四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学上学期期中试题理

1、四川省眉山一中办学共同体2019 届高三数学上学期期中试题理第 i 卷（选择题）一、选择题（本题共12 道小题，每小题 5 分，共 60 分 , 每个小题仅有一个正确答案）1. 已知集合 a x | x22x 3 ， b x | 2x1 ，则 a b （）a 0,3b (0,3c 1,+ )d 1,1)2. 非零向量 a, b 的夹角为，则”(0,) ”是“ cos0 ”的 ()2a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3.各项均为正数的等比数列an中，aa44 ，则 aaa3的值为（）21 5a.5b.3c.6d.84.|x|始终满足0|f （ x）| 1，则函数

2、 y=log |1若当 x r 时，函数 f （ x）=a| 的图象大致为ax（）abcd5. 设0 ，函数 y sin x2 的图像向右平移4 个单位后与原图像重合，33则 的最小值是（）a 2b 4c.3d 33326. 若直线 yx 与曲线 yex m（ mr ，e 为自然对数的底数）相切，则 m（）第 - 1 -页a 1b 2c.-1d -27.圆 x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（ a 0，b0）对称，则 + 的最小值为（）a 3+2b9c16d 188. 设等差数列an 的前项的和为sn ，若 a60 ，a70 ，且 a7a6 ，则（）as s

3、0s s0s s0s s 0c.1112b 11 121112d 11 129. 设函数 f ( x)log2 ( x), x02 ( x)af ( x)0 恰有三个不同的实数2x, x0，若关于 x 的方程 f根，则实数 a 的取值范围是（）a0,)b(0,)c(1,)d 1, )10. 已知定义在r 上的可导函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若对于任意实数x ，有f (x)f ( x) ，且 yf ( x)1 为奇函数，则不等式f ( x)ex 的解集为 ( )a (,0)b (0,)c (, e4 )d (e4 ,)11. 已知 m ，n 是两个非零向量， 且 m1， m2n3

4、 ，则 m nn的最大值为 ()a 5b 10c4d512. 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少1 本，第 - 2 -页不同的分配方法数有（）a 24b28c 32d 36第 ii卷（非选择题）二、填空题（本题共4 道小题，每小题5 分，共 20 分）13.复数1i2 , 则.i| z |z1i14.已知（ 1+ax）(1+x)5 的展开式中 x2的系数为 5，则 a=cos10015. 2 sin10 02 cos100.16. 若双曲线 c 的右焦点 f 关于其中一条渐近线的对称点p 落在另一条渐近线上，则双曲线 c的离心率 e三、解答题（本题共 6 道小题

5、 , 选做题 10 分，其余题每题12 分，共 70 分）17.（本小题满分12 分）已知函数fx2sin xcos xcos x，x0 ，32（ 1）求 f；（ 2）求 fx 的最大值与最小值 .618. （本小题满分12 分）已知an 为等差数列， 前n项和为sn (n n ) bn 是首项为2，的等比数列，且公比大于0， b2b312 , b3a42a1 ， s1111b4 .（）求 an 和 bn 的通项公式；（）求数列 a2n b2 n1 的前 n 项和 (n n ) .19. （本小题满分 12分）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如

6、下频率分布直方图：（）求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2 ;第 - 3 -页（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z 服从正态分布n ( , 2 ) ，其中近似为样本平均数x ，2 近似为样本方差s2.（ i ）利用该正态分布，求p(187.8 z 212.2)；（ ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记x 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 ex .附：150 12.2.若 z n ( ,2 ) ，则 p(z) =0.6826 ， p(2z

7、2 ) =0.9544.20. （本小题满分12 分）如图，矩形abcd中， ab6， ad2 3 ，点 f 是 ac上的动点 .现将矩形abcd沿着对角线ac折成二面角d acb ，使得 d b30 .（ 1）求证：当 af3 时， d fbc ；（ 2）试求 cf 的长，使得二面角 ad fb 的大小为 .4121. （本小题满分12 分）已知函数f ( x)ax2ln x(ar) 有最大值，2g( x) x22xf (x) ，且 g ( x) 是 g(x) 的导数 .（ 1）求 a 的值；（ 2）证明：当 x1x2 ， g ( x1 ) g ( x2 ) 30时， g (x11x2 ).

