医学物理学：第三章 流体的运动

1、第三章第三章 流体的运动流体的运动 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.1 3.1 理想流体的稳定流动理想流体的稳定流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 一、理想流体一、理想流体 绝对不可压缩绝对不可压缩 完全没有黏性完全没有黏性 理想流体理想流体 理想物理模型理想物理模型 在解决实际问题中，我们通常将黏滞系数小的液体在解决实际问题中，我们通常将黏滞系数小的液体 （例如水、酒精）及流动中的气体；或者当处理问题时，（例如水、酒精）及流动中的气体；或者当处理问题时， 流体的可压缩性和黏性只是影响运动的次要因素时，可将流体的可压缩性和黏性只是影响运动的次要因素时，可将 实际流体作为理

2、想流体处理。实际流体作为理想流体处理。 注意注意 物质存在的三种状态物质存在的三种状态 固、固、液、气液、气 液体、气体（容易发生相对运动）液体、气体（容易发生相对运动）流动性流动性 具有流动性的物质具有流动性的物质流体流体（如水、血液、空气（如水、血液、空气） 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.1 3.1 理想流体的稳定流动理想流体的稳定流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 二、流体的基本概念二、流体的基本概念 流场：流场：在流体运动过程的每一瞬时，流体在所占据的空间在流体运动过程的每一瞬时，流体在所占据的空间 每一点都具有一定的流速。每一点都具有一定的流速。 矢量场矢量场

3、 流线（流场中一系列假想的曲流线（流场中一系列假想的曲 线）：线）：每一瞬时流线上任一点每一瞬时流线上任一点 的切线方向，和流经该点的流的切线方向，和流经该点的流 体质元的速度方向一致。体质元的速度方向一致。 注意注意 任意两条流线不能相交任意两条流线不能相交。 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.1 3.1 理想气体的稳定流动理想气体的稳定流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 流管：流管：如果在运动流体中取一横截面如果在运动流体中取一横截面S S1 1，则通过其周边各，则通过其周边各 点的流线所围成的管状体点的流线所围成的管状体 1 s 1 v 三、稳定流动和非稳定流动三、稳

4、定流动和非稳定流动 流场中各点的流速是该点的位置和时间的函数流场中各点的流速是该点的位置和时间的函数: : 流线的形状随时间而变流线的形状随时间而变 ( , , , )vv x y z t 非稳定流动（非定常流动）非稳定流动（非定常流动） 流线与流体单个质元的运动轨迹并不重合流线与流体单个质元的运动轨迹并不重合 S2 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.1 3.1 理想气体的稳定流动理想气体的稳定流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 流场不随时间而变化流场不随时间而变化: : 稳定流动（定常流动）稳定流动（定常流动） 流场中任一固定点的流速、压强和密度等都不随时间变化流场中任一

5、固定点的流速、压强和密度等都不随时间变化 ( , , )vv x y z 四、稳定流动的连续性方程四、稳定流动的连续性方程 稳定流动的流体内各点稳定流动的流体内各点 的密度不随时间而改变，因的密度不随时间而改变，因 此在一封闭流管内的流体质此在一封闭流管内的流体质 量不会发生变化。量不会发生变化。 流体作稳定流动时，流线形状保持不变，且流线与流体作稳定流动时，流线形状保持不变，且流线与 流体粒子的运动轨迹重合。流体粒子的运动轨迹重合。 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.1 3.1 理想气体的稳定流动理想气体的稳定流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 在同一段时间在同一段时间

6、t 中，从中，从S1流流 入封闭流管的流体质量与从入封闭流管的流体质量与从S2 流出的流体质量相等流出的流体质量相等 1111 ()mvt S 2222 ()mvt S 12 mm 11 122 2 S vS vSv 常量 不可压缩流体不可压缩流体 为常量，则有为常量，则有 Sv 常量 质量流量守恒质量流量守恒 体积流量守恒体积流量守恒 流量流量 （Q） 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 伯努利方程是关于伯努利方程是关于理想流体理想流体作作稳定稳定 流动流动时的运动规律，它是伯努利于时的运动规律，它是伯努利于1

