函数的对称性与函数的图象变换总结[讲课适用]

1、有些函数有些函数 其图像有着优美的对称性，其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式 1优选课堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)ff ( 2)(2)ff ()( )fxf x 78 0 x （偶函数）（偶函数） Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 知识回顾知识回顾 l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从“数数”的角度看，的角度看， f(-x)=f(x) X Y 2优选课堂 1-3-1-26543278 2x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-31

2、0) 0 x4-x Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称对称 f(3) f(4) l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， x y 3优选课堂 -1+x-1-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 f(x)= f(-2-x) Y x 4优选课堂 ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)=f(-x) 特例：特例：a=0 轴对称

3、性轴对称性 思考？思考？ 若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x), 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b 2 x= 直线直线 xa 5优选课堂 -xx x y o f(-x)=-f(x) y=f(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称 中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， 6优选课堂 f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x) x y o a l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看， 中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a+x a-x y=f(x)

4、图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称 b 7优选课堂 a f(a+x)=2b-f(a-x) f(2a-x)=2b-f(x) b 中心对称性中心对称性 y=f(x)图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称 类比探究类比探究 x y o 8优选课堂 思考？思考？ (1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=-f(b+x), (2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=2c-f(b+x), 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b 2 ( ,0 )点点 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b 2 ( ,C )点点 9优选课堂 -x x 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称

5、对称 f(-x)=f(x) 函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称 f(a-x)=f(a+x) x=a f(x)=f(2a-x) 函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称 函数图像关于函数图像关于(a,0)中心对称中心对称 f(-x)=-f(x) f(a-x)=-f(a+x) f(x)=-f(2a-x) 轴对称轴对称中心对称性中心对称性 a 10优选课堂 练习练习: (1)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=f(-2+x), 则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 (2)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=f(4+x) (4)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=-f(

6、4+x) (3)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=-f(-2+x), (5)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=3-f(4+x) 11优选课堂 函数图象是研究函数图象是研究 函数的重要工具函数的重要工具,它能它能 为所研究函数的数量为所研究函数的数量 关系及其图象特征提关系及其图象特征提 供一种供一种”形形”的直观的直观 体现体现,是利用是利用”数形结数形结 合合”解题的重要基础解题的重要基础. 12优选课堂 描绘函数图象的两种基本方法描绘函数图象的两种基本方法: 描点法描点法;(通过列表通过列表描点描点连线三个步骤完成连线三个步骤完成) 图象变换图象变换;(即一个图象经过变换得到另一

7、个与即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法之相关的函数图象的方法) 函数图象的三大变换函数图象的三大变换 平移对称对称伸缩伸缩 13优选课堂 问题问题1：如何由：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函的图象得到下列各函 数的图象？数的图象？ （1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1 O y x y=f(x-1) y=f(x+1) y=f(x)-1 y=f(x)+1 函数图象的平移变换：函数图象的平移变换： 左右平移左右平移 y=f(x)y=f(x)y=f(x+a)y=f(x+a) a0,向左

8、平移a个单位 a0,向右平移|a|个单位 上下平移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+k k0,向上平移k个单位 1 1 -1 -1 14优选课堂 同步练习同步练习: 若函数若函数f(x)恒过定点恒过定点(1,1),则函数则函数f(x-4)-2恒过恒过 定点定点 . 若函数若函数f(x)关于直线关于直线x=1对称对称,则函数则函数f(x-4)-2 关于直线关于直线 对称对称. (5,-1) x=5 15优选课堂 问题问题2. 设f(x)= (x0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、 y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。 x 1 x x y o 1

9、y=f(x) x x y o 1 y=f(x) x x y o 1 y=f(x) y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) 对称变换对称变换 （1）y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称； （2）y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称； （3）y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称； x 轴 y 轴 原 点 16优选课堂 练习：说出下列函数的图象与指数函数练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2y=2x x的的 图象的关系，并画出它们的示意图图象的关系，并画出它们的示意图. . (1)y=2-x(2)y=-2x(

10、3)y=-2-x O y O y O y 1 1 -1 1 -1 xxx 17优选课堂 1.函数函数y=f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于y轴对称轴对称 2.函数函数y=-f(x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于x轴对称轴对称 3.函数函数y=-f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于原点对称的图像关于原点对称 4.函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线 对称对称 函数图象对称变换的规律函数图象对称变换的规律: 思考思考:“函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线x=a对称对称”与

11、与 “函数函数y=f(x)满足满足f(x)= f(2a-x),则函数则函数y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称” 两者间有何区别两者间有何区别? 对称变换是指对称变换是指两个两个函数图象之间的对称关系函数图象之间的对称关系,而而”满足满足 f(x)= f(2a-x)或或f(a+x)= f(a-x)有有y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称”是指是指 一个一个函数自身的性质属性函数自身的性质属性,两者不可混为一谈两者不可混为一谈. x=a 18优选课堂 问题问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函：分别在同一坐标系中作出下列各组函 数的图象，并说明它们之间有什么关系？数的图象，并说明它

12、们之间有什么关系？ （1）y=2x与与y=2|x| Ox y 由由y=f(x)的图象作的图象作 y=f(|x|)的图象：的图象： y=2x 保留保留y=f(x)中中y轴右侧部分，轴右侧部分， 再加上再加上y轴右侧部分轴右侧部分关于关于y轴对称轴对称 的图形的图形. 1 y=2|x| 19优选课堂 22 (2)23|23|yxxyxx与 O y x -4 1 4 -1 由由y=f(x)的图象作的图象作 y=|f(x)|的图象：的图象： 保留保留y = = f( (x) )在在 x 轴上方部分，再加上轴上方部分，再加上 x轴轴下方部分关于下方部分关于x轴轴 对称到上方的图形对称到上方的图形 20优

