医用高等数学：D1_5极限运算法则

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min 21 一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则 定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim 0 xx ,0lim 0 xx ,0,0 1 当 10 0 xx时 , 有 2 , 0 2 当 20 0 xx时 , 有 2 取则当 0 0 xx 22 因此 .0)(lim 0 xx 这说明当 0 xx 时,

2、为无穷小量 . 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 ! 例如，例如， 1 2 1 1 lim 222 nnnn n n 1 ( P57 题 4 (2) ) 解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),( 10 xUx Mu 又设,0lim 0 xx 即,0,0 2 当),( 20 xUx 时, 有 M 取,min 21 则当),( 0 xUx 时 , 就有 uu M M 故,0lim 0 u xx

3、即u是 0 xx 时的无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求. sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 利用定理 2 可知.0 sin lim x x x 说明说明 : y = 0 是 x x y sin 的渐近线 . Ox y x x y sin 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA 定理定理 3 . 若 说明说

4、明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA 说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 ) 推论推论 2 . nn xfxf )(lim)(lim( n 为正整数 ) 例例2. 设 n 次多项式,)( 10 n nn xaxaaxP试证 ).()(lim 0 0 xPxP nn xx 证证: )(lim 0 xP n xx 0 a xa xx 0 lim 1 n

5、xx n xa 0 lim )( 0 xP n 定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有 )( )( lim xg xf )(lim )(lim xg xf B A 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若,lim,limByAx n n n n 则有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(时且当Byn B A y x n n n lim BA BA 提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 ! 3

6、 1 lim 3 x x x 例例3. 设有分式函数, )( )( )( xQ xP xR其中)(, )(xQxP都是 多项式 ,0)( 0 xQ试证: . )()(lim 0 0 xRxR xx 证证: )(lim 0 xR xx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP )( 0 xR 说明说明: 若,0)( 0 xQ 不能直接用商的运算法则 . 例例4. 9 34 lim 2 2 3 x xx x)3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2 3 1 若 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求. 45 32 lim 2

7、 1 xx x x 解解: x = 1 时, 32 45 lim 2 1 x xx x 0 312 41512 45 32 lim 2 1 xx x x 分母 = 0 , 分子0 ,但因 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求. 125 934 lim 2 2 xx xx x 解解: ,分子时x.分母 2 2 11 11 25 934 lim x x x x x 分子分母同除以 , 2 x 则 5 4 “ 抓大头抓大头” 原式 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果： 为非负常数 )nmba,0( 00 mn 当( 如如 P47 例例5 ) ( 如如 P47 例例6

8、 ) ( 如如 P47 例例7 ) m mm x axaxa 1 10 lim n nn bxbxb 1 10 , 0 0 b a ,0 , mn 当 mn 当 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 定理定理7. 设,)(lim 0 ax xx 且 x 满足 10 0 xx时, ,)(ax 又,)(limAuf au 则有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim 0 x xx 则类似可得 )(lim 0 xf xx Auf u )(lim 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求 解解:

9、 令 . 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 2 x x u, 仿照例4 u x3 lim 6 1 3 1 lim 3 xx 原式 = u u 6 1 lim 6 1 6 6 ( 见见P34 例例5 ) 例4 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求 解解: 方法方法 1 . 1 1 lim 1 x x x ,xu 则, 1lim 1 u x 令 1 1 1 1 2 u u x x 1 u 原式) 1(lim 1 u u 2 方法方法 2 1 1 lim 1 x x x 1 ) 1)(1( lim 1 x xx x ) 1(lim 1 x x 2 目录 上页 下页 返回 结束 思

10、考题 请证明 0 sin lim1 x x x 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 0 ) 1xx 时, 用代入法( 要求分母不为 0 ) 0 )2xx 时, 对 0 0 型 , 约去公因子 x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量 Th1Th2Th3Th4Th5Th7 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习 1. ,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf )(

11、)(limxgxf 是否存在 ? 为什么 ? 答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg 利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件 矛盾. ? 321 lim 2222 n n nnn n 解解: 原式 2 2 ) 1( lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n 2 1 2. 问 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求. )1(lim 2 xxx x 解法解法 1 原式 = xx x x 1 lim 2 1 1 1 1 lim 2 x x 2 1 解法解法 2 令 , 1 x t tttt 1 1 11 lim 2 0 2 1 则 原式 = 2 2 0 11 lim t t t 11 1 lim 2 0 tt 0t 目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 a 使.0)1(lim 33 xax x 解解 : 令, 1 x t 则 t a t t 3 3 0 1 1lim0 01a t at t 33 0 1 lim 01lim 33 0 at t 故 1a因此 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14) 3 (1) 5 第六节 目