带电粒子在匀强磁场中的运动

1、海伦七中高二物理导学案 编号： 150834 课题：带电粒子在匀强磁场中的运动 （1） 主备人：宫淑敏 审核人：冯亚会 课型：新授课 使用时间：第 11 周 【学习目标】 1. 理解洛伦兹力对运动粒子不做功。 2. 理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中 做匀速圆周运动。 3. 会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，知道它们 与哪些因素有关。 4. 应用：回旋加速器、质谱仪。 【重点难点】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径、轨迹的确定方法。 【课前预习】 1探究带电粒子在磁场中的运动实验 （1）不加磁场时观察电子的径迹 ； （2）给

2、励磁线圈通电，在玻璃泡中产生沿两线圈中心连线方向、由纸内指向读 者的磁场，观察电子束的径迹是 ； （ 3 ）保持出射 电子 的速度不变，改 变磁 感应强度，观察 电子 束的径迹 ，圆的半径 ； （ 4 ）保持磁感 应强 度不变，改变出 射电 子的速度，观察 电子 束的径迹 ，圆的半径 ； 2带电粒子在匀强磁场中的运动： （1）带电粒子的运动方向与磁场方向平行时：做运动。 （2）带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时：粒子做运动且运动的轨 迹平面与磁场方向 。轨道半径公式： 周期公式： 。 （3）带电粒子的运动方向与磁场方向成 时：粒子在垂直于磁场方向作 第1 页（共 12页） 运动，在平行磁场方向

3、作 运动。叠加后粒子作等距螺旋线运动。 3质谱仪： ( 1)是用来测量带电粒子的和分析 的重要工具。它是利用粒 子在电场中加速后进入磁场做 。其结构如甲图所示，容器 A 中含有电荷量 相同而质量有微小差别的带电粒子。 经过 S1 和 S2 之间的电场加速， 它们进入磁场将 沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片的不同地方，在底片上形成若干谱线状 的细条，叫做 ，每一条谱线对应于一定的 。从谱线的位置可以知道 圆周的半径，如果再已知带电粒子的电荷量，就可以算出它的质量，这种仪器叫做 质谱仪。 4回旋加速器： (1) 使带电粒子加速的方法有： 经过多次直线加速； 利用电场和磁场 的 作用，回旋 。

4、 (2) 回旋加速器是利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用， 在 的范围内来获 得 的装置。 (3) 为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速， 使之能量不断提高， 要在狭缝 处加一个 电压，产生交变电场的频率跟粒子运动的频率 。 带电粒子获得的最大能量与 D 形盒 有关。 【知识规律】 试证明： 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大。 证明：由牛顿第二定律 ，得，若 D 形盒的半径为 R，则 r=R， 带电粒子的最终动能 说明：由上式可以看出， 要使粒子射出的动能 Ekm增大，就要使磁场的磁感应强 度 B 以及 D形盒的半径 R增大，而与加速电压 U的大小无关( U0) 第2

5、 页(共 12页) 5带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题， 三找园心角”的基本方法和规律，具体分析为： （1）圆心和半径的确定 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段 圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提， 也是解题 的关键。 首先应有一个最基本的思路： 即圆心一定 在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方 法： 已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和 射出方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P 为入 射点， M为出射点。 O为轨道圆心）。 已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方

6、向的垂线，连接 入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所 示， P为入射点， M为出射点。 O为轨道圆心）。 （2）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时， 其运动时间可由下式表示： （或 ）。 说明： 式 中的 以“度”为单位（或 中的 以“弧 度”为单位）， T 为该粒子做圆周运动的周期，以上两式说明转 过的圆心角越大，所用时间越长，与运动轨道长度无关。 确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论： 带电 第3 页（共 12页） 粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角 叫做偏向角，偏向角 等于圆弧

7、轨道 对应的圆心角， 即，如右图示。 圆弧轨道所对圆心角 等于 PM弦与切线的夹角（弦切角） 的 2 倍，即 6带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题的解题步骤 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法三步法： （1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹。 （2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角 运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。 （3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。 【预习检测】 1. 用回旋加速器分别加速 粒子和质子时，若磁场相同，则加在两个 D 形盒间 的交变电压的频率应不同，其频率之比为 （ ）

