小波变换的理论基础及应用—论文

1、小波变换的理论基础及应用 专业班级 电气工程学院 姓 名 学 号 任课教师 日 期 目录目录 一、小波分析的发展历史和前景.1 二、小波变换的理论基础.2 2.1 连续小波变换.2 2.2 离散小波变换 .3 2.3 二进小波变换 .4 2.4 多分辨分析与二尺度方程 .4 2.4.1 多分辨分析.5 2.4.2 二尺度方程.6 2.5 mallat 算法 .6 2.5.1 mallat 算法的综述 .6 2.5.2 mallat 分解算法 .7 2.5.3 mallat 合成算法 .8 2. 6 小波基和小波函数的选取.9 2.6.1 小波基选择的标准.9 2.6.2 小波基选择的五要素.9

2、 三、小波变换的应用.10 3.1 图像、信号压缩 .10 3.2 小波降噪 .10 3.3 小波在信号处理中的应用 .11 3.4 小波变换在故障诊断中的应用 .11 3.5 小波变换在边界检测中的应用 .11 3.6 小波变换的结合应用小波网络等 .12 参考文献.12 小波变换的理论基础及应用小波变换的理论基础及应用 一、小波分析的发展历史和前景一、小波分析的发展历史和前景 1984 年,法国地球物理学家 morlet 在分析地震波的局部特性时首次采用了 小波变换。随后，理论物理学家 grossman 对 morlet 的这种信号按一个确定 函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无

3、疑为小波分析的形成开了 先河。由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特 点,因此被誉为“数学显微镜” 。小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和 平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信 号,这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征。这些特征可用来表示原始 信号的局部特征,进而实现对信号时间、频率的局部化分析,从而克服了傅里叶 分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。随着小波理论的日趋成 熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视,它已广泛地应用于信号处理、图像 处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、ct 成像、彩色复

4、印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科 技领域。最近几年,一些学者将小波变换与人工智能及其它理论相结合进行研究,并 且已经取得了重要的成果。 小波分析是科学家，工程师和数学家们共同创造的，反映了大科学时代学 科之间的综合、渗透的优势。小波理论来自 fourier 分析，思想也来源于 fourier 分析，它不能完全取代 fourier 分析，它是 fourier 分析的新发展。 小波理论与 fourier 分析的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证 实。小波分析的发展一方面需要从理论上提高和丰富，尤其是三维和三维以上 的小波理论（因为它们还很不成熟） ；另

5、一方面，需要在应用中提出更多的研究 课题，使小波应用的深度和广度得到进一步拓展。由于小波理论处理问题特殊 技巧和特殊效果，小波分析不仅为纯粹数学和应用数学提供了强有力的工具， 而且是多媒体、信息高速公路某些核心技术的理论保证。 二、小波变换的理论基础二、小波变换的理论基础 2.1 连续小波变换连续小波变换 定义 1 设 ，其傅里叶变换为，当满足容许条件 2 tlr w w （完全重构条件）： （1） 2 ( ) cd 时，则称为一个基小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得到： t t （2） , 1 ( ), a b tb t a a ,0a br a 称为一个小波序列，其中 a 为伸缩因子，

6、b 为平移因子。 对于任意的函数的连续小波变换为： 2 f tlr （3） , 1 ( , ),( ) fa b tb wa bf ttf tdt a a 其重构公式为： （4） , 2 00 11 ( , )( ) fa b f twa bt dbda ca 由于基小波生成的小波在小波变换中对小波分析的信号起着观测窗 t , ( ) a b t 的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： t （5） t dt 因此是一个连续函数。所以，式（1）所要满足的完全重构条件是：当 w =0 时，=0。零频处的零值同时也说明了小波在时域的均值为零： w （6） (0)0t dt 为了使信号重构的实现在

7、数值上使稳定的，还要求小波函数的傅里叶变换 t 满足下面的稳定条件： 2 2 j awb （7） 上式中。0ab 注意（2）式中加因子的作用是，在不同的 a 值下的能量保持相等。 1 a , ( ) a b t 设 是基本小波的能量，则的能量为 2 =tdt （） , ( ) a b t （8） 2 2 11 = tt dtdt aaa a 2.2 离散小波变换离散小波变换 在实际应用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。因此， 有必要讨论一下连续小波和连续小波变换的离散化。需要指出 , ( ) a b t( , ) f wa b 的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续

