错位相减法求和附答案解析00839

1、错位相减法求和专项错位相减法求和适用于 anbn型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数 ，数列 的前项和为-，点 均在函数I的图象上(I)求数列的通项公式;(n)设，,-是数列 的前项和，求，解析考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般答案(I)由于二次函数门.;1的图象经过坐标原点，则设芒，：门;；|,飞=I上=.-;,匚二又点均在函数的图象上，当时I* 厂idi1 / 19(7 分)(n

2、)由(i)知迟-2 2_ 21 门上面两式相减得-Tfl =3 21 +2 (21 +23 + - + 2)-(2 + l) 2fl+l4屮一才丨,: .1=2整理得：，(14 分)2.已知数列 的各项均为正数是数列的前n项和，且(1)求数列的通项公式；(2)已知 = 2,求匚fi 碼妇+ A答案查看解析解析解出ai = 3,又 4Sn = a n2 + 2a n 3答案(1由，,得；.f,*占乩 他此+ 2（州-叫J,即心】2仏1=0 ,比 ：7 叫八二（-）,二数列是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二 = 3 + 2（ -1） =+ ITti =3x2 +5x2?+L +（切1）.又一

3、：-6 + -2-2fl +（2十】）2卄|12分3. （2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数 ： 11 1,数列岁梟前项和-f 1=宀 I ,数列，满足叱 J （I）求数列：的通项公式；（n）设数列 的前 项和为| ,数列的前项和为心，证明： 是以-为公比的等比数列，故 ：一(n)由 bK = /(hwhi= +用孔 60n ,即 3Jf 60 ,当忖兰 3 , 3或 60 ,当闪 3 4。3 60；的最小正整数为 4.(12分)6. 数列满足5 7 =小二等比数列满足乩二也二(I)求数列 ：,的通项公式；(n)设，求数列的前项和.解析(I)由，所以数列 是等差数列，

4、又，tl = U + (/J - | ) X 2 - In所以，= =i由八心7,所以，所以，即所以13 / 19因为 ,所以则: 7 - 2所以两式相减的二一 d?所以2厂V. （12 分）7. 已知数列 满足税勿0皆卞广，其中.为数列 的前 项和.（I ）求的通项公式；（n）若数列 满足：-（一），求 的前项和公式 .解析I ），ii一得，又 时，久TI-巧,两式相减得(13 分)厂1厂N c厂卜1 .厂恤*8. 设 d 为非零实数,an=n5d+2M】d2+ +(n-1) L n dn-1 + n%dn(n N).(I )写出ai, a2, a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明；

5、若不是，说明理由；(n )设bn=nda n(n N),求数列bn的前n项和Sn.答案(I 由已知可得 ai=d, a 2=d(1+d) , a 3=d(1+d) 2.当n 2, k 时=臣耳因此I右幽春汨dXCdMd+1) ,blan= K 0由此可见，当d工-1时，an是以d为首项，d+1为公比的等比数列；当d=-1时,a1=-1, a n=0(n 2)，此时an不是等比数列.(7分)(n )由(I )可知，an=d(d+1)n-1,从而 bn=nd 2(d+1) n-1,Sn=d 21+2(d+1) +3(d+1)2+ +(n-1) (d+1)n-2 + n(d+1)n-1.当 d=-1

6、时,Sn=d 2 = 1.当d工-1时，歐两边同乘d+1得(d+1) S n=d2(d+1) +2(d+1)2+ +(n-1) (d+1)n-1+ n(d+1) n.，式相减可得-dSn=d 21+(d+1) +(d+1)2+ +(d+1) n-1-n(d+1) n=d 2魁出阳)|.化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.综上,Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分)9. 已知数列an满足 a1=0, a 2=2,且对任意 m, n N*都有 a2m-1 +a 2n-1 =2a m+n-1 +2(m-n) 2(I )求 a3, a 5;(n )设 bn=a 2n+1

