、数值 计算，芯层的细观结构性能分析，实验方法等。在 60 年代前，研究工作

10、的重点 偏于蜂窝夹芯的等效、简化方面上，使得能够利用各种解析方法来分析各种几何 形状简单、规则的蜂窝夹层结构。同时发展了各种实验方法，得到大量实验结果。 在理论分析和数值计算模型简化简化方面，比较有代表性的是 Allen 模型。 AIlen 提出的简化模型将上下蒙皮与夹芯的作用单独区分开来，对于极薄的上下 蒙皮，假定其服从 Kirchhoff 假设，认为只能承受面内的应力，忽略其抵抗横向 切应力；而夹芯极软，仅能抵抗横向切应力，忽略其面内刚度和弯曲刚度。研究 夹芯面内力学性能的代表人物主要有 Aid EI.Sayed 等，他们于 1979 年指出，蜂 窝夹芯在载荷作用下，其杨氏模量和泊松比的等

11、效计算是由于蜂窝壁弯曲变形的 重要机理，同时分析了蜂窝壁屈曲和塑性特性。 七十年代以来，随着有限元等数值方法的发展，能够考虑在解析分析中不得 不被忽略的各种影响因素，如 Allen 模型虽然蜂窝芯层很软，但由于它相对于蒙 皮具有较大的厚度，忽略芯层的面内刚度和弯曲刚度必然导致一些不容忽视的误 差，为了克服这一矛盾，相继出现了一些考虑芯层面内刚度的蜂窝夹层结构分析 模型，并发展了一些有限元分析方法和有限元模型”，对于抗弯刚度，大部分的 学者认为它对于抗弯刚度的贡献主要在于一保持面板的间距，类似工字梁的腹板， 由于芯子的弹性模量较低略去其弯曲应力，保留它的抗剪刚度，将夹芯视为服从 剪切变形理论的正

12、交各向异性层，确定了蜂窝夹芯面内等效材料参数后，再进行 求解。在上世纪 80 年代，Gibson 提出胞元模型理论，他采用简化的线弹性 BernoulliEuler 梁模型，忽略胞壁在 X 和 Y 方向厚度不同，采用材料力学公式 推导出等蜂窝结构的二维等效弹性参数的解析式，称之为 Gibson 公式。 Gibson 公式具有解析形式，便于应用，但它仅考虑了蜂窝壁板的弯曲变形， 而未考虑壁板的伸缩变形。对于蜂窝夹层结构的蜂窝芯层而言，由于受蒙皮层的 约束，蜂窝壁板的伸缩变形的刚度并非小的可以忽略。1999 年，中山大学的富明 慧等人考虑了蜂窝壁板的伸缩变形对面内刚度的影响，对 Gibson 公式

13、进行了修 第一章 绪论5 正。1991 年，北京大学的王颖坚认为 Gibson 公式中的剪切模量的推导没有考虑 蜂窝胞元壁梁截面的弯矩作用，通过在壁粱截面附加弯矩，重新推导了蜂窝结构 面内等效剪切模量公式。2000 年，Kim 等人对比研究了三角形，正六边形及星形 夹芯的面内杨氏模量、剪切模量及其泊松比，面外压缩屈服强度、剪切屈服强度 以及芯子的弯曲刚度。2001 年，Onck 等人利用理论方法研究了正六边形蜂窝芯 子尺寸(长度，厚度)与杨氏模量的关系。 Gibson 公式中所介绍的蜂窝材料等效参数解析表达式在蜂窝夹层结构相对密 度 pxp 较小(0.1)的情况下，具有一定的精确度。但是在较大

14、的相对密度情况 下，Gibson 胞壁梁模型适用性缺乏客观的实验验证，可以设想，与胞壁相连的胞 棱或节点处的受力和变形具有与胞壁不同的特征，当相对密度较大时，胞壁厚度 和胞壁长度已可相比较，仅用梁模型来模拟蜂窝结构中胞体的弹性变形行为有所 欠缺。为此，Warren 和 Kraynik 根据蜂窝结构中胞元周期性重复排列的特点，对 其中的一个代表性胞元进行了分析，建立了简单应变情况下的宏观弹性本构方程， 并引入简化的梁模型柔性系数，得到了相应结构的宏观等效弹性参数近似解析解 (W-K 结果)。 2002 年，王飞等人在弹性范围内，根据均匀化理论并结合有限元方法推导出 适用于二维周期性结构的均匀化的

