大一高数基础练习题

1、、计算题(每小题 6分，共42分) 1 求极限 00 2 ln(1 x ) arc sin 2x2 *7 (7 o 2. 求极限 sin3 * *x t2 .: edt 3sin xe lxm0 x sinx x 01 cosx sin3 x 高等数学(理工类) 1.设y f (x)的定义域为(0,1 ,(x) 1 In x ,则复合函数 y f (x)的定义域为 ; 0 ln x 1, x 1,e) 2.已知x 0时 arctan3x 与 ax 是等价无穷 小，贝U a cosx arcta n 3x 3 lim- 1, a 3 ； x 0 ax a sin 2x 1 3.函数y cos 一

2、 ，则d y ；2 (2cos 2x sin 2x)dx ； x 6 x 4.函数y xe %的拐点为 -；y e x(x 2)0, x 2 , (2,2e 7.函数f(X) 的跳跃间断点是 ； f(1 ) 0, f(1 ) 1, x 1 ; 1 e1 ) sinx , x 5.设函数f(x)2 ，当a=时，f(x)在x 处连续；1/2 ； 2 a x, x 2 6设y y(x)是由方程ey xy 2 0所确定的隐函数，则y _； y y ey x 2 3. e si n X,求 .。dy ex (2xsi nx cosx) dx dx 4、设 x In d t2 y arcta n t 求以

3、及 dx d2y C dx2 1 解 x 3n(1 t2)， dy 1 t2 1 ? d2y 1 t2 2 dx t t dx2 t3 1 t2 5计算不定积分ln(ln X)dx。 X 1 解 In (I n x)d I nx In xl n(l n x) dx In x(l n(ln x) 1) C x 6、计算不定积分 1 3 cos2 -dx x 2 sec x 3sec dx x 1 3tan 1 丄.3 tan x =arcta n 2 ”3 7 计算定积分 0(x2 5x 4)dx x| J(x 4)2dx 0(1 x)(4 x)dx x)(4 x)dx 12(x2 5x 4)d

4、x x3 4 (T 5x2 3) 三、证明题(每小题 8分，共16 分) 1、设f(X)在区间0,3上连续，在区间 (0,3)内可导，且 f(0)f(1) f(2) 3， f (3) 1，试证必存在(0,3) 使 f ( )0。 证明 因为f (x)在0,3上连续，所以f (x)在0,2上连续，且在0,2上有最大值 M和最 小值 m。于是 mf (0)M , m f (1) M , m f (2) M , 所以 m f(0)ff(2)m,由介值定理知至少存在c 0,2，使f(c) 1。 3 因为f(c) f(3)1，且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理存在 (c,3)(0,

5、3)，使 f ( )0。 2、证明不等式: 当 x 0 时，1 xln(x .1 x2)1x2。 证明 f(x) 1 xl n(x 1 x2)1 x2 ，f (x) ln(x . 1 x2)0 ,x 0， f(x) f(0) 0 ,则当 x 0时，1 xln(x 1 x2) 1 x2 四、应用题(第1小题10分，第2小题12分) 1.要建造一个体积为 V 50m3的圆柱形封闭.的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所 用的材料最省？ 解 设圆柱体的半径为r，高h50，表面积为S, S 2 r2 100 , rr 1002525 S 4 r 2-0 , r 3 , h 23表面积最小。 2求曲线x

6、y a (a 0)，直线x a , x 2a及x轴所围成的图形绕 y轴旋转一周所 得到的旋转体体积。 “2ao 解 Vy 2 a dx 2 a2 a 高等数学(理工) 一、选择题(每空 3分，共15分) 1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是();D ; A、2 x 1 (x )； B、Sinx(x x 0) 2 2 x fx C、3 -(x )； D、(x 0)。 2x 1 x 1 2 ax x 2 亠 2、设函数 f(x) 在x 2处连续，则a () ；A ; 1 x 2 A、1 ； B 、0 ; C、 1 ; ? D、1、 4 2 x 3、设f(x)在a,b上可导，且f (x)0.