7、-a 2n-1 (n N*),证明:bn是等差数列；(川)设cn=(a n+1 -an) q n-1 (q丰0, n令N 求数列cn的前n项和Sn.答案(I 由题意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a 2-a 1+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a 3-a 1+8=20. (2 分)(n )证明：当n N *时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3 +a2n-1 =2a 2n+1 +8.于是a 2(n+1) +1 -a 2(n+1) -1 -(a 2n+1 -a 2n-1 )=8,即 b n+1 -b n=8.所以，数列bn是公差为8的等差数列.(5分)(川)由(I )、(

8、 n 的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.则 bn =8n-2,即 a2n+i -a2n-i =8n-2.另由已知(令m=1)可得，a n= 上-(n-1)訂2n+广切皿-i另E么,a n+i -a n =2-2n+1 =于是Cn=2nqn-1当 q=1 时，Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).当 q Ml 时,Sn=2 +4 1+6 #+ +2n 叩.两边同乘q可得qSn=2 &+4 q+6 3+ +2(n-1) n-1q+2n q.上述两式相减即得(1-q) S n=2(1+q 1+q 2+ +qn-1 ) -2nql-(n + l)n=2 FH -2nq

9、n=21-qIrwfi-G+q q+l所以Sn=2 综上所述5(n+l)(q-1) $怜冲沖(12 分)10. 已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列(1)求数列an的通项公式求数列an 的前n项和.答案(1)设数列an的公差为d(d丰0),由条件可知：(2+3d) 2=(2+d)2+7d),解得 d=2.(4 分)故数列an的通项公式为an=2n(n N*).(6分)(2)由(1)知an =2n x3n,设数列an 的前n项和为Sn, 则 Sn=2 x3+4 x3+6 x3+ +2n x3n,32Sn=2 x3+4 x3+ +(2n -2)x25 +2n

10、x3n+2 ,故-8Sn=2(3 2+34+3 6+ +32n)- 2n x3n+2 ,(8 分)I 初(an-lX9u+r+,)|.(12 分)11. 已知等差数列：. 满足込二二心-心、二覚又数列： 中，打二三且(1)求数列 :，:的通项公式；g f 27* 十(2)若数列 :，: 的前-项和分别是 S忑,求实数的取值范围色 + 2d = 5， +4/)2(t7, + rf) =答案(1)设等差数列妇戶的公差为L?,则有 . : . . ,.数列：是以 ：为首项，公比为的等比数列八 W 二二4 分1-3.立.:-.I .-I12 .轴 v XI I .得-：3I : | 分0 心-臥諾(亦

11、1)2+1卜霑如1)川二巩xI)k34 0 , / .当，：丨时,.取最小值，二* ,“叫身，即呱泊,当；丨时，恒成立；4解得一4即实数，.的取值范围是c W? 412. 设为数列；1 的前*项和，对任意的,都有-：皿为常数，且1，：（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列；讥的公比-丿八，数列满足江罪冷，.八；my，:,求数列卩的通项公式；r（3）在满足（2）的条件下，求数列I叫的前“项和答案188.（ 1）当；I时宀，解得山 1得2*2曲又嶋为常数，且十|-,77扁”2）擞列-rJ是首项为tn1,公比为的等比数列（2 ）由（1）得，丁 小“ I川，讣 ,17 / 19，匸（E）-,公差为1

12、的等差数列.2jj- 12?nn I一 2伽-1），则J；=2,xl+2?x34-23x5+* *+2*x（2Jt-3）-F2x（2il-l） ,_221 + 23+25+-2（2-3）+ 2-,（2-1） 丄打二1-2分1413. 设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S 2, a2n=2a n+1.(I )求数列an的通项公式彌2N*),求数列Cn(n )设数列bn的前n项和为Tn,且Tn+沪=入(为常数),令Cn=b 2n(n的前n项和Rn.答案(I设等差数列an的首项为ai,公差为d.由 S4=4S 2, a 2n =2a n + 1 得fid=+ 4(L2n)d= 202(11-1)(1+1*解得 ai=1, d=2.因此 an=2n- 1, n N.(n )由题意知：T