相似三角形的性质及应用

1、相似三角形的性质及应用-知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽 象为数学问题）【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段3. 相似三角形周长的比等于相似比二二匚s 一.三匚，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方D D/J rrj一上二s亠

2、二：，则一 一 分别作出口乂与匸的高匸和上匸,则EC CfA11BC AD4 ABC25 14ABCBC AD21-k BC k AD21-BC AD2=k&甲影子测量法测量距离21.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1 如甲图所示，通常可先测量图中的线段DG BD CE的距离（长度）2 如乙图所示，可先测 AC DC及 DE的长，再根据相似三角形的性质计算要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的要点

3、二、相似三角形的应用，根据相似三角形的性质，求出AB的长.AB的长.要点诠释：1 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离；2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则Sabce Sabde等于（） A. 2 : 5B 14:25C 16:25D. 4:21【思路点拨】相

4、似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10, AD=BD=5 设 AE=BE=x,贝U CE=8-x,在 Rt BCE中，x2-(8-x) 2=6：x= * ,【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形Sabce： Sabde= (64-25-25 ): 25=14:25，所以选 B. AC=6 Sa ABC 2，又T/B=Z B,.BDABRt ADB Rt CEB,.BECBSa bed2DE2 1DE 1，又TAC5 *. DE=2Sa bca18 9AC 3-ACBF 18,BF=6. ebda CBA,./ ADB2

5、CEB=90【答案】 过点B做BF丄AC,垂足为点F, t AD,CE分别为BC,AB边上的高,即詈BECB,且/ B=z B，2.已知：如图，在 ABC与 CAD中, DA/BC, CD与 AB相交于E点，且AE：EB=1 :2, EF/ BC交 AC于 F 点,举一反三【变式】在锐角 ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别等于 18和2, DE=2, 求AC边上的高.;?眾澤洱-:=帀餐:!?:!5韶弗“ ADE的面积为1,求厶BCED AEF的面积.【答案与解析】/ DA/ BC ADE BCE/ SadES bckAEiBE2./ AE： BE=1:

6、2 ,- SADE：Sbce=1：4 .T Saade=1 ,- Sbce=4.T Saabc：S bc=AB：BE=3：2 ,- Sab(=6 .,2拆2t EF/ BC, AEFA ABCt AE:AB=1:3 , Saaef：S abc=aE:AB =1:9 . Sef 乜.【总结升华】 注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高 (或等高)三角形的面积比等于对应 底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方.举一反三：【变式】如图，已知中，号=5 ,3，為C= 4 , f AE ,点尸在卫C上， ( 与点A。不重合)，点在 上 .(1)当

7、亠U 的面积与四边形1_.的面积相等时，求二7的长.(2)当- J f的周长与四边形 J的周长相等时，求二 的长【答案】(1)山.,，.PQHAB - J的周长与四边形厂丨 的周长相等- S3、S4,则C.1DE:3 : 5 ： 7D.3 : 5 ： 7 : 9CE=2 3，连结AE、BE BD,且AE、BD交于点F,则Sa def：A.4 : 10：6DB=二、填空题 7.如图，梯形8.如图， ABC中，点 D在边AB上，满足/ ADC=/ ACB若AC=2 AD=1,则9如图，在厶PAB中, M N是AB上两点，且厶PMN是等边三角形， BPMhA PAN则/ APB的度数是10.如图，

8、ABC中, DE/ BC,BE,CD交于点 F,且 $ efc=3Sefd，则 Sade： Sbcc11.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m,两个路灯的高度都是 9m则两路灯之间的距离是 12.如图，锐角 ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高， ABCD BDE的面积分别等于 18和2, DE=2 则AC边上的高为.三、解答题13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作： 图（1）：

9、测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少?14. （1）阅读下列材料，补全证明过程： 交OC于点F，作FGL BC于 G.求证：点已知：如图，矩形 ABCD中, G是线段BC的一个三等分点.OE 1 证明：在矩形 ABCD中, OEL BC DCL BC 二 OE/ DC v =-,DC 2ACBD相交于点 O OEL BC于E,连结DEEF OE 1 匸=r? = 2 .EF 1三(2)请你仿照(1)的画法，在原图上画出 BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹，可不写

10、画法及证明过程)15.已知如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm BC=6cm点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点 F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且OWt 6.(1)当t为多少时，DE=2DF(2)四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.(3)以点D E、F为顶点的三角形能否与厶 BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由.【答案与解析】也可能是直角边2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由所以，又由-，可得4 :

11、沁，下略.DE6.A. ABCD中, AB/ DC, DEFA ABF,-朋酢5 g24 DEF与厶EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.1二、填空题7.【答案】一.【解析】T4Sa decSa ecbDEMA CEB是同高不同底的两个三角形，即DEEB1-因为2SadecAB/ CD,所以 DECA BEA所以SaaEB EBDEAC ADAC28.【答案】3.【解析】tZ ADCZ ACB Z DAC=/ BAC/-A ACDA ABC,. ,AB-5AB ACAD7 4, BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120 .【解析】T BPMhA PAN - / BPMkZ

12、 A,v PMN是等边三角形，即/ APN+Z BPM= 60,./ APB=Z BPM# MPN+/ APN= 60 +60 =120.Z A+Z APN= 60 ,10.【答案】1:9【解析】T Saefc=3Saefd , FC:DF=3:1，又t DE/ BC, BFCA EFD,即 BCDE=FC:FD=3:1,由厶 ADEA ABC 即 Saade : Subc=1：9.11.【答案】30m.12.【答案】6.【解析】T AD,CE分别为BC,AB边上的高，AB bd Z ADB=/ BEC=90 , Z ABD玄 EBC Rt ABMRt CBE/. AB3A DBEBC BE 相似三角形面积比为相似比的平方，AC 2DE18 = 9,2AC =3 ,DE AC=3DE=3 2=6. h=2SAABC/AC=* 18/6=6 即 AC边上的高是 6 .CE CD(1)TA CD0A ABE AE AB 长2.4米， AB=1.92米.即图1的树高为1.92米.(2)设墙上的影高落在地面上时的长度为x,树高为h,竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，三、解答题13.解析】又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE1x14 3 一 = _ 解得 x=1.5 ( m), 树的影长为：1.5+2.8=