7、若(x) f(t)dt,则下列说法正确的是(); C ； A、(x)在a, b上单调减少; B、(x)在a,b上单调增加; C、(x)在a, b上为凹函数; D、(x)在a,b上为凸函数。 4、下列不定积分计算正确的是()；D ； A、x2dx x3 c; C、 sin xdx cosx c ； 11 B、2dxc; xx D、cosxdx sinx c。 5、设f (x)在a,b上连续，则下列论断不正确的是()。A ； bx A、 f (x)dx是f (x)的一个原函数；.B、f (t)dt在(a, b)内是f (x)的一个原函数 aa b C、 f (t)dt在(a,b)内是 f (x)的

8、一个原函数；D、f (x)在(a,b)上可积。 二、填空题(每空3分，共15分) 7、 9、 若 lim f (x) 2,则 lim( 一 x2 1x2 1) f (x) x 曲线y 曲线y .x21在点(-.3,2)的切线方程为: sinx在(0,2 )内的拐点为 当p满足条件 时，反常积分 10、微分方程(y )4 (y )3 2y ；2 lim10 ； xVx21 Vx21 2-2 (x . 3)； ；(,e)； 1兰收敛；p 1 ； 1 x x 1的阶数是 .2 ； (1) 三、计算题(共45 分) 11、求下列函数极限(每题6分, 共12分): (1) lim x 0 sin3x x

9、 2 si nt dt 0 lim 3 x 0 x3 12、 . 2 .sin x lim x 0 3x2 求下列函数导数(每题 6分， 1 3 共12分): 设函数 y xetanx ln 5,求 y ; x 1 解 yetanx (1 xsec2x) 1 2 (x 1)2 设函数y 4 f x 由方程 2 x y ln y x 5 所确定，求 (5,1)， 解1x： y_ y 4 4，将x 5, y 1代入得 5 (5,1) 13、求下列函数积分 (每题7分，共21分)： (1) e xln xdx 1 e 2 1 2 ln xdx (x ln x 1 2 e 1 xdx) 1 / 2 2

10、(e 宁) (e21) 4 1 (.1 x2 x2dx xcos5 x x)dx 21 1 7 0 四、证明题(每小题8分，共16分) arcta n x 14、证明：设 ln(x 1) 证明 设 f(x) (x 1)(1 In x) arctanx f(x) (1 In x) 1 则 f (x)f(0)0，ln(x 1) arctanx 1 x 15、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且f(1)0,求证在(0,1)内至少存在一点 ,使得3f ( ) f ( )0成立. 证明 设F(x) x3f (x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且F(0)F(1) 0，y由罗尔 中值定理得

11、F( ) 3 2f( )3f ( ) 0，即有 3f( ) f ( ) 0 五、应用题(共9分) 16、求曲线y2 x与过该曲线上的点(4,2)的切线及y轴所围成的图形的面积 S. 1 1 1 解 2yy 1， y(4,2)，切线方程y 2 (x 4)， y - x 1 、单项选择题(本题共 高等数学(上) 每小题2分) 1、函数y Sn(2 x)的定义域为( x )；D ； 2、 lim x .1 xsi n x ()；C ； B、不存在; C、1； D、0。 3、按给定的x的变化趋势, F列函数为无穷小量的是( )； 2 x x4x 1 (x (x )； (x 0) x (x sin x

12、0)； 4、设 f X 0要使f 0 x在x 0处连续，则a ()；B ； B、1； D、-1 5、设函数f (x)在(a,b)内恒有f (x) 0, f (x)0,则曲线y f (x)在(a, b)内() A、单调上升，向上凸; C、单调上升，向上凹; B、单调下降，向上凸； D、单调下降，向上凹。 6、设f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)，则方程f (x)0在实数范围内根的个数是()；B ; A、4 ； B、3 ； “ 2 1 x ,x 0 7、设 f (x) x ，则 e , x 0 八1 A、e ； B、 e 3 C、2 ；D、 3 1f(x 2)dx ()； B ；

