将军饮马与二次函数题型

1、(2)设(1)中的抛物线与 的周长最小？若存在，求出 (1) 求 b、c 的值; Q使得 QAC (3, 0)两点. 将军饮马与二次函数结合问题 一 解答题(共4小题) 1. (2013?宝应县校级一模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A (1, 0), B (- 3, 0)两点, (1 )求该抛物线的解析式； y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 、 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A (- 1, 0), (2) P为抛物线上的点，且满足 Sa=8，求P点的坐标； (3) 设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QA

2、C勺周长最 小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 3. (2012?昌平区模拟)如图，已知抛物线经过点B (- 2, 3),原点O和x轴上另一点A, 它的对称轴与 x轴交于点C (2, 0). (1) 求此抛物线的函数关系式； (2) 连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE求点E的坐标； (3) 在(2)的条件下，连接 BE设BE的中点为G在抛物线的对称轴上是否存在点P, 使得 PBG勺周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 4. ( 2015 秋？怀集县期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A (1, 0)、B (4, 0)、C (0,

3、3) 三占 八、 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形 PAOC勺周长最小？若存在，求 出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 2016年09月14日账号17的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一 解答题(共4小题) 2 1. (2013?宝应县校级一模)抛物线 y=-x+bx+c与x轴交与A (1, 0), B (- 3, 0)两点， (1 )求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1)将点A点

4、B的坐标代入可求出 b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式； -0 -9- 3W-c=0 (2)连接BC,则BC与对称轴的交点，即是点 Q的位置，求出直线 BC的解析式后，可得出 点Q的坐标. 【解答】解(1)把A (1, 0)、B (- 3, 0)代入抛物线解析式可得: 2 2 y= - x - 2x+3. 解得： 故抛物线的解析式为 由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC则BC与抛物线对称轴的交点是 点Q的位置， 设直线BC解析式为y=kx+b，把B (- 3, 0)、C (0, 3)代入得：一址比兰。, 23 解得:I 则直线BC的解析式为y=x+3 , 令 Q=- 1 得

5、 Q=2, 故点Q的坐标为：(-1, 2). 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、 三角形的面积及轴对称 求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力. 2 2. (2008?荔湾区一模)如图，抛物线 y=x +bx+c与x轴交于A (- 1, 0), B (3, 0)两点. (1 )求b、c的值； (2) P为抛物线上的点，且满足 Sa=8，求P点的坐标； (3) 设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QAC勺周长最 小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. y* * * J0 c J 2 【分析】(1

6、)抛物线y=x+bx+c与x轴的两个交点分别为 A (- 1, 0) , B ( 3, 0),求得b, c值；(2)设点P的坐标为(x, y),求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；(3)由AC 长为定值,要使 QAC勺周长最小，只需 QA+Q(最小.又能求得由几何知识可知，Q是直线 BC与对称轴x=1的交点，再求得 BC的直线,从而求得点 Q的坐标. 2 【解答】 解：(1)v抛物线y=x+bx+c与x轴的两个交点分别为 A (- 1 , 0) , B ( 3 , 0), (-1) 2 - b+c=0 匚二 0 fb=- 2 解之，得, c=- 3 所求抛物线的解析式为：y=x2- 2x-

7、3； (2)设点P的坐标为(x , y),由题意，得 Saab X 4 X |y|=8 , |y|=4 , y= 4 , 2 当 y=4 时，x - 2x - 3=4 , X1 = 1 + 2, X2=1 -, 当 y= 4 时，x - 2x - 3=- 4 , x=1 , 当P点的坐标分别为一一：. 二、. 、( 1,- 4)时，Sa=8; (3 )在抛物线y=x2 - 2x - 3的对称轴上存在点 Q使得 QAO的周长最小. AC长为定值， 要使 QAC的周长最小，只需 QA+QCt小. 点A关于对称轴x=1的对称点是B ( 3, 0), 由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，

8、 抛物线y=x2- 2x- 3与y轴交点C的坐标为(0，- 3),设直线BC的解析式为y=kx - 3. 直线BC过点B (3, 0), 3k - 3=0, k=1 . 直线BC的解析式为y=x - 3, 当 x=1 时，y= 2. 点Q的坐标为(1, 2). I 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A ( 1, 0), B (3, 0),很容易得到b, c值；(2)设点P的坐标为(x, y),求得y值，分 别代入从而求得点 P的坐标；(3)由AC长为定值，要使 QAC的周长最小，只需 QA+Q(最 小.又能求得由几何知识可知，Q是直线B

