数列基础知识0001

1、数列基础知识数列基础知识梳理一、数列1、数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域 为正整数或它的有限子集1,234,，n的函数，即当自变量从小到大依次 取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形 式为仆色色，通常简记为”，其中是数列的笫n项，也叫通项。注意：1）”与心是不同的概念，表示数列，勺心，4,而“表示的是这个数列的第n项2）数列与集合的区别集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。2、数列的通项公式当一个数列”的第n项心与项数n之间的函数关系可以用一个公式 =/（/?）来表示，就把这个

2、公式叫数列”的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列仏”中的项或可确定是第几 项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。3、数列的表示方法数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种：1）解析法:通项公式和递推公式两种；2）列表法3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）84、数列的分类(1) 有穷数列和无穷数列(2) 单调数列，搬动数列，常数列5、与S”的关系“=帥=1)_乙_陥(沦2)6、等差数列1) 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于 同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做

3、等差数列的公差，公差 通常用字母表示定义的表示为:=(ncNn2)或者an-an =J(neN*)公差可正可负或为零，为零时，数列为常数列。2) 等差数列的通项公式an =纠+0?_1），对于第二个公式要求勺，心是数列中的项即可，也可表示为3) 等差数列的増减性 0。等差数列%为递增数列; v 0 o等差数列为递减数列; d=0 o等差数列为常数列。4) 等差中项任意两个数匕方有且仅有一个等差中项，即A =A = 出 o仏A上三个数构成等差数列o5）等差数列前”项和公式（倒序相加法）n，设第二个公式S” =昭+出二1 d可整理成S” = +A = -斗贝ljS”=An2+Bn, S”可看成是关

4、于“的二次函数（常数项为0）那么可以得出一下结论：（1）当 0是,S”有最小值；当 2）或者也= q（nwNjn-l%公比少0 ;当4 = 1时，数列为常数列。2）等比数列的通项公式3）等比数列的增减性 或?；：0或l I 丿q = dn为常数列； g0,此数列为递増数列；若公差VO,此数列为递减数列；若6/=0,此数列为常数列。(2) 有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之 和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2倍。(3) 若加,n,pyk e.NSjn+n = p+k,贝妝皿 + an = ap + ak ,特别地若+ = 2p,则知+心=2p此条性质可推广到

5、多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的 项数相同。(4) 等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等 差数列，但剩下的项不一定是等差数列(5) 等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即S”，S”S”,S”S2”,是等差数列。(6) 若数列匕和数列化是等差数列，则叫+k$也是等差数列，其中讥 为常数。(7) 项数为偶数2“的等差数列%,有Sg = (4 + “)=(6 + J ；% _S=nd;S奇_ 5S冏(也项数为奇数2“-1的等差数列,有n-i =(-l)aS個_ S奇=S奇_ ns 偶 n -12. 等比数列的性质(1)单调性(2)有穷等比

6、数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方。若m,p、k eN、Qjn + n = p+k,贝妝= aPak 特别地若m+n = 2p、则= ap(4) 等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等 比数列，但剩下的项不一定是等比数列.(5) 也(0),仏|皆为等比数列(6) 等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即S“,S2”-S”,-S2”,是等比数列。若数列和数列是等比数列,则哄彼,讐也是等比数列,其中 加为常数。三、等差数列、等比数列的判断方法1. 等差数列的判定方法定义法=do。”是等差数列；(2)通项公式法：+ q o “”是等差数列；中项公式法：2如 +2 oq是等差数列；前n项和公式法：S”二Ah +3“ od”