正定二次型的习题课设计

1、 正定二次型的习题课设计 在实二次型理论中 , 正定二次型占有特别重要的位置。 为了 帮助学生总结、 巩固和提升所学知识， 本文给出一个经过课堂教 学实践，具有良好教学效果的习题课设计。 一、正定二次型相关概念和性质复习 首先，在较短时间内， 带领学生梳理正定二次型的基本概念 和相关性质、了解重点和难点，并澄清一些常犯的错误与疑惑。 1. 定义 设实二次型f(x1,x2,xn)=XTAX,对于任意一组不全为零 的实数c1,c2,cn有f(c1,c2,cn)0，则称f为正定二次 型，并称正定二次型的矩阵 A 为正定矩阵。 注：判断正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。 2. 结论和性质 结论 1

2、. 非退化线性替换不改变二次型的正定性。 性质1.若A为正定矩阵，则|A|0，A可逆。 性质 2. 与正定矩阵合同的实对称阵也是正定矩阵。 性质 3. 正定矩阵的主对角线上元素必全大于零。 性质 4. 正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上 的元素。 性质5.若A为正定矩阵，则|A| a11ann,贝U A必不是 正定阵。 例 1. 判断二次型 f=10 x21+8x1x2+14x1x3+2x22-28x2x3+x23 是否正定。 解：二次型 f 的矩阵 A=1041242-1412 -141 显然A中元素绝对值最大者为|a23|=|a32|=14 不是对角元， 因此 f 不是正定二次型

3、。 性质6.若A为正定矩阵，则 A-1，A*，Ak（ k为正整数）也 为正定矩阵。 性质7.若A与B均为正定矩阵，则 A+B也为正定矩阵。 二、正定二次型（矩阵）的判别方法 首先，和学生一起总结判别正定二次型的常用方法和充分必 要条件，然后，通过对典型例题的分析讲评，帮助学生梳理解题 的思路、 熟悉常用的方法和技巧，对一个具体的问题到底该用哪 种方法判断。另外，精选适量练习题，帮助学生更好地理解和掌 握基本内容和基本解题方法，达到巩固、悟新与提高的目的。在 题后要加以点评，其目的在于帮助学生弄清重点、难点、知识结 合点和应注意的问题。 1. 定义判别法 例 2. 判断二次型 f=x21-2x1

4、x2-2x1x3+2x22+3x23 是否正定。 法一：因为对任意的x1, x2, x3，恒有 f=(x1 -x2)2+(x2-x3)2+2x23 0。令 f=0，即卩 x1-x2=0,x2-x3=0,x3=0 ，解得 x仁0, x2=0, x3=0。所以可得： 对于不全为零的 x1,x2,x3 ，都有 f0 ，所以 f 是正定二次型。 2. 标准形判别法 实二次型f=XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵)？圳正惯 性指数等于n?圳f的规范形为 ni -1y2i?圳A与E合同，即存 在可逆矩阵P,使A=PTP圳A合同于主对角元大于零的对角矩阵 ? 圳 A 的所有特征值全大于零。 对于同一个问题

5、往往可以用不同的方法来判断，如例 2 中 的二次型也可以用特征值或正惯性指数来判断。 法二：二次型 f 对应的矩阵为， A=1 -1 0-1 2 -10 -1 3 其特征值为x1=2,x2=2+ ,x3=2 - ，显然都大于零，所以f 是正定二次型。 法三：由于 f=(x1-x2)2+(x2-x3)2+2x23 ，做变换 y1=x1-x2y2=x2-x3y3=x3 则二次型化为标准形 f=y21+y22+2y23 ，可以看到此二次型 的正惯性指数为 3，所以 f 是正定二次型。 3. 主子式判别法 实二次型f=XTAX是正定二次型A的所有顺序主子式全都大 于零 ?圳 A 的所有主子式均大于零。 法四