工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性体振动

1、第2章 弹性体的振动 2.1 弦的振动 2.2 棒的纵振动 2.3 模的振动 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 在第1章中，我们曾假定振动系统的质量是集中在一 点的，弹簧的压缩与伸长是均匀的，描述系统性质的一 些参数（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间位置无 关，这种系统称为集中参数系统。但实际上不少振动系 统质量在空间有一连续分布，并且空间某一部分的质量 本身还包含弹性和阻尼性质，这种系统称为分布参数系 统，具有这种性质的物体称为弹性体。实际中的弹性体 是多种多样的，我们仅选择几何形状比较简单，具有一 定典型性，并在声学问题中也有实际意义的弹性体如弦、 棒、膜等来进行简要分析。

2、工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.1 弦的振动 弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的 振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝 或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进 行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来 说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想 弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波 动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声 学问题的基础。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.2.1 弦振动方程 设有长为l，两端固定并被张紧的细绳，它的横截面积与 密度都是均匀的，在静止时

3、弦处于水平平衡位置，维持其平 衡的力是张力T，以N为单位。如果弦上的某点突然被移动， 偏离其平衡位置，并被释放，可以观察到，在它的初始位置 上的位移并没有保持固定，而是代之以沿弦传播的两个方向 各自扰动，一个向左一个向右，具有相等的速度，如图2-1所 示。 最后弦上形成一定的振 动形状，即产生一定的振动 方式。因为弦的各部分振动 与弦长垂直，而振动的传播 是沿弦长方向，因而弦的这 种振动方式称为横振动。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 我们取弦上的一个元段ds， 如图 2-2所示，以x及x dx表示 这一元段的两端点的水平位置， 则该元段在x轴上的投影为dx静 止时，弦处于水平平

4、衡位置，垂 直位移 ；当振动时，x处弦 离开平衡的垂直位移为 ，并假 定元段的垂直位移很小（小振 动），则在x点张力分量为 方向向下， 为弦在x点的切线与水平方向的夹角，它是 x的 函数，在 x dx处张力的垂直分量为 方向向上，于是作用在该元段上的垂直方向上的合力等于 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 由于是小振动，垂直位移 很小，因此 和 很小，则有 利用泰勒级数展开得 设弦的线密度为 ，则元段的质量为 ，于是根据 牛顿第二定律就可以得到该元段弦的运动方程 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 所以 其中 因为元段的选择具有任意性，所以式（2-1-3）可以用来描述 弦上

5、任意位置的振动规律，称之为弦的振动方程 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.1.2 弦振动方程的一般解 弦振动方程（2-1-3）是一个二阶偏微分方程，它的解应 是两个独立变量x和t的函数，设该方程的解具有下列形式： 这里的f1和f2是自变量（ctx），（ctx）的任意函数。将f1 代入方程（2-1-3），可以证明它确实是方程（2-1-3）的解， 现在我们来研究函数f1（ ctx ）的物理意义。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 在t1时刻，x1处弦的横向位移由f1（ ct1x 1）给出，在较后的一 个时刻t2，我们观察点移到xx2，这时弦的位移f1（ ct2x 2）

6、， 见图2-3。如果在经过t2 t1 的时间后，在x2处观察到原来（t=t1， x=x1）的状态，则必须满足： ct1x 1 ct2x 2 ，则 这表明在经过t2 t1的时间后， 在t=t1，x=x1处弦的位移状态 没有变化地向x的正方向由x1 点移到x2点，而移动的速度 为c，因为位移的选择是任意 的，因此每个横向波均以相 同的速度向x正向移动。这意 味着扰动的形状保持不变； 函数f1（ ctx ）表示了一个 在x正方向传播的波动过程， 称为波函数。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 由前面讨论可知，弦中的振动传播速度为 即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参数有关的常 数，

