成人高考专升本高数试题

1、成人高考专升本高数试题(满分150分。考试时间120分钟。)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分， 共50分.在每小题给出的四个备选项中.只 有一项是符合题目要求的.(1) (.“)的展开式中疋的系数为(A) 4(B) 6(C) 10(2) 在等差数列中，(A) 5(3) 若向量为(A) -22q +fl9 = 10，(B) 6(C) 8=(3,加)9 b = (2,-1) 9 cfb = O 9(B) |(C) 2(D) 20 则的值为(D) 10则实数加的值(D) 6(4) 函数.v = J16-4*的值域是(C )0,4)(A) 0, +00)(B) 0,4(D ) (0,4)(5)

2、 某单位有职工750人，其中青年职工350 人，中年职工250人，老年职工150人， 为了了解该单位职工的健康情况，用分层 抽样的方法从中抽取样本.若样本中的 青年职工为7人，则样本容量为(A) 7(B) 15(C) 25(D) 35(6)下列函数中，周期为i且在吟冷上为减函数的是(A) y = sin(2x +彳)(B) y = cos(2x +彳)(C) y = sin(x + f)(D) y - COS(X + y)(7)设变量“满足约束条件x0,x-y 0,则 z = 3x-2y2x-y-2 69 68(14) 加工某一零件需经过三道工 序，设第一、二、三道工序且各道工序互不影响，则加

3、工出来的零件的次品率为 .(佝如题(15)图，图中的实线是由三段圆弧 连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在 的圆经过同一点P (点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为 :i(i =123),则:-12 亠二3:- d2 亠二3coscos-sin sin=.3333三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16) (本小题满分13分，(I)小问6分，(U) 小问7分.)已知即是首项为19,公差为-2的等差数 列，S”为曲的前n项和.(I)求通项an及S ；(n)设q-a”是首项为1，公比为3的等比 数列，求数列的通项公式及其前n项和Tn .(

4、17) (本小题满分13分，(I)小问6分，(H) 小问7分.)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱 读讲传演出活动中，每个单位的节目集中 安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,6), 求：(I)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的 概率；(H)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概(18) (本小题满分13分)(1 )小问5分(n) 小问8分)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c且 3b2 +3c2 -3 a2 =4 2 be .(I )求sinA的值；jin求2吨右(B C ?的值.1 -cos2A(19)(本小题满分12分),(I )小问5分，(n )小问 7

5、分.)已知函数f(x) =ax3 X2 bx (其中常数a,b R), g(x) = f (x) f (x)是奇函数.(I )求f (x)的表达式；(n )讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间上的 最大值和最小值.(20)(本小题满分12分，(I) 小问5分，(n)小问7分.) 如题(20)图,四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA_底 面 ABCD，PA 二 AB2，点 E是棱 PB的中点.(I)证明：AE_平面PBC ；(n)若AD=1，求二面角B EC-D的平面角的余弦值.(21)(本小题满分12分，(I)小问5分，() 小问7分.)图已知以原点o为中心，F( 5,0)为右

6、焦点的双曲线C的离心率e=f .(I)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(H)如题(21 )图，已知过点M(xi,yi)的直线li : xix 4如厂4与过点 N(X2,y2)(其中 X2 = Xi )的直线 12 : X2X 4丫2厂4 的交 点E在双曲线C 上,直线MN与双曲线的两条 渐近线分别交于G、H两点，求OGlOH的值.参考答案1-10 BADCB ACDDC.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上.(11) 解析： x|x lcx|x0 = x|1x3 cos 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1

7、6)解：(I )因为a”是首项为ai=19,公差d=-2的 等差数列，所以 an =19 -2(n -1) = -2n 21,S9n 咛(II )由题意 bn - an =3n1,所以 bn =bn j(13) 解析：由抛物线的定义可知|AF|=卜州=|KF|=2A AB 丄 x轴故 |AF| = |BF| =2(14) 解析：加工出来的零件的次品的对立事件 为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率p/-697068 673X69 6870(15)解析:二：2 亠二3-爲鳥2 亠：3-爲 亠：2 亠：3cos 1 cos-sin 1 sin= cos所以33333(17)解：考虑甲

8、、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有A,30种等可能的结果。(I)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则A包含的结果有心6种，故所求概率为305(II )设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则B表示甲、乙两单位序号相邻，B包含的结果有5 2! =10种。从而P(B)十P(B)齐2(18)解：(I)由余弦定理得cosA，2 J2 222bc又 0 ： A ：二,故sin A 二1 - cos2 A = 132sin(A + )sin(血A + )(II)原式二一1cos2AJlTt2 si n(A)si n(A)4422sin A“、2.2八、八2八.2AX2(