15、有限元格式(Homo FEM)，计算出不同相对密度 下的规则蜂窝结构的等效弹性模量和泊松比。 2003 年 1 月，Yang.D.U.，Lee.s.等人利用有限元方法分析了蜂窝胞孔不同 的几何参数对内凹蜂窝材料负泊松比的影响，并得到了泊松比大小与蜂窝结构肋 板长度和宽度的关系。 2004 年 6 月，梁森等人利用有限元数值模拟技术，通过对不同材料、不同尺 寸的正六边形蜂窝夹芯弹性参数进行数值模拟，给出了芳纶纸面内等效刚度和泊 松比随蜂窝夹芯几何参数变化关系，他仅考虑了蜂窝胞元厚度，长度，高度对等 效弹性系数的影响，未考虑孔壁夹角这一参数的影响。 2006 年 2 月，柯映林等人研究了考虑几何非

16、线性响应的蜂窝芯材面内等效弹 性模量，得到了与变形相关的蜂窝芯层面内等效弹性模量非线性增长关系。 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真6 2007 年，周祝林“等用能量法导了蜂窝夹芯面内等效弹性参数的下限与上限， 并与试验值进行了比较。3 1.31.3 本文的所做的工作本文的所做的工作 蜂窝夹芯结构目前已经被广泛应用于承力结构，甚至一些复杂结构，因 此对于蜂窝等效方法的研究方法很多，而将蜂窝芯体的面内模量等效成二维正交 各向异性材料已得到广泛的应用，蜂窝芯体面内等效模量也得到了广泛的研究， 其中就包括由理论推导得到的 Gibson 公式及其修正式；而蜂窝芯体面外等效模 量用等密度法、最小势能以及

17、最小余能原理得出。本文的工作主要是利用有限元 程序 Ansys 建立蜂窝芯体实际模型与等效模型，以有限元程序对等效模量的验证 结果为基础，分析蜂窝实体模型与等效模型随蜂窝芯体宏观尺寸的变化对等效误 差的影响，并根据所得的误差数据得等效误差的变化规律，以及本文所建模型存 在的问题。 本章小结本章小结 蜂窝夹层因其具有优秀的力学性能以及重量轻的特点被广泛应用诸多领 域，尤其是在航空，航天等行业应用最广。虽然蜂窝夹层结构有很多有点，但在 实际工程分析中有因为其结构复杂导致蜂窝芯体的力学分析不太方便，即使到了 近代有了计算机的帮助，有时因为蜂窝芯体的宏观尺寸过大导致计算效率极低， 也无法减少人们的工作

18、量。于是人们为了减少工作量提出了蜂窝芯体及蜂窝夹层 等效方法，其中较早时 Gibson 等将蜂窝芯体面内模量等效成正交各项异性材料， 芯体的等效模量由对单个蜂窝胞元进行推导得到， Gibson 等将蜂窝胞元的胞壁 看成 Bernoulli-Euler 梁模型从而推导出了等效模量的解析式，即 Gibson 公式。 但是 Gibson 公式只考虑了应力引起的 Bernoulli-Euler 梁的弯曲变形，于是后 来为了提 Gibson 公式的准确性，人们对 Gibson 公式进行了，得到了 Gibson 修 正式。本文利用有限元程序建立蜂窝芯体的实体模型和等效模型，并施加相应的 约束，验证等效模量

19、的等效精度，并改变蜂窝芯体的宏观尺寸，观察等效精度的 变化规律。 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析7 第二章第二章 蜂窝等效模量的推导与分析蜂窝等效模量的推导与分析 2.12.1 概述概述 蜂窝芯体等效弹性模量是一种重要的蜂窝夹层材料的力学性能参量，早期蜂 窝芯体的等效力学性能研究的代表人物主要有 Gisbon 等，Gisbon 采用简化的线 弹 Bernoulli.Euler 梁模型，推导出的蜂窝结构的等效弹性参数称为 Gibson 公 式。Gibson 公式及 Gibson 修正形式均采用单个蜂窝胞元模型，利用了蜂窝结构 的对称性来进行推导。由于 Gibson 公式通过单个蜂窝胞元来推导，