13、选课堂 函数图象的对称变换规律：函数图象的对称变换规律： （1）y=f(x) y=f(x+a)a0, a0,向左平移向左平移a a个单位个单位 a0,a0,k0,向上平移向上平移k k个单位个单位 k0,k0,向下平移向下平移|k|k|个单位个单位 （1）y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称； （2）y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称； （3）y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称； 函数图象的平移变换规律：函数图象的平移变换规律： (4)(4)由由y=f(x)y=f(x)的图象作的图象作y=f(|x|)y=f(|

14、x|)的图象：保留的图象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上这部分关于部分，再加上这部分关于 对称的图对称的图 形形. .(6)(6)由由y=f(x)y=f(x)的图象作的图象作y=|f(x)|y=|f(x)|的图象：保留的图象：保留y=f(x)y=f(x) 中中 部分，再加上部分，再加上x x轴下方部分关于轴下方部分关于 对对 称的图形称的图形. . x轴轴 y轴轴 原点原点 y y轴右侧轴右侧 y y轴轴 x x轴上方轴上方x x轴轴 左右平移 21优选课堂 练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1

15、) y = f(-x); (2) y = - f(x). y ox 1 -1-21 2 -0.5 y = f(-x) y o x -1 -1-2 12 0.5 y = - f(x) (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. 22优选课堂 练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象： y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 (1) y = f(-x); (2) y = - f(x). (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y ox 1 -1 -2 1 2 -0.5 y = f(

16、|x|) y = |f(x)| 23优选课堂 例例1.将函数将函数y=2-2x的图象向左平移的图象向左平移1个单位，再作关于个单位，再作关于 原点对称的图形后原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式求所得图象对应的函数解析式. y=2-2x y=2-2(x+1) -y=2-2(-x+1)y=-22x-2 向左平移向左平移1个单位个单位 关于原点对称关于原点对称 x换成换成-x y换成换成-y x 换成换成 x+1 24优选课堂 例例2.已知函数已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象；）作出函数的图象； （2）指出函数）指出函数 的单调区间；的单调区间； （3）指出）指出x取何值时，

17、函数有最值。取何值时，函数有最值。 O x y 321 1 -1 y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2| 25优选课堂 例例2.已知函数已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象；）作出函数的图象； （2）指出函数）指出函数 的单调区间；的单调区间； （3）指出）指出x取何值时，函数有最值。取何值时，函数有最值。 O x y 321 1 -1 y=|2x-2| 0 x x a 变式: 1.讨论关于 的方程 |2 -2|-实根个数。 26优选课堂 |1| )2 x xx 1 变式3:求关于 的方程( 2 的实根有个. 27优选课堂 1函数f(x)ln|x1|的图像大致是(

18、) 解析：函数f(x)ln|x1|的图像是由函数 g(x)ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B. 答案：B 28优选课堂 29优选课堂 答案：C 30优选课堂 4使log2(x)x1成立的x的取值范围是( ) A(1,0) B1,0) C(2,0) D2,0) 解析：作出ylog2(x)，yx1的图像知 满足条件的x(1,0) 答案：A 31优选课堂 32优选课堂 33优选课堂 易错点一 对“平移”概念理解不深导致失误 【自我诊断】 把函数ylog2(2x3)的 图 像 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 函 数 _的图像 解析：由题意，得所求函数解析式为y log22(x1)

19、3log2(2x1) 答案：ylog2(2x1) 34优选课堂 易错点二 判断图像的对称性失误 【自我诊断】 设函数yf(x)的定义域为R， 则函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于() A直线y0对称 B直线x0对称 C直线y1对称 D直线x1对称 35优选课堂 解析：方法一：设(x1，y1)是yf(x1)图像 上任意一点，则y1f(x11)，而f(x11)f1 (2x1)，说明点(2x1，y1)定是函数yf(1 x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2x1，y1)关于直 线x1对称，所以yf(x1)的图像与yf(1x) 的图像关于直线x1对称，所以选D. 方法二：函数yf(x)与yf(x

20、)的图像关于 y轴对称，yf(1x)f(x1)把yf(x) 与yf(x)的图像同时都向右平移1个单位长度， 就得到yf(x1)与yf(1x)的图像，对称轴y 轴向右平移1个单位长度得直线x1，故选D. 36优选课堂 方法三：(特殊值法)设f(x)x2，则f(x1) (x1)2，f(1x)(x1)2，由图可知(两图像重 合)，函数f(x1)和f(1x)的图像关于直线x1 对称，只有D正确 答案：D 37优选课堂 题型二函数图像的识别 【例2】 函数yf(x)与函数yg(x)的图像分 别如图、所示 则函数yf(x)g(x)的图像可能是() 38优选课堂 解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为

21、偶函 数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 由g(x)图像不过(0,0)得f(x)g(x)图像也不过 (0,0)，排除C、D. 答案：A 规律方法：注意从f(x)，g(x)的奇偶性、单调 性等方面寻找f(x)g(x)的图像特征 39优选课堂 【预测2】 (1)已知函数yf(x)的图像如图 所示，yg(x)的图像如图所示， 则函数yf(x)g(x)的图像可能是下图中的( ) 40优选课堂 (2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇函数，例 如，f(x)、g(x)图像分别如图、所示，则 f(x)g(x)的图像为() 41优选课堂 解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)g(x) 为偶函数，可排除A、D.注意x0时图像变化趋 势是“负正负”，故只能选C.(2)f(x)g(x)为 偶函数，可排除A、C、D，选B. 答案：(1