8、2请在 22、 23 两题中任选一体作答，多选则按所答的第一题计分，作答时用2b 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22. （ 10 分）已知f(x)=|x+1| |ax 1| （ 1）当 a=1 时，求不等式 f(x) 1 的解集；（ 2）若 x (0,1) 时不等式 f(x) x 成立，求 a 的取值范围23. 以直角坐标系的原点o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 m的直角坐标第 - 4 -页为 (1,0)，若直线 l 的极坐标方程为 2 cos() 1 0 ，曲线 c 的参数方程是x4t 2（ t4y4t为参数）（ 1）求直线 l 和曲线 c的普通方程；（ 2）设直

9、线 l 和曲线c交于 a，b 两点，求11mamb眉山一中办学共同体高三第五学期11 月考试数学试题 ( 理工 )第 i 卷（选择题）一、选择题（本题共12 道小题，每小题 5 分，共 60分 , 每个小题仅有一个正确答案）1. 已知集合 a x | x22x3 ， b x | 2x1 ，则 ab （ b）a0,3b(0,3c 1,+ )d 1,1)2. 非零向量 a, b 的夹角为，则”(0,) ”是“ cos0 ”的 ( a)2a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3. 各项均为正数的等比数列an 中， a2 a44 ，则 a1 a5a3 的值为（ c）a.5

10、b.3c.6d.84. 若当 x r 时，函数 f （ x）=a|x| 始终满足0 |f （x）| 1，则函数y=log a| 1 | 的图象大致为x（ b）ab第 - 5 -页cd【解答】 解：当 xr 时，函数 f （x）=a|x| 始终满足 0 |f （ x）| 1因此，必有0 a 1先画出函数 y=log a|x| 的图象：黑颜色的图象而函数y=log a|= log a|x| ，其图象如红颜色的图象故选 b5. 设0 ，函数 y sinx2 的图像向右平移4个单位后与原图像重合，则的最33小值是（）a 2b 4c.3d 33325.d6. 若直线 yx 与曲线 yex m（ mr ，

11、e 为自然对数的底数） 相切，则 m （）a1b2c.-1d-26.c7. 圆 x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（a 0，b 0）对称，则 +的最小值为（）a 3+2b 9c16d 187.d【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆x2+y2+4x 2y 1=0 上存在两点关于直线ax 2by+1=0（ a 0， b 0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项第 - 6 -页【解答】解：由圆的对称性可得，直线 ax 2by+1=0 必过圆心（2， 1），所以 a+b=所以 +=2（+ ）（ a+b）=2（ 5+ +）

12、 2（ 5+4） =18，当且仅当=，即 2a=b 时取等号，故选d8. 设等差数列an 的前项的和为sn ，若 a60 ，a70 ，且 a7a6 ，则（）a s11s120b s11s120c.s11 s120d s11s1208.c，故选 c.9. 设函数 f ( x)log2 (x), x0x 的方程 f 2 ( x) af ( x)0恰有三个不同的实数2x, x 0，若关于根，则实数 a 的取值范围是（）a 0,)b (0,)c (1,)d 1,)9.d作出函数yf (x) 的图象 . 因为由方程 f 2 ( x)af ( x)0 , 得 f ( x)0 或 f ( x) a . 显然

13、f (x ) 0有一个实数根 x1 , 因此只要 f ( x)a 有两个根 ( 不是 x1 ), 利用图象可得 ,实数 a 的取值范围是 1,) .10. 已知定义在 r 上的可导函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若对于任意实数x ，有f (x)f ( x) ，且 y f (x )1 为奇函数，则不等式 f ( x)ex 的解集为 ( )a (,0)b (0,)c (, e4 )d ( e4 ,)第 - 7 -页10.b11. 已知 m ，n 是两个非零向量， 且 m1， m2n3 ，则 mnn的最大值为 ()a5b10c4d511.b8.将 3 本相同的语文书和2 本相同的数学书分

14、给四名同学，每人至少1 本，不同的分配方法数有（）a 24b28c32d 3612.b【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由敌意分为3 类，第一类，先选1 人得到两本语文书，剩下的3 人各得一本，第二类，先选1 人得到一本语文书和一本数学书，其余3 人各一本书，第三类，先选1 人得到两本数学书，剩下的3 人各得一本根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，先选1 人得到两本语文书，剩下的3 人各得一本，有 c411c3 =12 种，第二类，先选1 人得到一本语文书和一本数学书，其余3 人各一本书，有c4 1c3 1=12 种，第三类，先选1 人得到两本数学书，剩下的3 人各得一本，有1种，c

15、4 =4根据分类计数原理可得，12+12+4 种，故选： b第 ii 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共 20 分）1 i2i, 则 | z |.13. 复数 z1 i14. 已知（ 1+ax）(1+x) 5 的展开式中 x2 的系数为 5，则a=14.-1第 - 8 -页15. cos1002 cos100.2 sin10015. 3216. 若双曲线 c 的右焦点 f 关于其中一条渐近线的对称点p 落在另一条渐近线上，则双曲线c的离心率 e16.213.解答题（本题共6 道小题 , 选做题 10 分，其余题每题12 分，共 70 分）17.（本小题满分12 分）已知函

16、数fx2sin xcos xcos x，x0 ，32（ 1）求 f；6（ 2）求 fx的最大值与最小值.17. 解：（ 1） cos()3, ， sin12266所以 f ( ) 2 1 ( 33 )3,6222（ 2）f x2sin xcos x3cos x2sin x1 cosx3 sin x cos x22因为 x0 ，所以 2 x6，5.266又因为 ysin z在区间6，上是递增，在区间，5上递减 .226所以，当2x6，即 x3时， fx有最大值 33 ；22当 2 x，即 x0 时， fx 有最小值 0 .66四、（本小题满分12分）已知 an 为等差数列， 前 n 项和为 sn