8、 A 1：1B.1：2C.2：1D.1：3 2. 一电子在匀强磁场中 ,以固定的正电荷为圆心 , 在圆形轨道上运动 . 磁场方向垂 直它的运动平面 ,电场力恰是磁场力的三倍 .设电子电荷量为 e,质量为 m.磁感应强度 为 B. 那么电子运动的角速度应当是 第3题 3. 一个带电粒子 ,沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场 , 粒子的一段径迹如图所示 径迹上的每小段都可以近似看成圆弧 ,由于带电粒子使沿途空气电离 ,粒子的能量逐 渐减小 （带电荷量不变 ）,从图中情况可以确定 A粒子从 a 到 b,带正电 B粒子从 b 到 a,带正电 C粒子从 a 到 b.带负电 D粒子从 b 到 a,带负电 第

9、4 页（共 12页） 4. 回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连 接的两个 D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场， 使粒子在通过狭 缝时都能得到加速，两 D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图 7 所示，要 增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是 ( ) A增大匀强电场的加速电压 B增大磁场的磁感应强度 C减小狭缝间的距离 D增大 D 形金属盒的半径 典题探究】 例 1：质量为 m，电荷量为 q的粒子，以初速度 v0 垂直进入磁感应强度为 B、 宽度为 L 的匀强磁场区域，如图所示。求 (1)带电粒子的运动轨迹及运动性质 (2)带电粒子

10、运动的轨道半径 (3)带电粒子离开磁场的速率 (4)带电粒子离开磁场时的偏转角 (5)带电粒子在磁场中的运动时间 t (6)带电粒子离开磁场时偏转的侧位移 解析】带电粒子作匀速圆周运动； 轨迹为圆周的一部分 R mv0 qB L sin vv0 sin LR qBL mv0 t ab Rv0( 弧度为单位 ) yR R2L2R(1 cos) 总结： 对带电粒子的匀速圆周运动的求解，关键是画出匀速圆周运动的轨迹， 第5 页(共 12页) 利用几何知识找出圆心及相应的半径，从而找到圆弧所对应的圆心角。由公式 知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率成 正比。要注重对轨道半径

11、的组合理解和变式理解，例如（P 是带电 粒子的动量， 为比荷的倒数） 由公式 知，在匀强磁场中，做匀速圆 周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比。 【变式训练 1】 质子（ ）和 粒子（ ）从静止开始经相同的电势差加 速 后垂 直进 入同 一匀 强磁 场做 圆周运 动， 则这 两个 粒子 的 动 能 之 比 Ek1 Ek2=，轨 道半 径 之比 r1 r2=， 周期 之比 T1 T2=。 例 2 ： 如图所示，一质量为 m，电荷量为 q 的粒子从容器 A 下方小孔 S1 飘入 电势差为 U 的加速电场。然后让粒子垂直进入磁感应强度为 B 的磁场中做匀速圆周 运动，最后

12、打到照相底片 D 上，如图 3所示。求 粒子进入磁场时的速率； 粒子在磁场中运动的轨道半径。 【解析】 粒子在 S1 区做初速度为零的匀加速直线运动。在 S2 区做匀速直线 运动，在 S3 区做匀速圆周运动。 12 2mv2 qU 确 由此可解出 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为： r mv qB 由动能定理可知 第6 页（共 12页） r 和进入磁场的速度无关，进入同一磁场时， r mq ，而且这些个量中， U 、 B、r 可以直接测量，那么，我们可以用装置来测量比荷。 总结：质子数相同而质量数不同的原子互称为同位素。在图 4 中，如果容器 A 中含有电荷量相同而质量有微小差别的粒子，