13、f(x 1 . c1 ； C、； 3 3 1 。 x2 4x 5,x 2 2) x 2 e ,x 2 D、2e。 1、 设 f (x) X),则 f 22 ； 2、 极限 lim n (2n 1)(3n 2)(4n 3) 3、 6n3 x sin ，则 2 d2y dx2 8、设函数f(x)在a,b上是连续的，下列等式中正确的是()；C ； b A、 (a f (x)dx) f(x)； B、 ( f(x)dx) f(x) C ； C、 x (a f(x)dx) f(x)； D ； f (x)dx f (x)。 9、当 当n 时， sin21 与 1 k 为等价无穷小, 则 k=( )；C ；

14、n n A、 1 . ； B、1； C、2 ； D ； -2。 2 1 10、 已知 f 01 ,f 1 2 ,f 13, 则 0 xf xdx () B ； A、 1 ； B、2； C、 3 ； D、4。 、填空题(本题共 10分，每空2 分) x, x 1 4、函数f x x 1,1 x 2的不连续点为 二、计算题 1. (8 分) 求 lim 3x . 9x2 12x 1 x lim x 12x 1 2、 (7 分) lim x 3、 (7 分) 4、 (8 分) 设In 5、 (7 分) 6、 (7 分) 7、（ 8 分） 四、综合题 3x 12x 1 1 cos2x xsin x h

15、m算 2 x 0 x2 Insint ey sint (sin x) cos x cosxl nsin 11 cos dx xx jxLosxdx =dx 9 -1dx x、x2 9 1、（9分）求由曲线y Ve2 1e2xdx 0 2、（ 9分）证明方程x 证明设函数f（t） t3 dx dt ,两边同时求导得 1 1 cos-d x x x2dsi nx 0 02xd cosx cost sin t dy dx 1 sin x dy dt ey cost 1 ey sin t dy dx cosx (sin x) ( sin xlnsin x2 sin x 02 xsin xdx x e

16、,y 2 02cosxdx ey sin t 1 ey sin t 2 cos X) sin x 3sect, . x2 9 3tant,dx 3secttantdt, cost arccos3 C 3 e,x e2(e2 2 0所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积。 2 1) I(e 1) x cos x只有一个正根 . t cost 在 t 0, x , x 0 连续，f (0)10， 3 令f (t) 3t21 si nt 0, f(t)为单调递增函数, ，由零点定理可知f (t)在f (t)只存在一点在 又 lim f (x) lim (xtanx lim x 032 x (书 1 s

17、in x 1) x cosx) xx 3. 3 0, x，使在 f() 3 0，则方程x x cosx只有一个正根。 理工高等数学 一、填空题(本题共 15分，每小题3分) 1 1. 函数f x 二一的连续区间是 (, 1)U( 1,1)U (1,) x21 X2 2. 若 limax b 0， a， b 均为常数，则 a ， b x x 1 ax limx a 3.设函数y f (x)由方程xy 2ln x y所确定，则曲线y f (x)在点(1, 1)处的切 线方程是 y xy -4y3y，y x (1,1) 1，y x 4sec2 x tan x X) f(a) x 2 4.设 yln(

18、ln x) sec (2x)，则 y 5.设f (x)在x a可导，则lim丄 x 0 二求下列各题极限(共 28分) 1. lim 口x 0ex !lim 空 1 2 x 0 x 2. lim (2s in x 1 cosx)x lim1 (2sin x cosx x 0 01 1 1)F lim x 0 e 2sin x cosx 1 x sinx limtanx(1 C0Sx) x 0 4 lim 卑二 n (3)n 14n 1 31 lim n 计算题(共32 分) 5设 yx arctan 3x，求 y arcta n3x 亠二 1 9x2 3 1 9x2 3 1 9x2 (1 9x