20、而忽略了实 际蜂窝芯体宏观尺寸宽度影响，Gibson 公式适用于无限宽的蜂窝芯体的等效，所 以在有限宽蜂窝芯体的等效时 Gibson 公式会产生一定的误差。 图图 2.12.1 六边边形蜂窝夹芯材料是最为常见的蜂窝芯体材料，如图所示，X-Y 平面称 为共性面，X-Z 和 Y-Z 平面称为异性面。六边边形蜂窝夹芯材料共面刚度和强度 是最低，共性面内的应力主要使孔壁产生弯曲变形；相比之下异面刚度和强度则 要大得多，因为它们需要孔壁的轴向伸长或压缩。当应力作用面在异面平面内或 平行于它们时,蜂窝材料表现为共面性能，当应力作用面在共性面内或平行于它 时,蜂窝材料表现异面性能。关于蜂窝芯材共异面模量求解

21、的研究 主要有能量法、 有限元法、实验法和均匀化理论。在能量方面 Keysey 给出了异面剪切模量的计 算公式；Gibson 导出了孔壁等厚的蜂窝芯力学参数的计算公式；考虑双壁厚的影 响,Burton 等修正了 Gibson 公式,得出了双壁厚蜂窝力学参数公式,但公式没考虑 孔壁伸缩和剪切变形富明慧加入了孔壁的伸缩变形,但没考虑剪切变形,而且计算 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真8 的蜂窝芯是单壁厚的。在有限元法上,计算了蜂窝特征单元的异面参数,Grediac 计算了窝特征单元的异面参数,对 Gibson 共面剪切模量进行了修正；Guo 利用二 维梁单元对 Gibson 公式进行了修正 Ch

22、unk 和 Papka 分析圆形聚碳酸酷蜂窝力学 性能时,采用了基于 Timoshenko 梁理论的梁单元来模拟；在实验方面,Nast 为等 边六边形蜂窝纸芯弹性模量设计了实验测试方法 ；Foo 等设计了 Nomex 蜂窝结 构的共异面弹性模量的测试方法,并利用壳单元进行了模拟,但模型尺寸大计算量 大。在均匀化理论方面 Shi 等利用该理论计算了蜂窝材料的性能参数,考虑蜂窝 深度和局部扭曲的影响,计算精度较高。 本章将将采用基于 Gibson 公式的能量法对六边形蜂窝芯体材料的异面性能和 共面性能进行分析。 2.22.2 共性面性能能分析共性面性能能分析 研究蜂窝结构，推导芯体的等效模量参数至

23、关重要，决定了等效模型的参数， 最终也影响了等效结果的精度。Gibson 提出了胞元材料(Cellular Material Theory CMT)理论，该理论一种是对蜂窝夹芯进行等效的有效的方法，该理论将 蜂窝芯等效为一均质的厚度不变的正交异性材料。下面胞元材料理论来分析胞元 和 l 不同角的共性面弹性模量。 图图 2.212.21 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析9 图图 2.222.22 图图 2.232.23 当蜂窝芯体材料在 X 或 Y 方向上承载而以线弹性方式变形，其孔壁会产生弯 曲。其力学性能可由 5 个模量来描述：弹性模量和，剪切模量，泊松比 x E y E xy G 、 。又

24、这五个量不完全独立，即,所以独立的模量个数为 4 个。 xy yx xyxyxy EE 当蜂窝芯体在 X 和 Y 方向承受压载时，如图(b)和(c)，蜂窝壁弯曲变形。弹性模 量和可由图 (b)和(c)所示的方法求得。平行于 X 方向的应力，引起 x E y E x x 蜂窝壁(长度为 )弯曲，取一个蜂窝壁为研究对象，把它当作一个长度为 ，宽度ll ，高度为，弹性模量为的梁。由 Y 方向的平衡可知 C=O。弯矩 M 为tb s E (2-1) sin 2 Pl M 而由 X 方向的平衡可得 (2-2) (sin ) x Phl 胞壁的弯曲变形为 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真10 (2-3)

25、 3 sin 12 x s Pl E I 其中 (2-4) 3 12 bt I 因而得到 X 方向的应变为 (2-5) 22 1 (sin )sinsin cos12cos x s hlbl lE I X 方向的弹性模量为 ，故得 1 xx s E E (2-6) 3 2 1 cos ( ) (sin )sin xx s Etl Elhl 同时 Y 轴方向的应变为 (2-7) 12 cos sin x hl 所以可得 XY 向的泊松比 xy (2-8) 2 12 1 cos (sin )sin l xy hl 在 Y 方向加载情况如图 (c)所示，作用在蜂窝壁上的力分解在图 (c)的底 部。由