9、C与对称轴x=1的交点，再求得 BC的直线，从而 求得点Q的坐标本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解. 3. (2012?昌平区模拟)如图，已知抛物线经过点B ( 2, 3),原点O和x轴上另一点A, 它的对称轴与 x轴交于点C (2, 0). (1) 求此抛物线的函数关系式； (2) 连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE求点E的坐标； (3) 在(2)的条件下，连接 BE设BE的中点为G在抛物线的对称轴上是否存在点P, 使得 PBG勺周长最小？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】(1)根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据 O A、B三点坐标，用待定

10、系 数法可求出抛物线的解析式. (2) 可根据B C的坐标，求出BC的长，然后根据 CB=CE将C点坐标向上或向下平移 BC 个单位即可得出 E点坐标. (3) 本题的关键是确定 P点的位置，可取 B关于抛物线对称轴的对称点D,连接DG直线 DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置.可先求出直线 DG的解析式，然后联立抛物 线对称轴方程即可求出 P点坐标. 【解答】解：(1)由题意知：A (4, 0); 设抛物线的解析式为 y=ax (x-4),已知抛物线过 B (- 2, 3);则有： 3=ax (- 2)X( - 2- 4), 抛物线的解析式为：y=*x2 - x; (2) 过点B作BM

11、L MC T B点坐标为：(-2 , 3) , C点坐标为：(2 , 0), MC=4 BM=3 BC= |忙=5, |CE|=5 , Ei ( 2 , 5), E2 ( 2, - 5 )； (3) 存在. 当Ei (2 , 5)时，G (0 , 4),设点B关于直线x=2的对称点为D, 其坐标为(6 , 3) 直线DG的解析式为：y= - x+4 , 6 Pi ( 2，二) 当E2 (2, - 5)时，G (0, - 1),直线DG的解析式为：yjx- 1 P2 ( 2,) 综合、存在这样的点P ,使得 PBG的周长最小，且点 P的坐标为(2,- 或(2,- 一). 3 3 【点评】本题考查

12、了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识, (3)中能正确找出 P点位置是解题的关键. 2 4. ( 2015秋？怀集县期末)如图，抛物线 y=ax+bx+c经过A (1, 0)、B (4, 0)、C (0, 3) 三占 八、 (1) 求抛物线的解析式; (2) 如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形 PAOC勺周长最小？若存在，求 出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 物线解析式为y=2亠x+3 ； a匚，于是得到抛 4 (2 )先确定抛物线的对称轴为直线 连结BC交直线 于点P,如图，利用对称性 得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=B

13、C艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此 时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可. 【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x- 1) (x- 4), 把 C (0, 3)代入得 a? (- 1) ? (- 4) =3,解得 a, 所以抛物线解析式为 y= (x - 1) (x - 4),即y二-x2 x+3; (2)存在. 因为 A ( 1, 0)、B (4, 0), 所以抛物线的对称轴为直线x丄, 2 连结BC交直线x二丄于点P,如图，贝U PA=PB PA+PC=PC+PB=BQ此时PC+PA最短, 2 所以此时四边形 PAOQ勺周长

14、最小， 因为BC=厂;一 |彳上5, 所以四边形PAOC周长的最小值为 3+1+5=9. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式: 在利用待定系数法求二次函数关系式 时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当 已知抛物线上三点时， 常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； 当已知抛物 线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题. 将军饮马模型及其变形 (x+1) (x- 2)与x轴交于A、C两点(点 A在点C 一.解答题(共2小题) 1. (201

15、5?上城区一模)设抛物线 的左边)，与y轴交于点B. (1 )求A B、C三点的坐标； (2) 已知点D在坐标平面内， ABD是顶角为120的等腰三角形，求点 D的坐标; (3) 若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值. 2. (2015?贵阳)如图，在矩形纸片 ABCD中, AB=4, AD=12将矩形纸片折叠，使点 C落在 AD边上的点 M处，折痕为 PE此时PD=3. (1 )求MP的值； (2) 在AB边上有一个动点 F,且不与点A, B重合.当AF等于多少时， MEF的周长最小？ (3) 若点G, Q是AB边上的两个动点，且不与点A, B重合，GQ=2