17、 (n n ) ， bn 是首项为 2第 - 9 -页的等比数列，且公比大于0， b2b312 , b3a42a1 ， s1111b4 .（）求 an 和 bn 的通项公式；（）求数列 a2n b2 n 1 的前 n 项和 (nn ) .18. （ i ）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q .由已知 b2b312 ，得 b1 (qq2 )12 ，而 b12 ，所以 q2q60 .又因为 q0 ，解得 q2 . 所以， bn2n .由 b3a42a1 ，可得 3da18 .由 s11=11b4 ，可得 a1 5d 16 ，联立，解得a11， d3 ，由此可得 an3n

18、2 .所以，数列 an 的通项公式为an3n2 ，数列 bn 的通项公式为bn2n .（ ii ）解：设数列 a2 nb2n 1 的前 n 项和为 tn ，由 a2n6n2， b2 n 124n 1，有 a2 nb2n1 (3n1)4n ，故 tn2 45 42843(3n1)4n ，上述两式相减， 得 3tn243 4234334n(3n 1) 4n 1得 tn 3n2 4n 1 8 .33所以，数列 a2nb2 n 1 的前项和为 3n 24n 18.33五、（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求

19、这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2 （同一组中的数据用该组区第 - 10 -页间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z 服从正态分布n (,2 ) ，其中近似为样本平均数 x ，2 近似为样本方差s2 .（ i ）利用该正态分布，求p(187.8z212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记x 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（ 187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求ex .附：150 12.2.若 z n (,2 ) ，则 p(z) =0.6826 ， p(2z2 ) =0.9544.1

20、9.( ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2 分别为（）（）由 ( ) 知 z n (200,150) ，从而（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 xb(100,0.6826) ，所以 ex1000.682668.2620. （本小题满分12 分）如图，矩形abcd中， ab6 ， ad2 3 ，点 f 是 ac上的动点 .现将矩形abcd沿着对角线ac折成二面角d acb ，使得 d b30 .（ 1）求证：当 af3 时，d fbc ；（ 2）试求 cf 的长，使得二面角ad f b 的大小为 .420. （

21、1）连结 df ， bf 在矩形 abcd 中，ad 2 3, cd 6 ,0ac 4 3, cab 30 ,dac 600 在adf 中， af3 ,df 2da 2af 22daafcosdac9 ，第 - 11 -页 df 2af 293da2 ，dfac ，即 d fac 又在abf 中， bf 2ab 2af 22 abafcoscab 21 ，在222( 21)22d fb 中， d ffb3d b ,bfd f , 又acfbf , d f平面 abc （ 2）解：在矩形abcd 中，过 d 作 deac 于 o ，并延长交 ab 于 e . 沿着对角线 ac 翻折后，由（ 1）

22、可知， oe,oc ,od 两两垂直，以 o 为原点， oe 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz ，则o(0,0,0), e(1,0,0), d (0,0,3), b(3,2 3,0) ,eo 平面 ad f ,oe (1,0,0) 为平面 ad f 的一个法向量设平面 bd f 的法向量为 n (x, y, z),由 n bd0, 得3x23 y3 z，取 y3, 则 x t 2 3, z t ,n (t 2 3,3, t ) 0n bf0,3x(t23) y0，cos| n oe | , 即| t2 3 |2 ,t3 4| n | oe |(t 2 3) 29 t 224当

23、cf11 3 时，二面角 adfb 的大小是4421. （本小题满分 12分） ? f ( x) ax 2ln x(ar) ?1, g( x)x22x f ( x) ,? g ( x) ? g (x) ?.2(1)?a?;(2)?:? x1 x2 , g ( x1 ) g ( x2 ) 3 0 ?, g ( x11x2 ).2（ 1） f ( x) 的定义域为 (0,) ， f (x) 2ax1x当 a0 时， f ( x)0 ，f (x) 在 (0,) 上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去,第 - 12 -页当 a0 ，令 f ( x)0 ，得 x1 ，2a当 x(0,10，函数 f

24、( x) 增；) ， f ( x)2a当 x(10，函数 f (x) 减， f (x)max f (111, ) ， f (x)ln,2a2a22a（ 2）由（ 1）可知， g ( x)1x22 x ln x ,g ( x)x12 2x12 ，g ( x)0 ,g (x) 在 (0,)上 增xx又 x1x2 ， g( x1 )g (x2 )3 且 g (1)3,0x11x2 ,2当 x1 ， g ( x)0 ， g (x) 增 ,要 g ( x1 x2 )1x2 )g (2)，只要 x1x22 ，即 x2 2 x1 ，即 g ( x12所以只要 g(2x1 )g (x2 )3g (x1 )g ( x1)g (2x1 )3 （ * ） ,设 g( x)g( x)g(2 x) x22x 2 ln xln(2x) （其中 0x 1） ,g( x) 在（