26、力与力矩平衡可得， 0F cosWlh y 胞壁弯曲变形为 (2-9) 3cos 12 y s wl E I 故 Y 方向的应变为 (2-10) 4 2 coscos sin12(sin ) yy s dl hlE I hl 则 Y 方向的弹性模量为 (2-11) 3 3 2 sin ( ) cos yy s E thl Ell X 方向的应变为 (2-12) 21 sin cos y l 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析11 故 (2-13) 21 2 2 (sin )sin cos yx hl l 将，代入中得 x E y E xy yx xyxyxy EE (2-14) 3 1 ( )

27、sincos xyxyxys t EEE l ，中只求出其中三个，就能算出第四个值。 x E y E xy yx 图图 2.242.24 对于第四个独立常数即剪切模量，利用图进行计算。由于对称性，当蜂窝 xy G 受剪时，点 A、B、C 之间没有相对位移，剪切变形 U 完全取决于梁 BD 的弯曲和 D 点相对 B 点的扭转(扭转角为)。受力分析也如图所示。对 B 点的力矩进行求 和，可得到作用在 AB 和 BC 上的力矩： (2-15) 4 Fl M 梁的弯曲变形为 (2-16) 2 ( ) 32 s Fh E I 扭转角 (2-17) 24 s Fhl E I 因而 D 点相对于 B 点的剪

28、切变形 U 为 (2-18) 2 2 1 ( )(2) 23248 ss FhFh Uhhl E IE I 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真12 剪切应变为 (2-19) 2 2(2) sin24(sin ) s UFhhl hlE I hl 易得剪切应力 (2-20) 2cos F lb 所以剪切模量 (2-21) 3 2 ( /sin ) ( ) ( / ) (12 / )cos xys th l GE lh lh l 综上可得面内等效模量的 Gibson 公式为 (2-22) 3 2 cos ( ) (sin )sin xs tl EE lhl (2-23) 2 cos (sin )s

29、in l xy hl (2-24) 3 3 sin ( ) cos ys thl EE ll (2-25) 2 (sin )sin cos yx hl l (2-26) 3 2 ( /sin ) ( ) ( / ) (12 / )cos xys th l GE lh lh l 2.32.3 富明慧修正式富明慧修正式 Gibson 公式具有解析形式，便于应用，但它仅考虑了蜂窝芯体壁板的弯曲变 形，而未考虑壁板的伸缩变形。对于蜂窝夹层结构的蜂窝芯层而言，由于受蒙皮 层的约束，蜂窝壁板的伸缩变形的刚度并非小的可以忽略。1999 年，中山大学的 富明慧等人考虑了蜂窝壁板的伸缩变形对面内刚度的影响，对

30、Gibson 公式进行 了修正。 X 方向加载时如下图所示： 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析13 图图 2.312.31 (2-27) sin 2 Pl M (2-28) (sin ) x Phl 梁的弯曲变形为 (2-29) 33 1 3 sinsin 12 ss PlPl E IE bt 梁的伸缩变形为 (2-30) 2 cos x ss Pl l EE bt 所以 X 方向的等效应变为 (2-31) 232 2 12 1 32 sincossin (1 cot) coscos s Plt lE bltl Y 方向等效应变为 (2-31) 32 21 12 32 sincossincos

31、 (1) sin(sin ) s Plt hlE b hltl 则 (2-32) 2 2 12 22 1 1( / ) cos 1cot( / ) (sin )sin t l l xy t l hl (2-33) 3 222 1 cos1 ( ) (sin )sin1cot( / ) xs x lEt E lhlt l Y 方向加载时如图 b 所示； 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真14 图图 2.322.32 (2-34) cos cos 2 1 lW WlM y 梁的弯曲挠度为 (2-35) 3 1 3 cos s Wl E bt 斜壁梁的伸缩变形为 (2-36) 2 sin s Wl

32、E bt 竖直梁的伸缩变形为 (2-37) 3 s Wh E bt 此时 Y 方向的等效应变为 (2-37) 232 22 123 2 32 cossincos 1 ( / seccot) sin( /sin ) s Wlt h l hlE b h ltl X 方向的等效应变为 (2-38) 32 21 21 32 cossinsin (1) cos s Wlt lE btl 所以 (2-39) 2 21 22 22 2 2 (sin )sin1( / ) cos 1( / seccot) yx hlt l lt h l l 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析15 (2-40) 3 32 22