8、平移参数 b 的，而不是针 对时间变量 t 的，这一点与以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑 函数 这里，是容许的。为方便，在离散化中， , 1 ( )() a b tb t a a ,0a br a 总限制 a 只取正值，这样相容性条件就变为： （9） 0 ( ) t cdw w 通常把连续小波变换中尺度参数 a 和连续平移参数 b 的离散化公式分别取 作为，这里。扩展步长为是固定值，为方便起见， 000 , jj aa bka bjz 0 1a 总是假设，则所对应的离散小波函数为： 0 1a (10) /2/2 00 ,0000 0 ( )() j jjj j k j tka b

9、taaa tkb a 离散化小波变换系数则可表示为： (11) , 2 00 1 ( , )( ) j kfa b cwa bt dbda a 其重构公式为： (12) , ( )( ) j kj k jk f tct 2.3 二进小波变换二进小波变换 在实际应用中，常用下面的等价形式来定义小波变换。 定义 2 设，满足容许性条件，记 2 ( )t( )f tr，（）lt（） ，则称： s 1 t( ),0 t s ss （）= (13) , 1 ,*( ) fs b r bt ws bftf tdt ss 为的小波变换。上述小波变换也称为卷积型小波变换。 2 ( )( )f trl 定义 3

10、 设，满足容许性条件，称 2 ( )t( )f tr，（）lt（） （14） j 2 , 1 2 ,*( )( ) () 22 j f jj b r bt wbftf tdt 为的二进小波变换。( )f t 二进小波变换介于连续小波变换和离散小波变换之间,它只是对尺度参量进 行了离散化,而在时间域参量仍保持连续变化,因此二进小波变换仍具有连续小 波变换的时移不变性,这使它同离散小波变换相比具有的独特优点，二进小波变 换可以大大减少小波系数的冗余度。 2.4 多分辨分析与二尺度方程多分辨分析与二尺度方程 多分辨分析(multi 一 resolutionanalysis,简记为 mra),又称为多

11、尺度分 析,是建立在函数空间概念上的理论,但其思想的形成来源于工程上其创立者 mallat 是在研究图象处理问题时建立这套理论的,当时人们研究图象的一种很 普遍的方法是将图象在不同尺度下分解,并将结果进行比较,以取得有用的信息 ，meyer 提出正交小波基后,mallat 想到是否能用正交小波基的多尺度特性将 图象展开,以得到图象不同尺度间的“信息增量。这种想法导致了多分辨分析 理论的建立。多分辨分析不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法,而且 为正 交小波变换的快速算法即 mallat 算法提供了理论依据。 2.4.1 多分辨分析多分辨分析 关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分

12、解进行说明，其小波 分解 树如图 1 所示： s a2 a1d1 d2 a3d3 图 1 三层多分辨分析树结构图 从图 1 可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予考虑。分解的关系为。这里只是以一个层分解 3321 saddd 进行说明，如果要进一步分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频 3 a 4 a 部分，以下再分解依此类推。我们必须牢牢把握一点，其分解的最终目的是 4 d 力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不 2 lr 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上边的多分辨分析树型结构 图 1 可以看出，多分辨分析只对低频空

13、间进行进一步的分解，使频率的的分辨 率变得越来越高。 定义 4 空间中的多分辨分析是指)中满足如下条件的一个空间序 2 lr 2 lr 列： 2 j j z lrv （1） 单调性：。 1,jj vvjz （2） 逼近性：。 2 = 0close jj j z vvlr ， （3） 伸缩性：。伸缩性体现了尺度的变化，逼 1 ( )(2 ) jj f tvftvjz 近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 （4） 平移不变性：对任意，有。kz /2/2 22 jj jj tvtkv （5） riesz 基存在性：存在，使得构成的 riesz 基。 0 tvtk kz j v 2.4.2 二

