chp3.1矩阵的初等变换.

1、4矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解线性方程组11兀1 +同2兀2 + + ”=bCl2-1V3101-15003-183第一节矩阵的初等变换K 矩阵的初等变换定义 定义3.1 F面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换: 交换矩阵的两行（列）对应元素的位置;用数kMO乘以矩阵的某一行（列）的所有元素;（3）把矩阵的某一行（列）所有元素的k倍加到另一行 （列）的对应元素上.注:矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。为了书写的方便，引进记号：I. 若交换矩阵的i、j行（列）,记为：n o血o c,）；II. 若用一个非零的数kw F去乘矩阵第/行例），记为：kxn （k x Q）;III.

2、 若将把矩阵第J行（列）的k倍加到第/行（列），记为： 口 + krjg + kcj）.两件事实是显然的：若mxn矩阵4经一次初等变换变成矩阵B, 那么，9第一,B也是m x n矩阵；。第二,B也可经一次初等变换变成A2. 两个矩阵的等价定义3.2如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B , 则称妙阵4与B等价，记作.换句话说，力等价于 B是指有一个由矩阵组成的序列A = A1, A2, A3, , As = B, s 1其中每个Ai+1, i = 1,2, , s - 1,可由Ai经一次初 等变换得到.矩阵之间的等价关系具仃以卜准质:（1）反身性ATA；（2）对称性若ABf则传递性 若ABfBC

3、f则A T C.3、行阶梯形矩阵定义3.3一个/n x n矩阵（可）称为阶梯形矩阵，如果1）若某行中每个元素都为0,那么位于该行下面各行元素也全为0.2）若有非零元素且非零元素出现于前厂行，而对/= 1,2,-. 第/行 中左起第1个非零元为抵则齐 % V V jr.也就是说，各个非零行 的左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格递增的.阶梯形矩阵的形状为（%：吋均不为零）0 0aUi 屯2-1切2 叫aLn() 00 0叫2 0 00 00 殂rn00000000（）.0- ()0()()()000o & 0 -例如，0000、00()(),0 0 0 0)/104-210-11-10000

4、30J000巧都是阶梯形矩阵.定理3.1任意一个矩阵都可经一系列初等行变换化成为阶梯形矩阵.例题3.1 把()-1-2化成阶梯形矩阵.解把第1行的-2倍加到第2行上，把第1行的-1倍加到第3 行上，把第1行的-2倍加到第4行上得()-1-3然后把第2行的-1倍加到第 得行上，把第2行的3倍加到第4行上.r 104-211104-2110 -1 1 -1 0、0 -1 1 -1 00003-2T()0032L 0006-4 ,.00000 J这就得到了阶梯形10最后一步做的是把第3行的倍加到第4行上去.矩阵. o 如果不局限于初等行变换，定理3.1可加强为定理3.2任何一个mx n矩阵4都与一个

5、形如/ 10 00 0()1 00 0 0 0 0 0 0 /的矩阵等价.在这个矩阵中(1.1). (2,2) . (r.r)位置的元素为1,其 余为0.显然厂=0时，上述矩阵为零矩阵.矩阵F称为矩阵的标准形.例如,b50一104、100一14)01-103C3010-130001-30010-300000丿000000 0 0 0丿例求解线性方程组彳解川矩阵的初等2七_兀2 _兀3 +兀4 = 2,兀1 +工2 一 2兀3 +兀4 = 4，4兀 1 6x2 + 2兀3 2七=4,3兀+ 6x2 9x3 + 7x4 = 9, 变换解方程组尸2-0 尸3-21%3儿r21431001 1-214

6、0 1一 1100 002_6、0 001-3J0 1-21110Q 00E)-6(F00ol0-10Z吨-100 %0 -0 00：0=2=4-1一 3-2-11-9-17称为行阶 梯形矩阵=B512一53-2-25-312-344、0-6_314B5对应的方程组为&- 兀3=4x2 x3= 3x4 =_3令3 =G方程组的解为Xj = c + 4，其中C为任意常数 X= C x4 = -3(1 00 10 00 0-14、3一30=b5团结勤奋严谨朴实4、初等矩阵定义2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵 称为初筹矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调两行或对调两列把单位矩阵中第

7、jj两行(列)对调得到的初等矩阵，记为P(iJ)訂亍P(ijJ列丄丿丿行174、初等矩阵（2）以数使強0乘某行或某列以数kHO乘单位矩阵E的第/行（列） 得初等矩阵，记为P（ i（k）.k力行;、i列 b以舟U乘某行（列）加到另一行（列）上以k乘E的第j行加到第/行上（匚+ krj）或以k乘E的第i列加到第j列上（Cj + kc；）,得 初等矩阵，记为P（ /, j（k）.团纟吉勤奋严谨朴实4、初等矩阵/行丿行咧）列5、初等矩阵性质初等矩阵都是可逆矩阵，且(1) PQ, J)1 = Pa J)；= P(dQ)；P(A 丿伙)T =P(z,j(-Zc)(2) IP(Z, j) l=-l； P(i

8、(k)=k；1尸（2丿伙）1=1团纟吉勤奋严谨才卜实6、初等变换和初等矩阵的关系3 0 1、 1-12,而1 V例设有矩阵A=F1Ud，2)=Xoo0 10、=100卫0b(30*(3,1(2)= 1-111团纟吉勤奋严谨朴实6、初等变换和初等矩阵的关系0010o-I1%a30。21。22。23。2403132%勺41_41。42。43a44_%a3_122a23如0a32a33a34042。4344 _011a2a341d2134a22a23&24。32勺3。34C?42 + ka22a 43+ ka23 a44 + 忌24 _00 o-awa2+匕14。13。1410 021。22+ ka24。232401 0a3l+転34勺4k0 1_a4a42+匕44。43%团纟吉勤奋严谨才卜实216、初等变换和初等矩阵的关系是理2设A是一个mxn矩阵，对4丿施行一次初等行变换,相为于任&的左边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行”次初等列变换，相当于在4的右边乘以相 应的n阶初等矩阵.定理3门阶方阵A可逆的充分必耍条件是A与门阶单位矩阵等价。过理4方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为 若干个初等矩阵的乘积7、用初等变换方法求逆矩阵若A可逆,则A1 = PxP分PiP,A（儿c辿迪（“rArA=P . P.A1 2 3、例 设4=2