7、7381738 年首先导出的。年首先导出的。 与静止流体与静止流体不相同之处：不相同之处： 流体运动时，其内部任意两点之间可能存在压强差流体运动时，其内部任意两点之间可能存在压强差 2 1 2 pvgh常量 常量 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 1 1、方程的推导、方程的推导 设理想流体在重力场中作稳定流动设理想流体在重力场中作稳定流动 以以X和和Y之间的流体为研究对象之间的流体为研究对象 t 很短很短 X、X ： P1 v1 h1 S1 Y、Y ： P2 v2 h2 S2 X 和 和Y之间流体的机械能不变之

8、间流体的机械能不变， 在在t时间内时间内, ,X 和和Y之间的之间的 流体机械能的变化就相当于流体机械能的变化就相当于X 和和X 之间的这一小部分流体由 之间的这一小部分流体由 原位置挪到原位置挪到YY 位置所引起的 位置所引起的 机械能的变化。机械能的变化。 XX YY 1 F 2 F 1 h 2 h tv 2 tv 2 tv 1 tv 1 t ：XY XY 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 这两段流体机械能的增量：这两段流体机械能的增量： 22 212211 22 2211 11 22 11 22 EEmv

9、mghmvmgh mvghvgh 理想流体：内摩擦力为零，外力的总功为理想流体：内摩擦力为零，外力的总功为 1 1 122 2 ()ApSvp S vt 1 12 2 Sv tS v tV 12 ()AppV 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 功能原理：功能原理： 21 A EE 22 122211 11 () 22 ppVVvghvgh 22 111222 11 22 pvghpvgh 伯努利方程伯努利方程 理想流体稳定流动的能量方程理想流体稳定流动的能量方程 静压静压 2 1 2 pvgh常量 常量 动压动

10、压 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面处，单位体积理想流体作稳定流动时，同一流管的不同截面处，单位体积 流体的动能、势能、与该处压强之和都相等。流体的动能、势能、与该处压强之和都相等。 2 2 1 v 单位体积流体动能单位体积流体动能 gh 单位体积流体势能单位体积流体势能 2 2、适用范围、适用范围 只适用于理想流体在同一细流管中作稳定流动。只适用于理想流体在同一细流管中作稳定流动。 在伯努利方程推导时在伯努利方程推导时v、h、P均为流管横截面均为流管横截面 上的平均值

11、。上的平均值。 若若S1、S20，伯努利方程则表示流场中不同，伯努利方程则表示流场中不同 点各量的关系。点各量的关系。 说明说明 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） （1）流体在水平管中流动流体在水平管中流动（h1 = h2 ），则流体的势能），则流体的势能 在流动过程中不变，故在流动过程中不变，故 常量 2 2 1 vP (2) 对于等粗管（对于等粗管（v1 = v2），又有），又有 3 3、特例、特例 v小 小P大大 ； ； v大 大P小小 常量 ghP h小 小P大大 ； ； h大 大P小小 第三章第三章

12、流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 例例1 设有流量为设有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子。的水流过如图所示的管子。A点点 的压强为的压强为2105Pa, ,A点的截面积为点的截面积为100cm2，B B点的截面积点的截面积 为为60cm2. .假设水的粘性可以忽略不计假设水的粘性可以忽略不计, ,求求A、B 两点的流两点的流 速和速和B点的压强。点的压强。 B v 由连续性方程由连续性方程QvSvS BBAA 得得 解：解： 水可看作不可压缩的流体水可看作不可压缩的流体 sm S Q v A A 12 10 12

13、. 0 2 sm S Q v B B 20 1060 12. 0 4 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 由伯努利方程得由伯努利方程得 BBBAAA ghvPghvP 22 2 1 2 1 ABBAAB hhgvvPP 22 2 1 2 1 Pa 4 225 1024. 5 28 . 91000201000 2 1 121000 2 1 102 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 1. 空吸作用空吸作用 (a) 想象拿掉连接在想象拿

14、掉连接在 收缩段上的垂直管子，收缩段上的垂直管子， 研究从容器研究从容器A 的液面的液面 到水平管道出口到水平管道出口d 的的 一条细流管中流体流一条细流管中流体流 动情况。动情况。 二、伯努利方程的应用举例二、伯努利方程的应用举例 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 设容器设容器A截面积很大，液面下降速度截面积很大，液面下降速度 对容器液面处和管道出口处应用对容器液面处和管道出口处应用伯努利方程伯努利方程 射流速度射流速度 0v 2 00 1 2 d vpghp 2 d vgh c, d 两截面处的中心线等高，

