专题03-数列的解答题(综合提升篇)

1、 23 / 19 专题三数列的解答题 以等差数列和等比数列综合题 【背一背重点知识】 1 .等差数列及等比数列的广义通项公式：an am (n m)d,an amgn m ; 2个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列； 3.等差数列及等比数列前 n项和特征设法：Sn An2 Bn,Sn A(gn 1). 【讲一讲提高技能】 1必备技能：涉及特殊数列(等差数列或等比数列)一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比; 由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算 两次”的思想解决问题 2.典型例题： 例1.【2018广东省深

2、中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列 an的前n项和为Sn , 0), an 12 Sn 1 n N (I)求的值; (II)求数列的前n项和Tn . anan 1 【答案】(I) 1; (II) n 2n 1 【解析】【试题分析】 利用an 1Sn 1 Sn化简已知得,ST7 1，这是一个等差数列, 由此求得 Sn的 通项公式，再利用 an Sn Sn 1求得an ,用等差数列的性质求出 的值.(II)由(I)求得an 2n 1是个等差 数列，故用裂项求和法求得数列的前n项和Tn. 【试题解析】 (I)因为产陰J 代入产2瓦+1,可得：耳厂比=2屈+ 1, 整理可得為 町+1)寫因为也

3、注，所屈儿 所以数列屁是首项为似、公差为1的等差数列 所以尻二扳十(皿一1)=用+JI匕吒=(” +!一)- 当乳2时,占厂沙讶-3、 当科=1时円=北 因为厂色=2,所儿 若数列叫为等差数列，贝U有角一厲二M十1一久二2, 解得兄=1 (II)由(I)可得an 2n 1，所以 anan 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1 2 2n 1 2n 1 所以Tn aa2 a2a3 1 anan 1 即Tn 1 1 2n 1 2n 1 1 1丄亠 2 2n 1 2n 1 【方法点晴】本题主要考查了等差数列 ,等比数列的概念, 以及数列的求和，属于高考中常考知识点, 难度不大; 常见的数列求和的方法

4、有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 Cnan bn ,其中a“和bn分别 为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 Cn an bn，其中an为等差数列, bn为等 比数列等. an 中，a1 a17 , a? a723. 例2.【2018河北沧州高三上学期教学质量监测】在等差数列 (i)求数列 an的通项公式; (n)设数列 2an bn是首项为1,公比为q的等比数列，求数列 g的前n项和Sn. 2 【答案】（I） an 3n 2 ； (II )当 q 1 时，Sn n 3n 1 n 3n ;当 q 1 时，Sn n 3n 1 解析试題分折: 由题意可得数列的公差=-3,

5、首项珂=一1则其通项公式为口厂一3科+2, （II）由题青结合（D 做论有乞二罰一4+犷打分组求和并讨论可得： 当百=1曰寸汕二用（知一1）十用二3斥$当？工1日寸屯二川（知一1）十二一 1-Q 试题解析： 解：（I）设等差数列 an的公差为d，则a2 a7 2 （II） 令Cn an bn，求数列Cn的前n项和. I答案】（D证明见解析，bn n（ 11）Tn n in1 8 罟 1 1 【解析】试题分析: （I）将条件整理可得 an 1 3an 1，可得an 1 1 3 an -，从而证得数列 2 2 等比数列，求出an 3n 2 1后根据题意可得 b1 d 1 . ，进而求得bn 1 n

6、 . (II)由(I)得 Cn求和时先分组，再分别用错位相减求 1 1 Cn3n 1 n n 3n n，根据数列通项公式的特点，对数列 2 2 和及公式求和可得结果. (II) 由（ an 3n ,bnn , -Cn 令Sn 则3Sn 32 32 32 L 33 n 3n 丄 1 2 3n, 1, 32 an 1 1 3 an 1，又 a 13门 h0 , 数列 an 1 -是首项为 3 3，公比为3的等比数列 2 2 2 2 2 2 1 3 n 1 3n 3n 1 an 3n an a2 4,a3 13 , 2 2 2 2 试题解析: 由题可得 3an (I) an 1 an an 1 1

7、0, an 0 , an 13an 1, 由题意得：駕11：，解得； 11, - b 1 n 1 n . 得 2Sn 3 32 3n 3n 1 3n n) 3n 3n1 0 , S7 35 ,且 a2, as, an 成 所以Sn 2.【2018四川绵阳南山中学高三二诊热身考试】已知等差数列 等比数列. (I)求数列 an的通项公式; (II )若Tn为数列 a*an 1 一的前n项和，且存在n 1 N，使得Tn an 10成立，求 的取值范围. 【答案】(I) an 1; (ll) 【解析】试题分析: (I) 由题意可得 a 2 4d an an 1 ,裂项相消求和Tn 所以存在 的最大值即