9、si nAcosA)( si nAcos A)2 2 2 22sin2 Asin2 A -cos2 A2sin2 A_ 7-_2.(佃)解：(I)由题意得 f(X)=3ax2 2x b.因此匕 g(x)二 f(x) f (x) =ax2 (3a 1)x2 (b 2)x b.因为函数 g(x)是: 奇函数，所以g(-x) - -g(x),即对任意实数x,有a( -x)3 (3a 1)( -x)2 (b 2)( -x) b = -ax2 (3a 1)x2 (b 2)x b,从而3a +1 = 0,b = 0,解得a = -1,b = 0,因此f (x)的解析表达式为3132f (x) x x .3

10、(U)由(I)知g(x -x2 2x,所以g(x) = -x2 2,令gx) =0,解得x - 2 ,3x2 h2,则当 x ：- 2 或 x 2时，g (x) ： 0,从而 g(x)在区间(-：，- 2, 、2,=) 上是减函数；当- .2 ：x：、2时,g (x) 0,从而g(x)在区 间-运叼上是增函数。由 前 面 讨 论 知，Bg(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x =1,、2,2时取得,而g(1)岭g( 2)=暂g岭因此g(x)在区间阳上的最大值为g( 24-2，最小值为 g(2H4-3 3(20) (I)证明：如答(20)图1,由PA丄底面ABCD，得 PA丄 AB，由 P

11、A=AB 知pab 为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点， 故AE丄PB由题意知BC丄AB 又AB是PB在面ABCD 内的射影，由垂线定理得 BC丄PB,从而PC丄平面PAB,因AE丄BP, AE丄BC，所以AE丄平面 PBC。(II )解：由(I)知BC丄平面PAB，又 AD/BC，得AD丄平面PAB，故 AD丄AE。在 Rt PAB 中，PA=AB= 2， ae=2pb=pa2 ab2“从而在 Rt QBE中,CE 二 BE2 BC2 二 2又CD 2， 所以- CED为等边三角形， 取CE的中点F，连接DF，则df丄ce.因BE=BC=1，且 BC丄BE，贝V aebc为等腰 直角三角

12、形，连接BF，则BF丄CE,所以.BFD为所求的二面角的平面角。连接BD，在ARFD中，DF 二 CD sin-,B1CE 2 ,BD 二、BC 2 CD 2 八 3.32222 2 22 DF BF所以 cosBFD DF BF -BD故二面角B EC D的平面角的余弦值为733 .解法二：（I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射 线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正 半轴，建立空间直角坐标系 Axy乙设 D （0， a， 0），则 b（迈o,o）,c（ p（o,o, .2）,e（q）.2 22 2 于疋 AE =（牙,0,亍,BC =（0, a,0）PC =（、2,a,- .2）

13、蓉GO）圈2则 AE，bC = o,ae，PC =0，所以 AE 丄平面 PBC.（II） 解:设平面BEC的法向量为n，由 知，AE丄平面BEC，故可取片暑人十今。,#)设平面DEC的法向量n2 =(X2, y2，Z2),则门2 DC = 0 , n2 DE = 0.由 | AD| = 1，得 D(0,1,0),CC，2,1,0) 从而 DC =( 2,0,0),DE =(丄，-1,鼻)，2 2X2 =0,故22x2 - y2z2 = 022所以 x 0, Z2 =、.2y2.可取 y ,则“2 =(0,1, 2) 从而 cosnrEn-n23.%I n1 | | n2 |3所以二面角B E

14、C D的平面角的余弦值为3 .(21)(本题12分)2 2解：(I )设C的标准方程是-=1(a 0,b 0)，a b则由题意c5,e= Va 2因此 a =2,b - . c2 - a2 =1,2c的标准方程为Xr-y2=1.C的渐近线方程为y=：,即x-2y=0和x 2y = 0.(II)解法一:如图(21)图，由题意点EgyE)在直线 I、： xix 4y 二 4和l2 : x2x 4y1 y = 4 上，因此有 故点M、N均在直线XiXe 4yE =4,X2Xe 4y2yE =4XeX 4yE4上，因此直线MN的方程为xEx 4yE y = 4.设G、H分别是直线MN与渐近线x_2y = 0及x 2八0的交点，”XEx + 4yEy = 4,x _2y 二 0由方程组”XEx+4yEy = 4,x +2y = 0,Xc解得yc4Xe 2yE24Xe -2yE-2，yN ：XnXe 2yEXe - 2壮故亦亦=念4