7、弦的张力T愈大（即弦张的愈紧）或线密度愈小（即密 度愈小或截面积愈细），则传播速度c就愈大。类似地可以 证明f2（ctx）是一个沿x负方向，以传播速度c传播的波动 过程。 在上面的弦振动的一般解中，出现了两个沿不同方向传 播的波函数。这就是说假定在初始时刻，对弦某位置施加一 扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.1.3自由振动的一般规律弦振动的驻波解 上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限 长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相 反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一 定形式的波下面我们来讨论它的具体振

8、动方式，我们用分 离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成 下列形式： X（x）是仅包含位置变量x的函数，T（t）是仅包含时间变 量t的函数，将式（2-1-6）代人方程（2-1-3）可得 上式的左边仅与x有关，右边仅与t有关，x和t都是独立变量， 如果式（2-1-7）对任何x和t成立，则其等号两边应恒等于一个 与x和t都无关的常数，令该常数为 ，那么式 （2-1-7）可以写成 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 上述二方程的解分别为 At，Bt，Ax，Bx均为待定常数，将式（2-1-10）、（2-1-11） 代入式（2-1-6）中合并得 其中A、B、 是待定常数。

9、工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 如果弦的两端固定，对任何时间t满足下列边界条件 将边界条件代入式（2-1-12）中得到 因为A0，所以B 0，否则整个弦都不振动，显然没有意义。 因此要有非零解就必有 ，则 用一新符号 代替 ，于是 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 由式（2-1-12）可知，弦的位移对时间函数来说是一个简谐函 数，因而 应代表振动的固有频率，而fn代表弦振动频率。 从式（2-1-16）可知，对于两端固定的弦，振动频率具有一系 列特定的数值 ，并且仅与弦本身的固有力 学参数有关，因而称为弦的固有频率。它与质点系统不同， 一个单振子系统仅有一个固有频率，而

10、弦的固有频率不止一 个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的， 变化也不是连续的，而是按n1，2，3，次序离散变化的， 因而称弦的这种固有频率为简正频率。 是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n1的各 次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也 称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第 一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。 因为弦有一系列简正频率，也就是说，当弦作自由振动 时，一般可以以许多频率同时在进行振动，而一系列fn对应的 位移可根据式（2-1-12）为 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简

11、正振动方式，Bn， 由初始条件给定，当Bn， 一确定，则对应的每一简正频率 的振动情况便完全确定。 图24是按式（2-1-17）计算出来 的较低阶的（ n 1，2，3）振 动方式的振幅分布图。从图中 可以看到，当弦以基频振动时， 除在两固定端位移振幅为零以 外（波节），弦的其他位置振 幅都不为零，并且有一定分布， 在 处振幅极大（波 腹）。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 由式（2-1-17）可求得第n次振动方式的波节与波腹，令 得到波节位置为 可以看出n次振动有n+1个波节。 令 ，则波腹位置为 由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论 得出，对于一定的振动方式，波

12、节和波腹的位置是固定的，可 见在弦上的振动是驻波方式 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该 方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的 总位移是 式中， 称为第n次振动方式的波数， 为相应的 波长。 现在我们来研究初始条件对弦振动的影响。我们假定在 t0时刻有一般形式的位移和速度 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 此处 是x的任意函数，为了处理方便，我们将 式（2-1-21）改写成为 其中 仍为待定系数，将条件式 （2-1-21）代入可得 对上面两个等式分别乘以 ，从0到l积分，利用正 弦函数的正交性可得

13、工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 因此，只要 的 具体函数形式给定就可以求出 Cn，Dn，从而定出Bn， ， 于是弦的振动位移就可以完全 确定。 例例 如图2-5所示，一两端固 定的弦，设在 t 0时，在中 央位置 x l2处把弦拉开一 位移 ，然后就释放，任其 自由振动。求解弦的振动位移。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 初始条件可写为 将上述条件代入式（2-1-24）可得 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 所以，弦振动的位移为 其中 ，再根据正弦函数的性质可以确定， 当n为偶数时 当n为奇数时 对这例子进行分析可以发现一个有趣的规律，因为对应于偶数 项