8、可解得的取值范围. 试题解析: (I)由题意可得 2 a 4d 35, aid ai 又因为d 0，所以 a1 2, d 1. 所以an (II)因为 a*an a1 d 35, ai 因为存在 ，使得Tn an 使得 成立. 2 解得a1, d即可求得通项公式; 10d , ,因为存在 N，使得Tn an 1 (II) 0成立，即存在n N ,使得 10d ，即X 1 ，所以 n 2 10成立，所以存在 1 4 2 n 42 n n 1 丄(当且仅当n 2时取等号) 16 n2成立. 2 n 2 求出- 2 n 20成立，即存在 0成立, n 2 n 2 1 所以，即实数的取值范围是 16

9、应*世以求递推数列的通项公式和求和的综合题 【背一背重点知识】 an 1 p(an 2. 1 n(n d) 3. an S,n 1 Sn Sn 1, n 2 4.求和方法：累加、累乘、裂项相消、错位相减 【讲一讲提高技能I 1 必备技能：会由Sn与an的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列） 进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n项的和. 2.典型例题： 例1.【2018江西临川二中、新余四中高三1月联合考试】已知等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等 比数列，满足a13, b 1 , b2 S2 10, a5 2b2 a3 . （

10、1）求数列 an和bn的通项公式； (H )令 Cn 2 ,n为奇数 Sn，设数列Cn的前n项和Tn，求T?n . bn, n为偶数 【答案】（I） m2n2 4n 1 bn 2an 2n 1 ； (II) 2n 13 【解析】试題分析；设数列也丿的公羞为山数列少的公式再中由 + -=10?円一乃厂口畀得 211 (ID由氓二3冬二加+ 1得生二科仗+2、可得口为奇臥q二一二为偶埶时，二2小, n n + 2 可得比=佃斗勺1 -+勺门)+(勺+ 6丰+仏)，利用等羞数列与等比数列的求和公那卩可得出- (I)设数列an的公差为d，数列bn 的公比为q , 由b S2 10, a5 2b? an

11、 3 2 n 1 2n (II) 由q 3, an 2n n则为 奇数时， 2 Cn Sn T2n Ci C3 Qn 1 1 1 1 1 3 3 5 d- 1 2 n 1 4 试题解析: 1, 1, 1 n 2n 1 3 1 4 a3，得 q 6 d 3 4d 2q bn2n 得Sn C2C4 1 2n 1 2n 2n 1 【方法点睛】裂项相消法适用于形如 一类是常见的有相邻两项的裂项求和, n为偶数时, 1 2n 1 Qn 2 4n 1 an an 1 如本题; 10, 3 2d, 解得d 2, q 2, n Cn2 23 ?2n 1 (其中数列an各项均不为零的等差数列, c为常数)的数列

12、, 另一类是隔一项的裂项求和，如 (n 1)(n 1) 1 (n 2)或 n(n 2) 例2.【2018广东珠海市高三3月质量检测】已知数列 的前口项和为_，满足 (I)求数列卜4的通项; (|)令 片十，求数列如1的前甘项和EU. 【解析】试题分析： （I）第（1）问，一般利用项和公式求数列的通项.（II）第（II）问，一般利用错位相减求数 【答案】 列牌的前斤项和I I 几+1- -您= : ar1+2： =22曰十 3X24-十（X 1）x2占S 两式相减得一7；=21 + 2i+2a- + 2,-/ix2* 于是= .2时+ 2 3 .【2018河南豫南九校高三下学期第一次联考】设正项

13、等比数列an , 34 81，且32,33的等差中项为 3 3i 32. 2 （I）求数列 3n的通项公式； 1 （II） 若bn lOg 332n 1，数列 0的前n项和为S.，数列Cn满足G, Tn为数列Cn的前n项和， 4Sn 1 若人n恒成立，求 的取值范围. 【答案】(I) 3n 3n ( II ) 【解析】【试题分析】（I）利用基本元的思想将已知转化为 31, q的形式列方程组解出 31, q ,由此得到通项公式.（II） 化简bn2 n 1,是个等差数列，求得其前 n项和为n2,利用裂项求和法可求得 Tn的值，代入不等式，利用分 离常数法可求得 【试题解析】 （I）设等比数列 3