33、2 sin1 ( ) cos 1( / seccot) ys thl EE llt h l l 蜂窝壁板伸缩变形对于等效的横向剪切模量的影响不大,故 (2-41) 3 2 ( /sin ) ( ) ( / ) (12 / )cos xys th l GE lh lh l 显然，且有，对于一个远小于 1 的量近似地有 xyxyxy EE1 yxxy (2-42) 1/(1)1 又因为，所以可以得到 22 /tl (2-43) 3222 2 cos ( )(1cot/) (sin )sin s x lEt Etl lhl (2-44) 2 222 cos (1csc/) (sin )sin l t

34、l xy hl (2-45) 32222 3 sin ( )1( / sectan)/ cos ys thl EEh ltl ll (2-46) 222 2 (sin )sin 1(1/ )sec)/ cos yx hl h ltl l 2.42.4 综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式综合考虑蜂窝壁板弯曲、伸缩、剪切的修正式 在 Bernoulli-Euler 梁模型的基础上，因为 Gibson 公式仅考虑蜂窝壁板的弯 曲变形，富明慧在 Gibson 公式基础上考虑了蜂窝壁板的伸缩变形，蜂窝夹芯 材料力学与介电性能研究文中第二章中推导蜂窝等效模量时考虑壁板剪切变形。 蜂窝夹芯材料力学与介

35、电性能研究文中利用了虚功原理推导由剪切变形引起 的悬臂梁挠度公式： 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真16 图图 2.412.41 悬臂梁在端部受集中力 P 作用； 在圣维南定义下有如下关系： (2-48) 22 / ,0,; 2 (/ 4) xxyyxy P PI I ty 其中 3 /12Idt 利用虚功原理求剪切变形引起的端点挠度： (2-49) e WP 内力虚功的表达式如下 (2-50) 222 22(1) () xyxxy ixxyyxyxy Wdxdy Edxdy 由虚功原理得： (2-51) ei WW 将代入即得 , xyxy (2-52) 32 32 22222 22 0

36、2 0.6(1) 1 3 2(1)(/ 4) 4 t l t PPlt EII x yty Edxdy II 当蜂窝材料在 x 方向单轴加载时，平行于 X 方向的正应力(拉伸)引起长度 x 为 的一组孔壁弯曲，蜂窝胞元变形如图所示：l 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析17 图图 2.422.42 材料的杨氏模量为 E，泊松比为，将单元胞壁视为长度为了 ，宽度为 b，l 厚度为 b 的欧拉梁。由上图的受力分析，根据平衡条件得 (2-53) sin 2 Pl M 令得 (2-54) x 1 (sin ) x Phl 由弯曲以及剪切应力引起的 AB 的挠度为： (2-55) 32 12 2 sin

37、0.6(1)2 31 PlMl tEI EI l 所以 (2-56) 3 12 2 sin 2.4(1) 121 Pl t EI l 其中 I 为对中性轴的惯性转矩 2 /12Ibt 轴向变形： 作用 AB 的轴向力为,所以 AB 的轴向挠度为： cosP (2-57) 2 cos s Pl E bt 综上可得 X 方向上的总挠度为： 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真18 (2-58) 2 2 2 32 12 1(2.42.4cot) sincossin 12 s t l Pl E I 因此可得 X 方向的总应变为 (2-59) 11 cosl 所以 X 向的弹性模量为 (2-60) 3 2

38、2 2 11 2 cos1 ( ) ( /sin )sin 1 (2.42.4cot) x xs t EE tlh l l 同理可知 Y 方向的应变为： (2-61) 32 21 12 2 sincossincos 1 (1.42.4 ) sin12(sin ) s Plt hlE hll 则等效泊松比为： (2-62) 222 12 222 11 cos1 (1.42.4 )/ ( /sin )sin1 (2.42.4cot)/ xy tl h ltl 同理当在 Y 向单向加载时，可得： (2-63) 3 3222 22 /sin1 ( / ) cos1 (2.42.4tan2 sec/ )