14、的一些振动方式，在中央位置xl/2处应是波节，而这一点 恰好在初始时刻被拔动，因而波节条件遭到破坏，所以就不能 在中央位置产生具有波节的一些谐频振动方式。这在数学上就 必然导致与其对应的常数Bn等于零。据上分析可以知道，如 果在初始时刻拔动弦的其它位置，则一定会有另外一些振动方 式被抑制。也就是说，如果同一根弦，初始时拔动的位置不同， 那么弦所产生的振动也各不相同，因此由弦发出的声音的音 色”也就不相同。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 我们这里所讨论的棒是均匀的细棒（密度均匀，粗细均 匀）。“细”的意思是说它的横截面直径d比在其中传播之 弹性波的波长 小得多，即 ，因而振动沿着

15、轴线方向 传播。在棒振动中，恢复力主要是棒的劲度。我们知道，在 弦振动中的恢复力主要是弦的张力。 棒振动可分为三类，即纵振动，横振动和扭转振动。因 为振动沿棒轴传播，因此做纵振动时，棒上各点振动方向与 轴平行；横振动时，质点振动方向与轴垂直；而做扭转振动 时，质点绕轴振动。本节只研究棒的纵振动，其他两种振动 形式可参看有关书籍。 2.2 棒的纵振动 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.2.1 棒的纵振动方程 以下的讨论，将顺着这个顺序： 从推导振动的微分方程开始， 然后根据特定的边界条件得出 相应的解，最后再返回到物理 问题的讨论。 一均匀棒，只要在棒中一 小段有纵向位移或振速，

16、则必 然会引起邻段的压缩或伸长， 这种伸缩的传播即为纵振动沿 棒轴的传播。如图2-6所示 以 表示棒上各点的位移。在腰上切出一元段 B，其两 端静止时的坐标各为 x和x dx。纵振动时， x端位移为 ； x dx端位移为 ，因而 B段棒的伸长 为 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 而邻段C作用在B段左端面上之力，指向x轴负方向（其中E是 表示物质劲度的一个常数，称杨氏模量，而s是棒的横截面 积），为 根据胡克定律，邻段A作用在B段右端面上之力，指向x 轴正方向，为 由牛顿第二定律得元段B的运动方程： 式中 为棒之密度。上式可以改写为 式（2-2-1）就是棒作纵向自由振动的振动方程。

17、 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 得到纵振动沿x轴方向之传播速度为 把棒的纵振动方程与弦的振动方程相比，可以发现它们在形 式上完全类似。因而我们不必再进行重复的求解过程，可参 照弦振动方程的求解结果（2-1-12），直接写出方程（2-2-1） 的解为 式中 为波数。同弦的振动讨论相似，棒的振动也要受 到边界条件和初始条件的制约。下面就来讨论边界条件对棒 的纵振动的影响。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.2.2 两端固定的棒的振动 两端固定的棒，其长为l 边界条件 用分离变量法解（2-2-3）式，并把边界条件代入，经过运 算后可得到 式中An，Bn为任意常数，由初

18、始条件决定。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 是t的周期函数，表示一振动过程，当x取某些值 时， 等于零。因此不管t为何值， 恒等于 零（节点）。可见式（2-2-5）所表示的是一种“驻波”形 式的振动过程。每一个n对应于一种振动方式：n1的振动 称为基波，n1的各次振动称为n次谐波 棒做纵向自由振动之固有频率 第n次谐波频率fn为基频f1的n倍，波长 节点位置由 所决定，即 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 共有n+1回个节点，它们等距离分 布，相邻两节点间的距离为l/n，n 1到n4的驻波图形见图2-7。 最后，两端固定棒的一般振动 位移是式（2-2-5）的线性迭加