14、13 ，解得 1 ，所以 q 3 31的公比为q q 0 ，由题意，得34 2381 q 31q3 3-| 31q n 1 on 3n31 q 3 . 2n 1 (II)由(I)得 bnlog33 2n 1 , Sn n b|bn 2 n 1 2n 1 2 n2 111 1 4n2 12 2n 1 2n 1 113 1 1 L 1 1 3 2n 1 2n 1 1 ，所以 2 n 1 max n 2n 1 若Tnn恒成立，则 2n 1 1 n N 2n 1 恒成立，则 4.【2018河北衡水中学高三上学期九模】已知在数列 an中, n 1 ， anan 12. (I)求数列 an的通项公式; (

15、II )若 bn log 2an，数列bn的前n项和为Sn， 求Sn . 【答案】(I) an n 1 2 2 , n疋奇, n(II)当n为奇数时，Sn 22,n是偶. 当n为偶数时, 【解析】试题分析: 试题解析： (I)因为anan 1 2n，所以当n 2时，务何 2n 1，所以an 1 2 , an 1 所以数列 an的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列. 2 又a1 1 , a22，所以当n为奇数时, q n 1n 1 an 1 22 ；当n为偶数时, an2 22 n 吩，所以 22 日吞 n疋奇 22,n是偶. (II)因为 a11, anan 12n ,bn log2an

16、，所以 bn bn 1 当n为奇数时，Sn th b2 b3 b4b5Lbn 1bh 当n为偶数时，Sn b b2 b3b4Lbn 1bn 5.【2018河北邯郸高三1月教学质量检测】已知数列 an 满足 ano,a 1,n a. 1 2a. 2an . (I)求数列 an的通项公式; (II)求数列弘3n 5的前n项和sn. 【答案】(I) an n 2n 1 ； (II) 2n 竺 7n 1 . 2 【解析】试题分析: （I）结合递推关系可得bn是以1为首项，公比为 n 2的等比数列, 据此可得通项公式为an （Il）结合（I）的结论有an 3n n 52n 1 3n 分钟求和可得 Sn2

17、n 2 3n 7n . 1 . 2 试题解析：（I）因为n an 1 2an 2an，故 an 2 n 1 an ,得 an 1 a 设 bn，所以 bn 1 2bn , Q a n bn 1 bn 2又因为 bi ai 是以1为首项，公比为 2的等比数列，故 bn 2n1 an n 1 an n 2 ()由(I) 可知 an 3n n 2* 1 3n 5，故 Sn 2n 21 3 20 21 2n 5n 2n 3n2 7n 2 6.【2018 安徽皖南八校咼三第二次 12月）联考】已知 an 是等比数列, bn满足0 1, b23，且 aib azb Lanbn 3 2n 3 2n. （I）

18、求 an的通项公式和前n项和 Sn ； （n）求 bn的通项公式. 【答案】(I) Sn 2n 1 ; (II)bn 2n 1 . 【解析】试题分析：（I）由 叭 a2b2 Lan0 32 n 3 2n，令 n 1,n 2可解得印 a22，从 而可得an的通项公式和前 n项和Sn ； （II）结合（I）的结论, 可得 L 2n 1 bn 3 2n 3 2n，从而得n 1时, L 2n 2 bn 13 2n 5 n 1 2，两式相减、化简即可得b 的通项公式. 试题解析：（I） Qa1b a2b2 L anbn 3 2n 3 2n , 2 aib, 3 2 1 , ab a2b2 3 4 3 2

19、 7, Q b, 1 , b? 3, 2n1， 的前n项和Sn 2n 1 . ( )由 an 2* 1 及ab a2b2 L an b 3 2n n 3 2 F曰 得 b 2b2 22b3 L 2n1 bn 3 2n n 3 2 n 1时， bi 2b2 22b3 L2n 2bn 1 3 2n 5 2n1 , 2n1b 3 2n 3 2n 3 2 n 5 2* 1 2n 1 n 1 2 , bn 2n Q 2 11 1 b1 , 2 2 1 3 b2, bn 的通项公式为 bn 2n 1 a2 an 7.【2018上海浦东新区高三一模】 已知等差数列 an的公差为 2, 1， an 其前n项和