14、尺度方程二尺度方程 二尺度方程是多分辨分析赋予尺度函数和小波函数的最基本的 tt（） 特征，它描述的是两个相邻尺度空间和以及尺度空间和小波空间 1j v j v 1j v 的基本函数和以及和)之间的内在本质联系。由 j w 1,jk t , j k t 1,jk t , j k t 多分辨分析的概念得知：和分别为尺度空间和小波空间的一 tt（） 1j v j w 个标准正交基函数，又由于，所以和也必然属 12jj vv 1jj ww tt（） 于空间，也即和可以用空间的正交基线性展开： 2j v tt（） 2j v 1,jk t 01,0 ( )2(2) jk k zk z thkthktk

15、（15） 11,1 ( )2(2) jk k zk z th kth ktk （16） 其中展开系数和不随尺度 j 的变化而变化。 0 hk 1 h k 2.5 mallat 算法算法 在小波变换中,mallat 算法占有非常重要的地位,相当于 fourier 变换中的 快速 fourier 算法。1987 年,mallat 将计算机的多尺度分析思想引入到小波分 析中,提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造, 并且提出了相应的分解和重构的快速算法,即 mallat 算法。 2.5.1 mallat 算法的综述算法的综述 多分辨分析是构造正交小波基的有力工具,下面从多分

16、辨分析出发,我们 可以得到正交小波变换和反变换的快速算法。 由多分辨分析和二尺度方程的理论,设是)中的正交小波 , , ( ) j k j k z t 2 lr 基,则对任意的信号有如下的无穷级数展开式: 2 f tlr （17） , , , j kj kj kj k j k z f tdtdf tt 因为一般的不具有初等解析表达式,直接用公式求展开系数是很不方 , j k t , j k d 便的。任取，设为空间到空间的正交投影算子，为 2 ( )f tlr m p 2 lr m v m q 空间到空间的正交投影算子,则有: 2 lr m w （18） , , jj kj kjj kj k

17、k zk z p fcq fd 其中： , , j kjj kj kj kjj kj k cp ffdq ff 小波系数实际上就是离散二进网格上的小波变换,这样多分辨分析和小波分 , j k d 析就联系起来了。 由得到：，也即下面的灯饰成立： j 1jj vvw 1jjj pfp fq f 1,1,jkjkj kj kj kj k k zk zk z ccd （19） 2.5.2 mallat 分解算法分解算法 以下要解决的问题是,若尺度系数已知，给出计算尺度系数 1, cj k k z 和小波系数的算法，即 mallat 分解算法。为了简化分析,总是 , cj k k z , j k k

18、z d 假设都是实函数,在数学推导过程中忽略积分式中的复共扼。 ttf t、 由二尺度方程得到: 2 , 1 1 2 0 1 1 2 0 01, 22 =222 =222 =2 j j j k j j n z j j n z jm n z ttk hntkn hmktm hmkt 从而有： , 01, 01, 01, =2 =2 =2 j kj k r jm r n z jm r n z jm n z cf tt dt f thmktdt hmkf tt dt hmk c （20） 同理可以推出： ,11, =2 j kjm n z dh mk c （21） 数学表达式(20)和(21)就是

19、mallat 算法分解公式。 mallat 算法的分解过程可以用一个金字塔式逐次分解的图来表示,其中令 ，系数的塔式分解用图 2 来表示： , jj k k z cc ,jj k k z dd c0 c1c2 .cn-1cn d1d2d3 dn 图 2 2.5.3 mallat 合成算法合成算法 下面来推导 mallat 合成算法,也就是在上面系数的塔式分解图中,如何由 来求出。 n21n c 、d、 d、d 0 c 由上面的推导,我们知道: （22） 1,1, mmm jmjmj mj mj mj m zzz ccd 将等式（22）两边同时与作内积得： 1,jk （23） 1,0,1 m 2

20、2 jmj mj m z cchkmdh km 数学表达式(23)就是 mallat 算法的合成公式。 2. 6 小波基和小波函数的选取小波基和小波函数的选取 2.6.1 小波基选择的标准小波基选择的标准 在小波分析中,如何选取最佳的小波基函数目前还没有一个理论标准。一般 是依照小波基函数的属性、被检信号的特征和所作分析的具体要求而定。在小 波变换过程中,如果信号所含波形和所选取的小波基函数形状相近,那么这个信 号中所包含的和小波基函数波形相近部分的信号特征将被放大,而不同形状特征 的其他部分信号将被抑止。而小波变换后的小波系数表明了小波与被处理的信 号之间的相似程度。如果小波变换后的小波系数