19、 常数An，Bn由初始条件决定， 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 将式（2-2-10）代入式（2-2-9），并把 展开成 正弦级数，比较系数得 这样一来振动情况就完全确定了。 棒（或弦）的振动在周围介质中传播产生了声音。有调的 高低，决定于振动的频率，音的强弱决定于振动的能量（振 幅），棒（或弦）振动往往是由式（2-2-9）所表示的各种固 有振动的叠加，因此声音（乐音）的品质由式（2-2-9）中的 系数An，Bn决定（与初始条件和边界条件都有关），即决定 于基音和各次谐音的存在以及它们之间的能量分配。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.2.3两端自由的棒 这时棒两

20、端（x0，xl）不受应力作用，因此有边界条件 因而得到解 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 式（2-2-13）所表示的也是 一种驻波形式的振动过程， 振动的固有频率与两端固定 的情形相同，只是节点的位 置不同，它由 决 定，即 n1到n3的驻波图形如图2-8所示。类似地，一端自由一端 固定的棒或一端自由，一端加质量负载的棒的情况，同学们 可以自行推导。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.3 膜的振动 我们把弦振动系统推广到二维，即在平衡时振动系统是 一平面薄片的情况，所谓物理上的膜就是当它受外力扰动后， 恢复其平衡的力主要是张力。例如鼓皮和电容传声器的膜片 等，这些

21、膜的劲度比起由于张力所致的恢复力来说很小，可 以忽略不计；而当张力可以被忽略，恢复力主要为劲度时所 引起的曲面称为“板”，例如通常电话机的传送器和接收器 上的膜片。 膜振动要比弦振动复杂得多，因为二维的振动方式要比 一维的振动方式自由得多。最简单的膜振动可以是许多平行 弦的集合波峰是垂直于它们的传播方向的一些平行线， 但还有更多的复杂的振动方式。如自一点辐射向外，或趋向 一点的圆形波；自一直线端向内或向外的椭圆形波等。在本 书中我们仅讨论二种简单的情况矩形膜和圆形膜的固有 振动。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.3.1 膜振动方程 设有一张紧着的均匀薄膜（膜与弦 相似，一定要

22、把它张紧才能引起振动）， 平衡状态时膜位于xy平面，设想在膜上 划一直线，则直线两边的膜必互相牵引， 每单位长的直线两边的牵引力称张力。 在所设条件下，膜上张力的值为常数T， 单位用N/m（这里的张力单位与弦中不 同）。当膜受到一个方向与xy面相垂直 的外力扰动后，膜就会发生形变，例如 凸起来或凹下去，然后在张力T作用下 产生垂直方向上的横振动（见图2-9）， 图中n指的是张力在xy平面上的投影方 向， 表示膜上任一点离开平面的位移， 显然它是坐标X，y和时间t的函数。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 取一窄小面元，把这面元看成 是长为dx，宽为1个单位的无数 根弦元所组成，作用

23、在该弦元 上的张力与切线方向一致，张 力T与x坐标成a角，因此在x端 作用在弦元上的张力的垂直分 量为T sin a。对于小振动情形。 a角较小可以取sin atan a。所 以张力的垂直分量 设想仅截取一小块膜，其静止位置在x，x+dx；y，y+dy之 间（见图2-10）。先看x，x+dx两边膜的张力作用于其上的垂 直分力分别为 与 ，其合力为 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 同理，作用于另外两边的垂直分力的合力为 而这小块膜的质量为 是每单位面积膜的质量），所 以运动方程为 即 式中 是二维拉普拉斯算符。 c为振动传播速度。公式（2-3-4）就是我们所要推导的膜做自由 横振动

24、的方程。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.3.2 矩形膜振动 式（2-3-4）在直角坐标下的形式为 设矩形膜 0 x a，0 y b，四周固定，则有边界条件： 我们仍然应用分离变量法求解。满足式（2-3-6）的边界条件 的式（2-3-4）的解为 其中 是由初始条件决定的任意常数； 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 特征值 固有频率 m和n取任意正整数。 矩形膜的最低固有频率，即基音频率（m=n=1）为 与弦振动、棒振动相类似，基音频率与T， 有关。固有频率 中有基音整数倍的所有谐音（mn）， 等等，除此以外，尚有许多不是基音频率整数倍的泛音 （mn），例如 等等。