20、Sn Q an是等比数列, 2，an的通项公式为 a1 2 pn 2n (I)求p的值及an的通项公式; an n 2k 1* (II)在等比数列 0中，b2印，b3 a2 4，令Cn ( k N )， bn n 2k 求数列g的前n项和Tn. n n 1 3 3n 1 * ；n 2k, k N 【答案】(I) p 1, an 2n 1 ； (II )Tn 2 8 . n 1 n 2 n 33 * ；n 2k 1,k N 2 8 【解析】试题分析: (I )由 Sn 2 pn 2n求得 p的值及 an 的通项公式； n 1 (II)由题意可得：bn 3 , 分奇偶项讨论，分组求和即可. 试题解

21、析： 2 p 2 * * (I ) Q Sn pn 2n , an ,n N , an 2pn p 2,n N , 2pn p 2,n 2 an 1an 2p 2 , p 1, an 3 n 1 2 2n 1 . (II ) d a1 3,b3 a2 4 9 , - q 3, bn b?q n 23 3n 23n 1 , 当 n 2k, k * N 时，Tn a1 b2 :a3 b4 L a2k 1 b2k a1a3 L +a2k 1 b2 b4 L b?k (3 7 L +4k-1) 3 27 L _2k 1 3 k 3 4k 1 k 2k 1 2k 1,k N时，n 1是偶数, Tn Tn

22、 1 bn 1 3n 3n 3 Tn n 3 31 8；n n 33 ；n 8 2k,k N 2k 1,k (II )令 bnan an，求数列bn的前n项和 3 Sn. 【答案】（I）答案见解析; (II)s.2 n 2 3n 【解析】试题分析：（I） an 1 an可化为 an 1 1 an n 由此数列 构成首项为1,公比为 等比数列，从而可得an 的通项公式；（II）由（I）可得bn 2 1 3n 2 n 3n 2n 1 3n ,利用错位相减法可得数列 tn 的前n项和sn. an 1 n 1 故数列 2 n 构成首项为 1, 公比为 1 1的等比数列. 3 从而 a. 2 n 1 3

23、n 1， 2 即 anQn 1 . 3 (II )由 bn 2 n 1 2 n 2n 1 5 得 Sn1 3 L 2n 1 1 s A A l 3233 2n 1 2n 1 3 3n 3n 1 3n 3n 3 3n 试题解析：（I）由条件得 2 1 ，又n 1时，卑 1, 3 nn 1 2n 1 1 1 两式相减得：2S. 1 2-3 L 333 3n1 3Sn 1 21 ii 2n 1 3n 1 2n 1 3n 1 3n 27 / 19 f x的图象过原点，对x R，恒有 9. 【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数 2 2 2x 1 f x x 6x 2 成立，设数

24、列 an 满足 an an 1 f an , an 0 (I) 求证：对 x R，恒有2x21 x2 6x 2成立； (II) 求函数f x的表达式； (iii )设数列 a 前n项和为Sn，求S2018的值. 【答案】(I)证明见解析; 2 (II) f x x 2x ；2018. 【解析】试题分析：(I) 左右两侧做差，结合代数式的性质可证得 x2 6x 2x2 即对 恒有: 2x2 1 x2 6x 2成立；(II)由已知条件可设 f 2 ax bx, 给定特殊值，令 从而可得: 3，则f 3, b a 3，从而有a 0恒成立，据此可 知a 2 组求和有: 试题解析: 所以恒有: a1 1

25、，则 f x 2x .结合(I) (II )的结论整理计算可得: an 1 an 2，据此分 a2 a3a4 a2017a2018 L 2 2018. (I) x2 6x 2 2x2 1 2 3x 6x 3 3 x 0 (仅当x 1时，取 2x2 6x 2成立. (II )由已知条件可设f xax2 bx, 2 则2x 1 6x 2中，令x 1 , 从而可得：3 f 13，所以f 13，即b a 3, 222 又因为 2x 1 f x ax a 3 x恒成立，即 a 2 x a 3 x 2 0恒成立, 当a 20时，x 10，不合题意舍去， a 2 0 a 2 2 当 时, 即2a 1,所以 b 2，所以 f xx 2x. 0 a 10 (III) a*an 1 f 2 anan 2an an 0 an 1 an2an 1 an 2, 所以S2018 ai a2a3 a4La20i7 a20i82 2 L 2 2018, 即 S20182018 . 10. 【2018江苏南京师大附中、 天一、海门、淮阴四校高三联考】 如图，一只蚂蚁从单位正方体 ABCD AIB1C1D1 n步回到点A的概率pn . 卫】 (I)分别写出p1, p2的值; (II)设顶点A出发经过n步到达点C的概率