21、比较大,就表明小波和信号的波 形相似程度比较大,反之则比较小。另外,还要根据信号处理的目的来决定尺度 的大小,如果小波变换仅仅要反映信号整体的、近似的特性,则往往选用较大的 尺度,反映信号细小、细节上的变化选用尺度较小的小波。在实际应用中有一些 经验,对于具有高阶奇异性的暂态信号,必须选择具有相当消失矩的小波基;低频 信号中检测弱暂态信号,应尽量选择中心频率较高的小波基,以防止低频成分的 影响和渗入,可有效抑制低频分量,提取暂态成分;窄带干扰中提取暂态信号,应 选择过度带窄、具有良好分频能力的高阶小波,有利于去除高频干扰,提取频带 较宽的暂态。 2.6.2 小波基选择的五要素小波基选择的五要素

22、 小波基的选取不同,特征值的结果就不同。在不同的应用领域,小波基的选 取标准不同,不同的小波基适用不同的具体情况。小波基选取应从一般原则和具 体对象 2 个方面进行考虑。对于小波函数的选择一般考虑以下几个特征:正交性,紧 支性,对称性, 正则性,消失矩。 (1)正交性:正交性保证了小波变换之间不存在关联,即频率不混叠,消除了 信息的冗余度,使变换结果能更清晰的反映信号本身的性质。 (2)紧支性:如果小波有紧支集,称小波是紧支的,它是小波的重要性质。小 波 具有紧支性,从数学上讲,它保证了函数是收敛的,有利于算法的实现。如当时间 时小波基函数快速衰减或具有指数规律衰减则称小波函数急衰或急降t 的

23、。紧支性与衰减性是小波的重要性质。紧支宽度越窄或衰减越快,小波的局部 化特性越好。如果要分析的信号属于变换较平缓的信号,则可选择支集长度宽的 小波函数,对于变化剧烈的信号选择支集窄的小波函数;紧支宽度越窄,小波的局 部化特性越好,但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的,最多有一个是紧 支的。 (3)对称性:它关系到小波的滤波特性是否具有线性相位,这与失真问题密切 相关。如果尺度函数和小波函数是对称的,那么可以构造紧支的正则小波基,而 且滤波器具有产生线性相位,没有这种性质会导致相位扭曲。但是构造一个既具 有正交性,又具有紧支集以及对称性的小波函数实际上是难以做到的。若要保证 对称性,就会影响

24、到正交性。同样,若要保证小波的正交性,就会影响到小波的对 称性。 (4)正则性:正则性也被称为光滑度,关系到频率分辨率的高低。如果小波正 则 性越高,函数越光滑,对于大部分正交小波基正则性越高就意味着更高的消失矩。 (5)消失矩:消失矩的物理意义可以看作是利用小波函数逼近某一个信号时的 收敛率。在信号作小波变换时,要求小波在时域和频域都具有紧支性或者急衰性,而 且需要紧支宽度窄或者衰减速度快。分析突变信号时,为了能够有效地检测出奇 异点,所选的小波基必须具有足够高的消失矩。 三、小波变换的应用三、小波变换的应用 3.1 图像、信号压缩图像、信号压缩 小波在图像处理中的应用始于 1989 年，是

25、 jpeg2000 的核心技术。图象是 二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。 （1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。 （2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。 小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如 jpeg2000。 1、小波变换用于图象特征抽取； 2、小波变换用于图象压缩； 3、小波变换用于无损数据隐藏； 4、数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复) ； 5、水可印图象； 6、小波变换用于无损数据隐藏（交通图象） ； 7、小波变换用于图象水印； 3.2 小波降噪小波降噪 小波降噪主要包括：小波模极大值降噪、基于小波系数尺度间相关性的去