19、2)2 6 (1 9x2)2 xsinx arcsin(ln x)，求 sin xp / 、 x (s in xln x) arcs in x 1 (ln x)2 sin x_. x (cos x ln sjnx)arcsin x x X1 (ln x)2 1 7求由参数方程 2 ln(1 t)所确定的函数的导数 arctant dy dx dx2 d 1亠 dy1 t2 dx2t 1 t2 d2y dx2 (2 112 2t 4t 8. 设函数y y(x)是由方程 方程两边同时求导得1 1 . sin y 2 0确定的求学 d2y dx2 1 cos 2 2sin y y4sin y (2

20、cosy)2(2 cos y)3 四. 综合题(共27 分) 9 .求常数a,b的值，使函数f(x) ax ln(1 x) 0 .在x 0 cos y 0处一阶可导 0 ； lim f (x) lim( ax b) b f(0) , lim f(x) lim ln(1 x) 0, b x 0 x 0 x 0 x 0 f (x) lim 岂 a, f (x) lim x) 1, a 1。 x 0 xx 0 x 10求函数的f (x) 2x 2I 所有间断点，并指出其类型 x 3x 2 f(x) x 2 (x 2)(x 1) lim f (x) x 1 Pm f(x) 1 2,阿 f(x) 1 1

21、1设 f(x) lim n x2n 1ax2 2n x bx 兰为连续函数, a, b 、填空题(每空 3分，共15分) 1、已知f(x)的定义域是0,1，则函数f(lnx)的定义域为 ； 1,e； 2、设f (x)连续可导，则 f (2x)d x 1 f (2x) c ； 3、积分h In xdx与 I2 2 2 ln2 xdx的大小关系是 1 2 ； 4、设曲线y ax3 bx2以点(1,3)为拐点，则数组(a,b) ； ( - ,9 的拐点。 2 2 5、设 y , x x x，贝U dy .7x8dx。 8 二、选择题(每空 3分，共15分) 1、曲线 xy ex y 1在(0,0)点

22、的切线斜率是( );D ; 2、设 f (x)2x 3x 2，则当 0时，有()；B ; f (x)与x是等价无穷小; B、f (x)与x是同阶但非等价无穷小; C、 f (x)是比x高阶的无穷小; D、f (x)是比x低阶无穷小。 3、设函数f (x)在a, b 上具有连续的导函数，且 b 2 a f2(x)dx f (a) f(b) 0, );A ; 1. ; 2 );A; b 则 xf(x)f (x)dx ( a In x , dx ; 1 x 0 rJ7dx; 1_dx_ 0X2 ; e xdx。 0 5、设 f (x) cosx, P(x) 1丄x2丄x4 224 能使极限式 lim

23、 x 0 f(x) P(x) 0成立，则 正整数n的最大值是( 4; A. n 6 ； 三、计算下列各题(共 52分) xab 1、(7分)已知y 1 2 3 a b x ，求y的导数。 b x 3、（7分）已知参数方程： a(t sint) ,(t 2n , n Z )，求所确定的函数 y y(x) a(1 cost) y 的二阶导数。 dy 解: dy 虫 asint sint (t 2n , n Z) dx dx a(1 cost) 1 cost dt y x a b 1 x ab a 1 (b a)x b 解 原式 lim x 0 ab b In b xba 2、（ 7分）计算极限li

24、m x 0 2xsin x 2x(1 cosx) In(1 x) limlim 1 x 0 ln(1 x) x 0 1 cosx 与务 dx2dx a(1 cost)2 dt 4、（7分）已知y f（5H），f（x） arcta n x2，求 dy dx 3x 2 5x 2 y u f(u) 3(5x 2)5(3x2) (5x2)2 arctg()2, 4arcta n1 5、（8分）计算不定积分（arcsinx）2dx. 解： 2,.、2 c xarcsinx , (arcsinx) dx = x(arcsinx) 2dx v1 x2 x(arcsi nx)22 arc si nxd(.1

