椭圆,双曲线,抛物线性质资料

1、椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： 椭圆第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PR|十PF2| = 2a|F1F2 ), 这个动点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的 焦点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：若(PFj + PF2 = F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2 ； 若(PFj + PFb aO ） ab 2 2 yx, r= 1（ a a b a 0 ） ab 第一定义 到两定点Fi、F2的距离之和等于常数 2a，即| MFi | + IMF2 |=2a ( 2a纠F1F21) 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距

2、离之比为常数e，即MF 一e (Oecl) d 范围 -a兰x兰a且一b兰y兰b 一bxWb且一a兰ya 顶点 Ai（-a,0 卜 A2（a,0） 瓦（0,-b 卜 E2（0,b） 直 1（0,a 卜九 2（0,a） B-b,0 卜 E2（b,0 ） 轴长 长轴的长=2a短轴的长=2b 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦占 八、八、 Fi（-c,0 ）、F2（c,0） F1（0,-c）、F2（0,c） 焦距 RF2|=2c （c=a-b2） 离心率 e仝护(0e B时，焦点在y轴上，当A v B时，焦点在x轴上。（根据 焦点跟着系数小的走） （三）焦点三角形 1.面积公式: S

3、-PF1F2 2 -1 （a b 0），椭圆焦点三角形：设 b2 意一点，F1,F2为焦点且/ F1PF2则厶F1PF2为焦点三角形， 2b2 （重点使用） 1 cos 椭圆标准方程为 2 x -2 a 则由第一定义和余弦定理有 PFi PF2 = 其面积为S.h2引n = 2 二 b tan（重点使用） 1 + cos 日2 且焦点三角形面积最大值S EPF?二bc 2.焦点三角形中的恒等式若p x。，y。, / F1PF2 - b2 sin e 12 丄 e1 =b tan _ = c，y。 1+cos 日2 则 S . F1PF2 3.焦点三角形的离心率 e问题由第一定义和正弦定理有e二

4、 尺冃 sin F|PF2 由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有 PFi PF2 PF-PF2 一 sin PF1F2 sin PF2F1 IPF1I+IPF2I 因此可得左PFi 上PF2 右 PF2 二 aexo(a 乞 Xo 乞 a) 下 PR 二 a ey(-a 乞 y。乞 a) 2 可得 cos： _1 - 2e 0 （利用张角大小变化易得有sin e：1）（重点使用） 2 （四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率 =a +ex）（-a 兰X。兰a） J =a_ey（a 兰y。兰a） 负“+”正“-” 焦半径的最大值 PF max=a+c，

5、PF min 焦点在x轴上时: 两焦半径乘积 PF1 PF2 所以（1） a-c =a2 (exo)2,(a x。乞 a) 1显然当Xq =0时有最大值（PF PF2 ）max = a2 2 2显然当x=a时有最小值（PF，PF2）min =b 2 2 同理，焦点在y轴上时：两焦半径乘积 PF PF? =a -（ey0） ,（a兰y。兰a） （六） 点与椭圆的位置关系：（可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系） 2 2 （）点 P（xo, yo）在椭圆外：二 笃 y2 1 ；（过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”） a b 2 2 （2）点P（xo,yo）在椭圆上二 与卷=1；（过该定点的

6、直线与椭圆“相交或相切”） a b 2 2 （3）点P（xo,yo）在椭圆内二 磚 绎：1 （过该定点的直线与椭圆“相交”） a b （七）直线与椭圆的位置关系： 2 2 X y 设直线I的方程为：Ax+By+C=O，椭圆 2 =1 （ a b O）,联立组成方程组， a b 消去y（或x）利用判别式的符号来确定： （1）相交：=0直线与椭圆相交； ）相切：二=0=直线与椭圆相切； （3）相离：.：0二 直线与椭圆相离； 备注： 若直线为过定点的动直线则可以用知识点（六）来解决“位置关系” （八）弦长公式： 若直线AB: y = kx b与椭圆标准方程 2 y_ a2b2 x2 =1 （a b