39、( / ) y ys h l EE t l hl t l (2-64) 2 21 3222 22 ( /sin )sin1 (1.42.4 )( / ) cos1 (2.42.4tan2 sec/ )( / ) yx h lt l hl t l 剪切模量用类似的易得到 (2-65) 3 2 /sin1 ( ) ( / ) cos xys th l GE lh l 222 1 12 /( / ) 2.4(1)(2/sin ) /( /sin )tansin ( /sin )( / ) h lt lh ll hh lh lh l (2-67) 综上可得在考虑 Bernoulli-Euler 梁弯曲

40、，伸缩以及剪切变形的情况所得的 蜂窝芯层的共性面等效模量为 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析19 (2-68) 3 22 2 2 cos1 ( ) ( /sin )sin 1(2.42.4cot) xs t EE lh lt l (2-69) 222 222 cos1(1.42.4 )/ ( /sin )sin1(2.42.4cot)/ xy tl h ltl (2-70) 3 3222 /sin1 ( / ) cos1(2.42.4tan2 sec/ )( / ) ys h l EE t l hl t l (2-71) 2 3222 ( /sin )sin1(1.42.4 )( / ) co

41、s1(2.42.4tan2 sec/ )( / ) yx h lt l hl t l (2-72) 3 2 /sin1 ( ) ( / ) cos xys th l GE lh l 222 1 12 /( / ) 2.4(1)(2/sin ) /( /sin )tansin ( /sin )( / ) h lt lh ll hh lh lh l (2-73) 2.52.5 异性面等效模量分析异性面等效模量分析 蜂窝芯体的主要作用是承受 z 方向的横向载荷及剪切应力，当在 Z 方向加载 时，蜂窝壁伸长或压缩(而不是弯曲)，并且对于六边形蜂窝来说，这一方向的模 量比面内模量要大得多。描述异性面变形

42、需要另外的五个独立模量，面外弹性模 ，剪切模量，泊松比，。 z E xz G yz G xz yz 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真20 图图 2.512.51 在 z 方向施加均匀应力，其在一个代表性单元上合力可表示为和，且 z 1 FF 。FF 1 (2-74) 13( 2 ) sin z FEhl l (2-75) 3 (2 )FE t hl 由得： (2-76)FF 1 2(cos ) sin(2 ) z E hllEt hl 所以 (2-77) (2) 2(cos ) sin z Ethl E lhl 泊松比： (2-78) zxzy 由互逆定理得 (2-79) x xz z y

43、yz z E E E E 且 (2-80) 0 xzyz 而异面剪切模量的分析却比较复杂，在剪切蜂窝体中的应力分布较复杂，每 个蜂窝芯壁由于其周围芯壁对其作用而产生非线性变形。只有运用数值方法才可 能进行精确的计算，但可以利用最小势能(minimum potential energy)原理和最 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析21 小余能(minimum complementary energy)原理，相对容易地得到剪切模量的上下 限，最小势能原理可得出上限，最小余能原理可得出下限。 X 向受剪时，在 X 方向上作用于 z 法向面的切应力，引起的均匀剪切应变 xz ，芯壁 a、b、c 的剪切应

44、变各为，在 X 方向上的剪切。 xz axz cos bcxz 最小势能原理指：从任意假定的一组与外部边界条件和自身均匹配的位移出 发，计算所得的应变能对于精确的位移分布是一个极小值。该原理给出了模量的 上限，即 (2-81) 22 11 22 yzyzii i GG 其中，G 是蜂窝芯壁材料的剪切模量， (i=a,b，c)是三个芯壁的剪切应变， i 求和是对 a、b、c 三个芯壁的体积、和进行的，计算可得 a V b V c V (2-82) 2 12 cos 2cossin yz G hlt Ghll 再结合最小余能能原理，该原理给出了模量的下限。最小余能能原理指：在 满足各点平衡条件并与

45、外部载荷处于平衡状态的应力分布中，应变能对于精确的 应力分布而言是个极小值。该原理表达成不等式如下： (2-83) 2 2 11 () 22 yz i i i yz GG 考虑在 Y 方向上的加载，并假定外应力在 3 个壁孔上产生一组剪切应力 ， (2-84) , abc , abcbc 由力平衡条件得 (2-85) 2(cos ) sin2sin yzba hlltlht 由上述条件即得 (2-86) cos (2)sin yz G hlt Ghll 对于在 Y 方向受剪，各芯壁 a、b、c 的应变与的关系如下： yz 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真22 (2-87) 0 sin a b

