《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：统计与概率

1、第十一篇统计与概率第1讲抽样方法与总体分布的估计【2014年高考会这样考】1考查三种抽样方法及其应用2考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)3考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)考点梳理1 三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，均属于不放回抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽样各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2.频率分布

2、直方图与茎叶图(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表绘制频率分布表的步骤为：求极差；决定组距和组数；将数据分组；列频率分布表(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图画频率分布直方图的一般步骤是：绘制频率分布表；作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距；在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为1.3样本的数字特征(1)众数在样本数据中，出现次数最多的那个数据(2)中位数样本数据中，将

3、数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数(3)平均数样本数据的算术平均数，即(x1x2xn)(4)方差与标准差方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2标准差：s .一条规律三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性若样本容量为n，总体的个体数为n，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.两个特性(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形

4、的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.考点自测1(2012山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷a，编号落入区间451,750的人做问卷b，其余的人做问卷c.则抽到的人中，做问卷b的人数为()a7 b9 c10 d15解析从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an930(n1)30n21，由45130n21750，得n，所以n16,17，25，共

5、有2516110人，选c.答案c2(2013临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是()a30,30,30 b30,45,15c20,30,10 d30,50,10解析抽取比例是，故三校分别抽取的学生人数为3 60030,5 40045,1 80015.答案b310名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是()a14 b16 c15 d17解析将这组数据从

6、小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为15.答案c4(2013西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在6,10)内的频数为()a12 b48 c60 d80解析落在6,10)内的频率为0.0840.32，故频数为0.3215048.答案b5(2013长沙模拟)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解析(89101315)11，s2(941416)6.8.答案6.8考向一抽样方法【例1】

7、从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程审题视点 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体解由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，800，并均匀分成80段，每段含k10个个体；第三步：从第1段即1,2，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如5)作为起始编号；第四步：从5开始，再将编号为15,25，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本 解决系统抽样问题的两个

8、关键步骤为：(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了【训练1】 (2012天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_所学校，中学中抽取_所学校解析根据分层抽样的特点求解从小学中抽取3018所学校；从中学中抽取309所学校答案189考向二频率分布直方图的绘制及应用【例2】某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，

9、称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55150.3续表(1)补全频率分布直方图；(2)求n，a，p的值审题视点 (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活运用关系式：组距频率，频率求解解(1)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以小长方形的高为0.06.频率分布直方图如图所示(2)第一组的人数为200，频率为0

10、.0450.2，所以n1 000.由(1)知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 0000.3300，所以p0.65.第四组的频率为0.0350.15，所以第四组的人数为1 0000.15150，所以a1500.460. (1)绘制频率分布直方图时需注意：制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：组距频率【训练2】 (2013烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球

11、测试，成绩在8.0 m(精确到0.1 m)以上的为合格把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由解(1)由题易知，第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)10.14，此次测试的总人数为50.这次铅球测试成绩合格的人数为(0.2810.3010.141)5036.(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率

12、和为0.28，前四组的频率和为0.56，中位数位于第4组内考向三用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价审题视点 (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价解(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分. 甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1

13、313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由ss可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高 (1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小【训练3】 (2012陕西)从

14、甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()a.甲m乙 b.甲乙，m甲乙，m甲m乙 d.甲乙，m甲m乙解析甲(41433030382225271010141818568)，乙(42434831323434382022232327101218).甲乙又m甲20，m乙29，m甲m乙答案b方法优化15快速掌握抽样方法的技巧【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，其次是系统抽样题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综合考查，常以解答题的形式出现，难

15、度较低【真题探究】 (2012江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生教你审题 一审 等比例性质；二审 抽取的样本容量优美解法 高二年级学生人数占总数的.样本容量为50，则高二年级抽取：5015(名)学生答案 15反思 用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即.【试一试】 (2013徐州模拟)从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100厘米，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)现用分层抽样的方法从身

16、高在120,130)，130,140)，140,150三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为_解析由(0.0050.0100.0200.035a)101，得a0.030，因此120,130)，130,140)，140,150三组学生人数分别为：0.310030,0.2010020,0.1010010，所以，从身高在140,150内的学生中选取的人数应为183.答案3a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2013西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中

17、位数、众数、极差分别是()a46,45,56 b46,45,53c47,45,56 d45,47,53解析样本共30个，中位数为46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为681256，故选a.答案a2(2013南昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()a30% b10% c3% d不能确定解析由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为100%3%.答案c3(2

18、013成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为n，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数n为()a101 b808 c1 212 d2 012解析甲社区驾驶员的抽样比例为，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为，由，得n808.答案b4(2012安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()a甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c甲的成绩的方差小

19、于乙的成绩的方差d甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，a错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，b错；甲、乙的成绩的方差分别为(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，c对；甲、乙的成绩的极差均为4，d错答案c二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1160编号，按编号顺序平均分成20组(18号，916号，153160号)，若第16组抽出的号

20、码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_解析设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n1)b，8(161)b126，b6，故第1组抽取的号码为6.答案66(2013苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是_解析低于60分学生所占频率为(0.0020.0060.012)100.2，故低于60分的学生人数为1 0000.2200，所以不低于60分的学生人数为1 00020080