26、 噪法、小波阈值去噪法。其中以小波阈值降噪方法最为经典。小波阈值降噪法 的基本原理是，经小波变换后得到的小波系数，包含信号本身信息和噪声信息， 一般情况下，随机噪声的小波系数非常小，这样可以设定一个阈值，对小于该 阈值的小波系数置零，然后利用处理后的小波系数重构原信号即可实现降噪。 根据阈值选择方法的不同，可以分为硬阈值、软阈值和自适应阈值，也有些研 究者在此基础上对阈值函数进行了改进，提出了改进阈值函数。工作流程如图 3： 预处理 用小波变换作 多尺度分解 分尺度去噪 反演小波 变换 含噪信号去噪后的信号 图 3 小波分析是一种处理非平稳信号的有力武器，兼顾了高频分析对时间分辨 率的要求和低

27、频分析对频率分辨率的要求，因此非常适合处理频谱特性随时间 变化的非平稳语音信号。使用离散小波变换将原信号分解，用多分辨率系数表 示信号的高频部分和低频部分，然后将每个分辨率下的小波系数的频谱拼接成 完整的频谱，再用 mel 频域滤波器组将频谱转变成维数较低的特征参数。在小 波变换后 对不同分辨率的系数各自作 fit 变换，再通过一级量化后，根据它们的分辨率 级数将它们的频谱拼接成完整的频谱。 3.3 小波在信号处理中的应用小波在信号处理中的应用 信号的非连续性包括信号的间断、突变、变形等等，这些非连续信号对分 析和提取突发短信号非常有用。小波变换可用于奇异性检测、信号的分解与重 构、去噪与数据

28、压缩。 3.4 小波变换在故障诊断中的应用小波变换在故障诊断中的应用 小波可用于机械故障诊断，比如转子裂纹故障。在单跨转子实验台上，对 含有裂纹的转子系统进行实验，模拟现实生产中旋转机械出现的转子裂纹故障， 把采集到的故障信号，利用三维谱振图和小波尺度图结合进行分析。三维谱振 图可以粗略地提取裂纹故障特征，而重分配小波尺度图可以对故障特征进行精 确提取，二者相互补充，可以更好地揭示裂纹故障信号的频率结构，特别是在 12 临界转速下能检测出能量相对较小的二倍频分量；系统在 2 倍临界转速时， 会产生 12 次谐波共振，随着裂纹的加深，会产生高次谐波，这些频率特征可 以作为诊断裂纹故障的一个依据。

29、 3.5 小波变换在边界检测中的应用小波变换在边界检测中的应用 计算机图像处理和视觉识别中的一个重要问题是边界检测，它是有效划分 图像组成部分的前提，可认为是信号中的瞬态变化，即与相邻元素的强度相比 具有较大的改变，在数学中，边界点有最高的一阶导数并且其二阶导数为零， 目前图像边界检测方法 是利用空间域和频率域中的滤波器，也称为算子或面具， 常用的算子有 so-bel 算子和 laplacian 算子。这两种算子运算都很简单，但主 要缺陷是不能分辨噪音信号。在小波变换检测边界的应用中，小波函数选用的 是一种具有高斯形状脉冲的一阶导数，与 sobel 算子类似，在使用小波技术时 也需将小波函数分

30、别用于检测横向和纵向的边界，再相加以得到整个边界。总 而言之，小波变化在检测图像边界时具有如下优点：小波的多分辨率特性可以 从不同的尺度分析边界；小波变换还可以算边界的相位角信息，为图像划分提 供方便；可以有效地压缩信息，但其主要缺点是计算复杂，耗时较长。 3.6 小波变换的结合应用小波变换的结合应用小波网络等小波网络等 随着小波的发展，目前小波在工程上与其他学科交叉应用变得普遍，小波 变换与神经网络的结合（1990 年张清华） ，实现精确的函数拟合和预测；多小 波的快速发展（二代小波、三代小波） ；正交小波变换在滤波领域的应用（对滤 波信号进行预处理，得到一组正交信号，利用正交信号的优良性质在滤波处理 后重构回原信号） ；小波变换与 ica 算法的结合（解决了单通道混合信号的分离 问题） ；小波变换还用于