7、 0）相交于两点 A（x1, yj、 B(x2, y2), 2 2 把AB所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程 笃在=1整理得：Ax2+Bx+C=0。 a2 b2 弦长公式： AB = 栋2|为x2 =U1 +k2 J（Xj +x2）2 Txm =11 + k2* （含 x 的方程） |a| AB +古|屮一丫2+右J ）2 -4丫巧2 =J1 +古寸（含y的方程） （应用于能解出具体坐标） （应用于带有参数的大题 ） （a是一元二次方程中的，此公式用于计算） （九）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。 设 A Xi, yi , B X2, y2 是椭圆

8、b2 （a . b . 0）上不重合的两点，直线 AB的斜率kAB， 点M Xo, y是线段（弦） AB的中点坐标，则 2 2 x + y_1 a b 22 X_上 a2 b2 （1） 由（1）-（ 2 ）化简可得 （2） % -y2_ b2XiX2又由 Xi X2 a2yiy2 同理焦点在y轴上时有kAB Xi +X2 X = 2 所以% % = yi +y2Xi -X2 2 生 b2 y。 2 2 即kAB =-$5 （焦点在X轴） ay。ay。 （十一）焦点弦三角形 2 1.过椭圆 2 则ABF2的周长为（） （十）椭圆、双曲线、圆同型系数设法（此类设法用于过曲线两点求方程） 1. 椭圆

9、：mx2 ny2 =i（m 0, n 0且 m = n） 2 2 2. 双曲线：mx ny =i（m n : 0） 3. 圆：mx2 ny2 =i（m = n 0） 2 y-1的左焦点F1作直线l交椭圆于 代B两点，F2是椭圆右焦点, 2已知椭圆 C: 代B两点若 2 2 A . H=1 32 、4、2 C 2 2 2 岭=1（a b 0）的左、右焦点为 Fi, F2，离心率为 a b AFiB的周长为4.3，则椭圆C的方程为（） 2 2 1 12 8 过F2的直线l交椭圆C于 2 X 2. y 1 3 2 2 XI 1 124 2 2 3.已知Fi、F2为椭圆25+y 1的两个焦点，过Fi的

10、直线交椭圆于A、 B 两点.若|F2A|+ |F2B| =12,贝U AB|= 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 71 V k 标准方程 2 2 x2(aRbAO) a b 2 2 y x “ c 务=1(a a 0,b a 0 ) a b 第一定义 到两定点F、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a，即|MF1|MF2 2a ( 0 c2a 0 ) y2 = -2 px (P 0 ) 2 x = 2 py (P = 0 ) x2 = -2 py (P = 0 ) 定义 与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上) 顶点 (0,0) 离心率 e =

11、1 对称轴 X轴 y轴 范围 x 30 xE0 八0 y兰0 焦占 八、八、 F加 1 F 一卫,0 I 2丿 F陶 1 F (0,-i 准线方程 x子 x = E 2 y七 焦半径 m (xo,yo) MFi垮 |mf| = X+ 卫 2 |mf| =%+号 MF =-yo 2 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH =2p 焦点弦长 公式 aB+% + P 参数p的几 何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔 关于抛物线焦点弦的几个结论： 设AB为过抛物线 y = 2 px ( p 0)焦点的弦, p22 x1x2 =，yiy2 = p ; AB 4 以AB为直径的圆与准线相切； 兀 焦点F对A、B在准线上射影的张角为 一； 2 A(xi, yi)、B(X2, y2)，直线AB的倾斜角为则 2p ; sin2 ： 丄.丄 |FA| |FB| P 实用小结论： 一 1 1焦点非0坐标为一次项系数的 一 4 1 2准线方程的值为焦点非0坐标的相反数（即抛物线一次项系数一的相反数） 4 1 一 3焦半径长度：一次项系数的绝对值+对应横（纵）坐标的绝对值。 4 2 4抛物线方程为y二ax（a=0）则其中点弦直线斜率 22xo 5.抛物线方程为x二ay（a=0）则其中点弦直线斜率 k 0 a 6求