21、0.答案800三、解答题(共25分)7(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取解用分层抽样方法抽取具体实施抽取如下：(1)2010015，2，14，4，从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按110编号与120编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，69编号，然后用随机数表法抽取14人(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就

22、取得了容量为20的样本8(13分)(2012揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在50,60的频率及全班人数；(2)求分数在80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90间的矩形的高解(1)分数在50,60的频率为0.008100.08.由茎叶图知，分数在50,60之间的频数为2，所以全班人数为25.(2)分数在80,90之间的频数为25271024，频率分布直方图中80,90间的矩形的高为100.016.b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共

23、10分)1(2013哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列an，若a38，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()a13,12 b13,13 c12,13 d13,14解析设等差数列an的公差为d(d0)，a38，a1a7(a3)264，(82d)(84d)64，(4d)(2d)8,2dd20，又d0，故d2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为13，中位数为13，故选b.答案b2(2012江西)样本(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，ym)的平均数为()若样本(x1，x2，x

24、n，y1，y2，ym)的平均数(1)，其中0，则n，m的大小关系为()anm cnm d不能确定解析依题意得x1x2xnn，y1y2ymm，x1x2xny1y2ym(mn)(mn)(mn)(1)，nm(mn)(mn)(1)，于是有nm(mn)(1)(mn)(21)，0，210，nmn.答案a二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于_解析由，得n33(人)答案334(2013北京西城一模)某年级120名

25、学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间将测试结果分成5组：13,14)，14,15)，15,16)，16,17)，17,18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为13763，那么成绩在16,18的学生人数是_解析成绩在16,18的学生的人数所占比例为，所以成绩在16,18的学生人数为12054.答案54三、解答题(共25分)5(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对co2排放量超过130 g/km的mi型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类mi型品牌的新车各抽取了5辆进行co2排放量检测，记录如下(

26、单位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙类品牌车co2排放量的均值为乙120 g/km.(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车co2的排放量稳定性好，求x的取值范围解(1)甲类品牌汽车的co2排放量的平均值甲120(g/km)，甲类品牌汽车的co2排放量的方差s600.(2)由题意知乙类品牌汽车的co2排放量的平均值乙120(g/km)，得xy220，故y220x，所以乙类品牌汽车的co2排放量的方差s，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车co2的排放量稳定性好，所以ss，解得90x0时，两变量正相关，当r6.63

27、5，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关方法优化16求回归直线方程的方法与技巧【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，独立性检验和回归分析的考查主要是这两种知识的简单应用，以计算和判断为主有的省市以选择题、填空题形式考查，有的省市以解答题形式考查，难度中等【真题探究】 (2011安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量教你审题 分别计算，把2 012代入所求回归

28、直线方程中优美解法 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：年份200642024需求量257211101929对处理的数据，容易算得0，3.2，6.5， 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为2576.5(x2 006)3.2.即6.5(x2 006)260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5(2 0122 006)260.26.56260.2299.2(万吨)反思 求回归直线方程时，重点考查的是计算能力若本题用一般法去解，计算更繁琐(如年份、需求量不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的要考

29、虑有没有更简便的方法解决【试一试】 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，根据试验数据得到如下图所示的散点图，其中x表示零件的个数，y表示加工时间，则y关于x的线性回归方程是_解析3.5，3.5，所以0.7. 3.50.73.51.05，所以线性回归方程为0.7x1.05.答案0.7x1.05a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012新课标全国)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组

30、样本数据的样本相关系数为()a1 b0 c. d1解析样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yii，代入相关系数公式r 1.答案d2(2013长春调研)已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且0.95xa，则a()a1.30 b1.45 c1.65 d1.80解析依题意得，(014568)4，(1.31.85.66.17.49.3)5.25.又直线0.95xa必过样本中心点(，)，即点(4,5.25)，于是有5.250.954a，由此解得a1.45，选b.答案b3.(2011陕西)设(x1，y1)，(x

31、2，y2)，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是 ()a直线l过点(，)bx和y的相关系数为直线l的斜率cx和y的相关系数在0到1之间d当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析由样本的中心(，)落在回归直线上可知a正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故b错；x和y的相关系数应在1到1之间，故c错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故d错答案a4(2011山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元

32、)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程x中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ()a63.6万元 b65.5万元c67.7万元 d72.0万元解析3.5(万元)，42(万元)，429.43.59.1，回归方程为9.4x9.1，当x6(万元)时，9.469.165.5(万元)答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是_相关(填“正”或“负”).施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455解析因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点

33、图如图所示：通过观察图象可知变量x与变量y是正相关 答案正6(2013唐山统一考试)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为1.197x3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为_ cm.解析根据线性回归方程1.197x3.660，将x50代入得y56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案56.19三、解答题(共25分)7(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏189不喜欢玩游戏815合计(1)请完善上表中所缺的有关数据；(2)试通过计算说明在犯错

34、误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？附：p(k2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828k2解(1)认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计262450(2)将表中的数据代入公式k2得到k2的观测值k5.0595.024，查表知p(k25.024)0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系8(13分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程