25、x2) = x(arcsin x)2 2 . 1 x2 arcsinx 2 dx 2 - =x(arcsinx) 2 .1 2 x arcsinx 2x c . 6、（8分）计算定积分 4 dx 1 1,x . 解：令x t 则x t2, dx 2tdt, 且当X 1时,t 1当X 曰4 dx 是 1 1長 22tdt 2 寸 21(1 2 2t ln(1 t)1 9 In 4 7、求由曲线y 1 sin x与直线y 0,x0,x 围成的曲边梯形绕 x轴旋转所成的旋转 体的体积.（8分） 0(1 sinx)2dx0(1 2sin x sin2 x)dx 3小sin2x x 2cos x 2 四

26、、证明题（每小题 9分，共18分） 1、（ 9 分）当 0 x i 时，sinx tanx 2x. 证：令 f (x) sin x tanx 2x, f (x) 2小2 cosx sec x 2 cos x 2小 sec x 2 (cosx secx)2 0,当0 x 时, 2 f （x）在（0,）内单调增加.而 f(x) f(0)0 （0,2） 即当0 时，sinx tanx 2 2x. 2、（9分）设函数 x和g x在a,b上存在二阶导数，且 x 0, g b 0，证明（1）在（a,b）内 g （2）在（a,b）内至少存在一 点，使一 g 证：（1）反证法.设（a, b）内存在一点x1使g

27、（x1）0, 则在 a, X1 上有 g(a) g(xj 0, 由罗尔定理知在（a, xj内至少存在一点1，使g （ 1） 0 ,同理在（捲,b）内也至少存在一 点2使g ( 2) 0 ,则g ( 1) g ( 2) 0 ,由罗尔定理，在(1, 2)内至少存在一点 使g ( 3)0，这与g (x)0矛盾，故在a,b内g x 0。 (2)令 F(x) f(x)g (x) g(x)f (x) 由题设条件可知, F(x)在a,b上连续，在(a, b)内可导，且F(a) F(b) 0,由罗尔 定理可知，存在 a,b使得F 0，即 f g 2 由于g 0,g0，故 g g 一、填空题(每空3分，共24分

28、) (x 5)ex x 0 1、要使f(x) / 在x 0处连续，则a ； 5； a x x2,x 0 2、 设 f(x)的一个原 函数为 x3 x，贝 U f (si nx)cosxdx ； 3 sin x sin x C; 2 x22 x2 3、设 y 3 ，则 dy ； 4ln 3 3 xdx ； 4、 函数f(x) x sinx是sin x3当x 0时的_同阶_无穷小量。(填等价，同阶或高阶)。 5、 arcta n x 2 2 (1 x ) dx ；0; 6、 若 lim ax- b，贝H a , b ; 3,6 x 1 x 1 7、 函数y 的单调增加区间为 。 (e,) ln x

29、 二、求极限(每小题 5分，共10分)。 H X X 1- X X 1 /.V l X X- 叫 HX 0 1 sin t 解：dy yt 1 si nt d2y 1 cost cost 解： 9 dx Xt 1 cost dx 1 cost 1 cost sin x 3、（6 分） 已知 y X 求矽 。 1 X dx 2、（6分）设函数y y（x）的参数方程为 2、(5 分)lim x 0 X2 F t2dt x 0 t(t sint)dt lim x 0 x32x x(x si nx) 12 三、求导数（每小题 6分，共18分）。 1、（ 6分）求由方程xy In x In y 1所确定

30、的隐函数 y f （x）的一阶导数 3和卫。 dx dx2 解：方程两边同时对 X求导，得y xy 1 y 0，整理得y X y y d2y 2y 2 2 x dx x X t 2 sint 求 dy d y 刁J y t cost dx dx 1 解: 方程两边取对数，得 ln y sin xln x ln(1 X) 两边同时对X求导，得 y cos xl n x ln(1 X) sin x丄 y X r,X sin x , y ycos x l n 1 X x(1 x) 1 1 四、求积分（每小题 5分，共20分）。 - X 1、（ 5分）计算 冷严x2) C C 2、（ 5分）计算 dx 1 二厂x ;解：令 1 X t，则 X t2 1, dx 2tdt 原式=2 tdt 1 t 2t ln(1 t) C 21 x ln(1 1x) C 3、（5分）计算 e sin (I nx)dx。 解：令 In