15、由两截面处的中心线等高，由伯努利方程伯努利方程 22 0 11 22 ccd vpvp 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 由连续性方程：由连续性方程： c, d 两点的压强差：两点的压强差： 当所插细管放入容器当所插细管放入容器 B 的液体中时，只要满足的液体中时，只要满足 容器容器B中的液体就会被吸到水平管道中中的液体就会被吸到水平管道中空吸作用空吸作用 发生空吸作用的条件：发生空吸作用的条件： ccdd v Sv S 2 0 1 d c c S ppgh S 0cb ppgh 1 db c Sh Sh 第三

16、章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 2. 汾丘里流量计汾丘里流量计 在粗、细截面在粗、细截面S1 和和S2 处应用处应用伯努利方程：伯努利方程： 由连续性原理：由连续性原理： 流体的流量流体的流量： 流量流量 1122 v Sv S 1 1 Q Sv 12 22 12 2gh QS S SS 2 22 1 11 2 2 2 S vvgh S 22 1122 11 22 pvpv 12 22 12 2gh vS SS 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七

17、版）（第七版） 3 3、流速的测量、流速的测量 直管下端直管下端c c处流速不变，处流速不变， 弯管下端弯管下端d d处流体受阻，处流体受阻， 形成速度为零的形成速度为零的“滞止滞止 区区”，于是，于是 0 d v 对流线上对流线上c 和和d两点应用两点应用伯努利方程伯努利方程 静压静压 动压动压总压总压 （等高）（等高） 2 1 2 dcc ppv 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.2 3.2 伯努利方程伯努利方程 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 总压与静压之差：总压与静压之差： () AM ppgh 2 1 2 AM ppv 2()gh v 设设(待测流体密度待测流体密度

18、)(U型管中工作液体密度型管中工作液体密度)： M U型皮托管型皮托管 （h为两竖直管液面高度差）为两竖直管液面高度差） 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.3 3.3 黏性流体的流动黏性流体的流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 一、层流和湍流一、层流和湍流 实际流体流动时相邻两层之间会产生沿切向的阻碍相对实际流体流动时相邻两层之间会产生沿切向的阻碍相对 滑动的力，称为内摩擦力（或黏滞力）滑动的力，称为内摩擦力（或黏滞力） 黏性流体的流动形态：黏性流体的流动形态：层流、湍流、过渡流动层流、湍流、过渡流动 1.1.层流：层流： 流体作层流时，各层之流体作层流时，各层之 间有相对

19、滑动，沿管轴流动间有相对滑动，沿管轴流动 速度最大，距轴越远流速越速度最大，距轴越远流速越 小，在管壁上甘油附着，流小，在管壁上甘油附着，流 速为零。速为零。 着色甘油着色甘油 无色甘油无色甘油 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.3 3.3 黏性流体的流动黏性流体的流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 2.2.湍流湍流： 当流体流速超过某一数值时，流体不再保持分层流当流体流速超过某一数值时，流体不再保持分层流 动，而可能向各个方向运动，有垂直于管轴方向的动，而可能向各个方向运动，有垂直于管轴方向的 分速度，各流层将混淆起来，并有可能出现涡旋，分速度，各流层将混淆起来，并有可能

20、出现涡旋， 这种流动状态叫湍流。这种流动状态叫湍流。 3.3.过渡流动过渡流动: : 介于层流与湍流间的流动状态很不稳定介于层流与湍流间的流动状态很不稳定, ,称为称为 过渡流动。过渡流动。 二、雷诺数二、雷诺数 当流体流速增大到一定数值时，稳定流动的状态被破坏，当流体流速增大到一定数值时，稳定流动的状态被破坏， 流动成为不稳定的，不再分层流动，流体质点运动形成旋涡流动成为不稳定的，不再分层流动，流体质点运动形成旋涡 湍流湍流 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.3 3.3 黏性流体的流动黏性流体的流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 判断由层流向湍流过渡的依据：判断由层流向湍