16、当四边形 MEQG勺周长 最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号) 2016年05月18日账号17的初中数学组卷 参考答案与试题解析 解答题(共2小题) 1. (2015?上城区一模)设抛物线 (x+1) (x-2)与x轴交于A、C两点(点 A在点C 的左边)，与y轴交于点B. 求A B、C三点的坐标； 已知点D在坐标平面内， (1) (2) (3) 若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且 PQ ABD是顶角为120的等腰三角形，求点 D的坐标; =二;，求四边形ABQP周长的最小值. 3 【分析】(1)令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标； (2)分三种情况讨论：当 AB为底

17、时，若点 D在AB上方；若点D在AB下方；当AB为 腰时，A为顶点时，当 AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可. (3)当AP+BQ最小时，四边形 ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答. 【解答】解：(1)当x=0时，y=- . ； 当 y=0 时，x= - 1 或 x=2 ； 则 A (- 1, 0), B (0，-需)，C (2,0)； (2)如图，Rt ABO 中，OA=1 OBVS, AB=2 / ABO=30，/ BAO=60 , :;) ABD是顶角为120的等腰三角形. AB=2,得 0(- 1, 当AB为底时，若点 D在AB上方，由/ ABOM BAD=30 , AB

18、=2,得D ( 0, 若点D在AB下方，由/ BADM DBA=30 , 当AB为腰时，A为顶点时， / DAB=120，/ OAB=60 , AD=AB=2 点D在y轴或x轴上， 若D在y轴上，得D3 (0, ；),若D在x轴上，得 D4 (- 3, 0)； 当AB为腰时，A为顶点时， 若点D在第三象限， / DBO=150 , BD=2 得 D5 (- 1,- 2.；)； 若点D在第四象限时， DB/x 轴，BD=2,得 D6 (2,-.) 符合要求的点 D的坐标为(0，-旦,(-1- f), ( 0,血)(-3, 0), (- 1,- 33 23)，( 2,-舊)； (3) 当AP+BQ

19、最小时，四边形 ABQP的周长最小， 把点B向上平移工二个单位后得到 Bi ( 0，-二L2)， 33 / BBi / PQ 且 BB=PQ 四边形BBPQ是平行四边形， BQ=BP， AP+BQ=AP+iB), 要在直线X)上找一点P,使得AP+BP最小， 2 ， 作点Bi关于直线x=_L的对称点，得B2 (1 ,- 2 则AB就是AP+BQ的最小值，AB= :. 丄； 3， AB=2, PQ=:;, 3 x轴的交点、与y轴的交点、等腰三 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与 角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大. 2. (2015?贵阳)如图，在矩形纸片 A

20、BCD中, AB=4, AD=12将矩形纸片折叠，使点 C落在 AD边上的点 M处，折痕为 PE此时PD=3. (1 )求MP的值； (2) 在AB边上有一个动点 F,且不与点A, B重合.当AF等于多少时， MEF的周长最小？ (3) 若点G, Q是AB边上的两个动点，且不与点A, B重合，GQ=2当四边形 MEQG勺周长 最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号) H 【考点】几何变换综合题. 【专题】综合题；压轴题. 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3 CD=MH=4 / H=Z D=90，然后利 用勾股定理可计算出 MP=5 （2）如图1,作点M关于AB的对称点M

21、 ,连接ME交AB于点F,利用两点之间线段最 短可得点F即为所求，过点 E作ENL AD 垂足为N,则AM=AB MP- PD=4,所以AM=AM =4, 再证明ME=MP=5接着利用勾股定理计算出 MN=3所以NM =11,然后证明厶AFM NEM, 则可利用相似比计算出 AF; （3）如图2,由（2）知点 M是点M关于AB的对称点，在 EN上截取ER=2连接 M R交 AB于点G,再过点E作EQ/ RG交 AB于点Q,易得QE=GR而GM=GM，于是 MG+QE=MR, 利用两点之间线段最短可得此时 MG+E（最小，于是四边形 MEQG勺周长最小，在 Rt M RN 中，利用勾股定理计算出 MR=5