46、cyz 利用最小势能原理可得： (2-88) cos sin xz Gt Ghl 在 a、b、c 三个壁中引起的剪应力关系为： ， ， (2-89) 0 0 b a 根据外部应力的平衡可得 (2-90) 2(cos ) sin2cos xzb hlltl 应用最小余能原理可得： (2-91) sin cos xz Gt Ghl 有比较可得上下限相等，故得 xz G (2-92) sin cos xz Gt Ghl 对于有如下关系： yz G 即 2 cos12 cos (2)sin2coscos yz G hlthlt hllGhll (2-93) 2 cos12 cos (2)sin2cos

47、cos yz hlthlt GGG hllhll 结论： 1蜂窝芯体的等效模量取决于芯体单胞的尺寸，其中杨氏模量、剪切模量随 着芯壁厚度的增加而增加，而泊松比与壁厚无关，仅与芯体各边边长和夹角关。 2蜂窝芯体的九个模量均与芯壁的高度无关。 3正六边形芯体的九个模量均为确定值。 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析23 4蜂窝芯体的等效模量与芯体单胞的具体尺寸无关，仅与各相关尺寸的比值 有关。 5 对比发现，Gibson 公式及其修正式修正主要行式相同，可以说 Gibson 公式 修正式在 Gibson 公式的基础上加了修正参数而已。 2.62.6 对于蜂窝夹芯板的等效处理方法对于蜂窝夹芯板的等效处

48、理方法 2.6.1 等刚度法 等刚度法是指通过确定等效单层板的厚度、杨氏模量和剪切模量，使之与原 蜂窝夹芯板具有相同的刚度，如图所示 图图 2.612.61 为了确定等效单层板的厚度以及模量，需考虑在拉伸、弯曲和剪切三种情况， 拉伸时应满足 (2-94) 2 ffeqeq t Et E 弯曲时应满足 (2-95) 333 11 (2) 1212 cffeqeq hth Et E 剪切时则应满足 (2-96) 2 ffeqeq t Gt G 故可得 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真24 (2-97) f eq f eq f eq f eq ffcceq G t t G E t t E tthh

49、t 2 2 463 22 2.6.2 等密度法 等密度法是指等效单层板的密度与原蜂窝夹芯板的密度相等且杨氏模量、剪 切模量相同，仅需确定其等效厚度。由密度相等可知 (2-98) 2 eqfffcc LWtLWtLWh 所以 (2-99) 2 ffcc eq f th t 等刚度法和等密度法可以用来预测蜂窝夹芯结构在轴向压缩时的极限强度， 一般而言，与实验结果相比较，由等刚度法所得到的结果偏大，而由等密度法所 得到的结果则偏小。试验与数值结果对比表明，当芯体高度相对较小时，用等密 度法处理较为合适，而当芯体高度相对较大时，用等刚度法处理较为合理。 本章小结本章小结 本章通过引用相关文献的分析分方

50、法，蜂窝芯体等效模量分为面内模量和面 外模量，在分析时将蜂窝芯体的等效模量的分析简化为对蜂窝芯体胞元的分析。 推导面内模量依据线弹性 Bernoulli-Euler 梁理论，根据考虑变形条件得不同得 出了 Gibson 公式和 Gibson 公式的修正中；推导面外等效弹性模量时主要依据等 密度法，而在分析面外剪切模量时用到了最小势能和最小余能法则。通过本章得 到了等效模量计算方法，从而为建立蜂窝芯体等效模型提供了理论支持。 第二章 蜂窝等效模量的推导与分析25 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真26 第三章第三章 建模与分析建模与分析 3.13.1 有限元与有限元与 AnsysAnsys 简介

51、简介 3.1.1 有限元(Finite Element) 有限元分析, 即有限元方法, 是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值 解的数值技术，随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法 。 有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。它的 发展可以追溯到 Alexander Hrennikoff(1941)和 Richard Courant(1942)的工作。 这些先驱者使用的方法的共同的特点是利用网格离散化将一个连续区域转化为一 族离散的称为元的子区域。Hrennikoff 用类似于格子的网格离散区域；Courant 将区域分解为有限个三角形的子区域, 用于