25、 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 在弦振动和棒的纵振动中，固有频率是等距离分布的， 在膜振动中固有频率是逐渐的在高频方面变密。频率愈高， 在同样宽度的频段内，含有越多的泛音。 由公式（2-3-7）确定的 称为膜的固有振动，它表示矩 形膜振动的驻波形式。所以，膜上每一点（x，y）产生了频 率为 ，振幅 的简谐运动，并且在膜上 的同一x值（或y值）的谷点同时达到最大或零。例如，对于 振动 ，当所有点都达到了它向上最大位移的某一瞬时的膜 的形态见图2-11（a），此时膜上谷点就以此种形式在相对于 xy平面的对称位置之间作振动。图2-11（b），（c），（d)分 别表示振动 在最大位移时

26、刻膜的形状。其他的驻 波形式具有更复杂的形状。 在振动 下，除界线外，有（m-1）条平行于y轴的直线， 即 ，处保持静止。同样，有(n-1)条平行 与x轴的直线，即 ，处保持静止。称它们 为节线，膜上离静止状态位移最大的点称为腹点。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 现在我们来讨论一下“简并化”情况。当矩形膜为正方形 （ab）时，则式（2-3-9）变为 除 m n外，固有频率成对的相等，即 ，这就使 得不同的固有频率减少。但振动方式 是不等于 的。因 此，对应于同一固有频率有两个或两个以上不同的振动方式， 这称为简并化这种现象在弦振动和

27、棒的振动中是不存在的。 例如，对于最低泛音 的最一般的振动形式为 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 我们来找出这种振动方式的节线，也就是所有在t 0时恒有 的点（边界上的点除外），对这些点（x，y）应 满足等式 等式左端与t无关，右端与X，y无关，因此只有等于常数，由 此得到节线方程 节线的形状与常数B有关，其形状如图2-12所示。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 边缘固定的矩形膜的一般振动应是式（2-3-7）的线性叠加 其中 决定 和 ，即初始位移 初始速度 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 式（2-3-17

28、）和2-3-18）右端为二重正弦级数，因此已 和 必须展成二重傅里叶级数，与式（2-3-15）比较系 数，可得 到此，矩形膜自由模振动问题获得了解决，解由式 （2-3-15）给出。而其中系数 和 则由公式（2-3-19） 和（2-3-20）所确定。 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 2.3.3 圆形膜振动 现在来讨论边界固定、半径为a 的圆形膜振动（见图2-13），这时取 极坐标r， 较为方便。 因质点的振动位移 的函 数，边界条件为 二维拉普拉斯算符在极坐标中表示式为 所以极坐标中膜作自由振动的方程为 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 仍然用分离变量法来求解多，考虑到

29、讨论的是简谐振动，令 代入式（2-3-23）可解得 其中， 。函数 称为m阶诺依曼函数，在r 0时 趋向无限大，这与在膜的中心（r0）处R（r）应该有限值相 矛盾，所以常数C2应等于零，即有 函数Jm（kr）称为m阶柱贝塞尔函数。工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 因此，膜的位移可表示为 由边界条件（2-3-21）和R(a)0，因此要求 解此方程，得根 vn（m）表示m阶柱贝塞尔函数的第n个根。 vn （m）只能取某些特定的值使之满足式（2-3-29）的解。因 此，振动的容许频率必定是使 的那些频率。对 于每一个m的数字，将有一系列的解。我们将频率的容许值记 为 时的固有频率； 是 时的固有频率，因此得到满足边界条件 的圆形膜作自由振动的固有频率 工程物理基础第1篇声学基础第2章弹性 体振动 基频为 ，所有其他的 都是泛音。 合并式（2-3-25）、（2-3-26）、（2-3-27），得到圆形 膜的振动方式 对应于固有频率