21、流过渡的依据： 雷诺数雷诺数： e vr R 时，流体作层流时，流体作层流 时，流体作过渡流动时，流体作过渡流动 1000 e R 1500 e R 10001500 e R 时，流体作湍流时，流体作湍流 湍流的特点：机械能损耗湍流的特点：机械能损耗 消耗的机械能中一部分转化为热能，另一部转化为声能消耗的机械能中一部分转化为热能，另一部转化为声能 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.3 3.3 黏性流体的流动黏性流体的流动 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 0 d lim d z vv zz 实验结果表明，两流层实验结果表明，两流层 之间作用于面元之间作用于面元 S S 上的黏上

22、的黏 滞力表示为：滞力表示为： 观察相距为观察相距为 z z 的两流层：的两流层： 非理想流体（黏滞性流体）非理想流体（黏滞性流体） 三、牛顿黏滞定律三、牛顿黏滞定律 黏滞系数（粘度）黏滞系数（粘度） PaPas s d d v fS z 黏滞系数与物质分子结构有关；黏滞系数与物质分子结构有关；气体的粘度随温度升高气体的粘度随温度升高 而增大，液体的粘度随温度升高而减小。而增大，液体的粘度随温度升高而减小。 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.4 3.4 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） 黏滞性流体黏滞性流体 内摩擦引起机械能的损耗内摩擦引起

23、机械能的损耗 粗细均匀的水平细管中的稳定流动：粗细均匀的水平细管中的稳定流动： 上游压强必须大于下游压强上游压强必须大于下游压强 伯努利方程修改为：伯努利方程修改为： 若黏滞流体在开放的粗细均匀的管道中维持稳定流动：若黏滞流体在开放的粗细均匀的管道中维持稳定流动： 必须有高度差必须有高度差 （大气压）（大气压） 22 111222 11 22 pvghpvghE 1212 ,vvhh 12 ppE 12120 ,vvppp 12 ghghE 一、黏性流体的伯努利方程一、黏性流体的伯努利方程 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.4 3.4 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律 医学物理学医学

24、物理学 （第七版）（第七版） 二、泊肃叶定律二、泊肃叶定律 不可压缩的黏性流体在水平等粗圆管中作稳定流动时，不可压缩的黏性流体在水平等粗圆管中作稳定流动时， 如果雷诺数不大，则流动的形态是层流。要想维持液体的如果雷诺数不大，则流动的形态是层流。要想维持液体的 稳定流动，管子两端必须维持一定的压强差。稳定流动，管子两端必须维持一定的压强差。 实验证明实验证明：在水平均匀细圆管内作层流的黏性流体，其流量在水平均匀细圆管内作层流的黏性流体，其流量 与管子两端的压强差与管子两端的压强差 成正比。成正比。p 即即 L PR Q 8 4 R 管子半径管子半径 流体黏滞系数流体黏滞系数 L 管子长度管子长度

25、 P 压强差压强差 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.4 3.4 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） * * * *泊肃叶定律的推导泊肃叶定律的推导 （1 1）速度分布）速度分布 取与管同轴，半径为取与管同轴，半径为r，长度为，长度为L的圆柱形流体元作为研的圆柱形流体元作为研 究对象，它所受的压力差为究对象，它所受的压力差为 22 21 rPrPPF 流体元侧面所受黏滞力大小流体元侧面所受黏滞力大小 dr dv rLf2 L r R dr 1 P 2 P 21 PP 稳定流动稳定流动 这段流体所的水平外力的合力为零这段流体所的水平外力的合力为

26、零 f 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.4 3.4 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律 医学物理学医学物理学 （第七版）（第七版） v 随随 r 的增加而减小的增加而减小 12 dd 2 pp vr r l 2 12 d ()2 d v pprrl r 应有：应有：fF 从从 r0 到到 rr 积分：积分： r0 处的流速处的流速 rR 处处 v0 管中速度的径向分布：管中速度的径向分布： 2 12 0 4 pp vvr l 2 12 0 0 4 pp vR l 22 12 () 4 pp vRr l 第三章第三章 流体的运动流体的运动 3.4 3.4 黏性流体的运动规律黏性流体的运动规律 医学物理学