52、求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭 圆偏微分方程。Courant 的贡献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的 研究结果。 3.1.2 有限元的发展概况 1943 年 courant 在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能 原理研究 St.Venant 的扭转问题。1960 年 clough 的平面弹性论文中用“有限元 法”这个名称。1965 年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文 是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据。1970 年 随着计算机和 软件的发展，有限元得到了空前的发展，如今有限元法被广泛应用于多个领域。 有限元法的应用范围很广，包括：固

53、体力学、流体力学、热传导、电磁学、 声学、生物力学等。可以对由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线 性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）进行求解。并且还能 求解各类场分布问题，如流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题，以及水 流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。 第三章 建模与分析27 3.1.3 有限元法分析要点： 一 物体离散化 单元划分：将实体结构离散为由各种单元组成的计算模型。离散后单元与单 元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题 的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变 形

54、情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构 已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离 散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目 非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 二 单元特性分析的方法 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力 作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量 时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用 范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如 位移，应变和应力等

55、由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些 能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变 量的简单函数。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对 于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作 用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是 用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。 3.23.2 通用有限元程序通用有限元程序 AnsysAnsys 3.2.1 Ansys 简介 Ansys 软件是融结构、热、流体、电磁声学于一体的大型 CAE 通用有限元 分析软件，可广泛应于航空航天

56、、机械制造、生物医学、轻工、土木工程等工业 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真28 及科研领域。Ansys 大多数操作系统中运行（Windows、Unix、Linux）,从 PC 机 到大型巨型计算机均有相应的版本。 Anysy 软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。 前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有 限元模型， ANSYS 程序提供了两种实体建模方法：自顶向下与自底向上，而且提 供了四种网格划分方法：延伸划分、映像划分、自由 划分和自适应划分；分析 计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流 体动力学分析

57、、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可 模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力； 后处理模块 可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切 片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计 算结果以图表、曲线形式显示或输出。 在 ANSYS 中，载荷包括边界条件和外部或内部作用力函数，在不同的分析领 域中有不同的表征，但基本上可以分为 6 大类：自由度约束（DOF Cinstraints）、力（Force）、面载荷（Surface Load）、体载荷（Body Load）、惯性载荷（Inertia Loads

58、）以及耦合场载荷（Coupled-field Loads）。 ANSYS 软件提供的分析类型包括：结构静力分析（求解外载荷引起的位移、 应力和力）、结构动力学分析（求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响）、 结构非线性分析（结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化）、 动力学分析（分析复杂结构在空间中的运动特性，并确定结构中由此产生的应力、 应变和变形）、热分析（处理三种基本的热传递：传导、对流和辐射）等等，本 文应用其提供的结构静力分析功能。 3.3 有限元建模有限元建模 3.3.1 蜂窝实体建模 第三章 建模与分析29 实体模型采用是 Ansys10 中提供的壳单元(SHELL6

59、3)建模，建立由铝质材料制成 的正六边形蜂窝芯体结构，如下图所示。 图图 3.313.31 实体模型的物理参数为：胞元为正六边形，胞壁长度为 6mm，胞壁厚度为 0.5mm，蜂窝芯层的高度为 30mm，铝材的弹性模量为 70GPa，泊松比为 0.33。为 了能够容易改变蜂窝结构的宏观尺寸，实体模型的建模过程采用 Ansys 的可编程 逻辑语言（APDL），利用蜂窝芯体的结构特点进行建模，本模型没有考虑蒙皮的 影响。蜂窝芯体的等效模型采用的是 Ansys 所提供的实体单元（Solid64）进行 建模，所得模型如下图所示。 蜂窝结构的等效模量计算与有限元仿真30 图图 3.323.32 3.3.2

60、 Ansys 单元简介 ANSYS 的单元库提供了 100 多种单元类型给用户进行选择使用，单元的选择与 大小对模型进行有限元分析的节结果有至关重要的影响，正确地选择单元类型是 建模的关键。以下对本文在建模过程中用到的单元类型进行必要的介绍： 实体模型所用的是 Shell63 弹性壳单元，该单元具有弯矩和薄膜特性，可承 受与平面同方向及法线方向的荷载。Shell63 单元由四个节点组成，每个节点 6 个自由度，即沿节点坐标系 X、Y、Z 方向的平动和沿节点坐标系 X、Y、Z 轴的转 动，并且该单元有应力强化和大变形能力，在大变形分析（有限转动）中可以采 用不变的切向刚度矩阵。单元 SHELL6