13、根据例中的结果可知，它们进入磁场 后将沿着不同的半径做圆周运动，打到照相底片不同的地方，在底片上形成若干谱 线状的细条，叫质谱线。每一条对应于一定的质量，从谱线的位置可以知道圆周的 半径 r，如果再已知带电粒子的电荷量 q，就可算出它的质量。 这种仪器叫做质谱议。 例 3：如图 1所示为一种质谱仪的工作原理示意图在以 O为圆心， OH 为对称轴， 夹角为 2的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场对称于OH 轴的 C 和 D 分别是离子发射点和收集点 CM 垂直磁场左边界于 M ，且 OM d.现有一正离子 束以小发散角 (纸面内)从C 射出，这些离子在 CM方向上的分速度均为 v0.若该离

14、子 束中比荷为 mq 的离子都能汇聚到 D，试求： 图1 (1) 磁感应强度的大小和方向 (提示：可考虑沿 CM 方向运 动的离子为研究对象 ) (2) 离子沿与 CM 成 角的直线 CN 进入磁场，其轨道半径 和在磁场中的运动时间 【解析】 (1)设沿 CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运 动的轨道半径为 2 R.由 qv0BmRv0， Rd， 得 B mqvd0， qd 磁场方向垂直纸面向外 (2) 设沿 CN 运动的离子速度大小为 v ，在磁场中的轨道半径为 R，运动时间为 t.如图分析有： vcosv0 得v v0 cos mv d qB cos 方法一：设弧长为 s 第7 页(共 1

15、2页) 2d t ， s=2(+ )R v 方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期 2m T= qB t v0 2d tT v0 总结 ：判断带电粒子的受力方向，由轨迹图确定带电粒子在磁场中的轨道半径 和 d 的关系以及粒子在磁场中运动的圆心角等，结合牛顿运动定律和带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的规律列式，即可求解相关问题。 【变式训练 2】月球“勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对 月球进行近距离勘探， 在月球重力分布、 磁场分布及元素测定方面取得最 新成果 月球上的磁场极其微弱， 探测器通过测量运动电子在月球磁场中 轨迹来推算磁场强弱的分布，如图所示是探测器通过月球a、b、c、d

16、位 置（a 轨迹恰为一个半圆 ）设电子速率相同，且与磁场方向垂直据此可 判断磁场最弱的是哪个位置 已知图中照片是边长为 20 cm的正方形，电 子比荷为 1.81011 C/kg，速率为 90 m/s，则 a点的磁感应强度为多少？ 例4 回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它获得很大动能的仪器， 其核心部分 是两个 D 形金属扁盒， 两盒分别和一高频交流电源两极相接， 以便在盒间窄缝中形 成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速，两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直 于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射 出的粒子电荷量为 q，质量为 m，粒子最大回旋半 径为 Rmax，其运动轨迹如图，问： （

17、1）盒内有无电场？ 第8 页（共 12页） （2）粒子在盒内做何种运动？ （3）所加交流电频率应是多大，粒子角速度为多大？ （4）粒子离开加速器时速度为多大，最大动能为多少？ （5）设两 D 形盒间电场的电势差为 U ，盒间距离为 d，其电场均匀，求加速 到上述能量所需时间。 【解析】 扁形盒由金属导体制成， 扁形盒可屏蔽外电场， 盒内只有磁场而无电场， 带电粒子在扁形盒内做匀速圆周运动，在窄缝间做匀加速直线运动，由于粒子在电 场内运动时间极短，要使粒子每次在窄缝间都得到加速，交流电压频率必须等于粒 子在 D 形盒间运动的回旋频率。由，可求出最大回旋半径所对应的最大动 能，粒子每旋转一周两次通

18、过窄缝，旋转一周增加能量 2qU。据求得的最大能量便 可求得粒子在磁场中旋转次数 n，粒子在磁场中运动时间即为 nT。在旋转 n 次过程 中，粒子在 D 形盒的两窄缝间通过总路程为 2nd，每次通过时粒子加速度未变，粒 子通过 2nd 的整个过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，由匀变速直线运动公 式又可求出粒子在两窄缝间运动时间。 （1）扁盒由金属导体制成，具有屏蔽外电场作用，盒内无电场。 （2）带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大。 （3）粒子在电场中运动时间极短，因此高频交流电压频率要等于粒子回旋频 率， 因为 ，回旋频率 角速度 4）粒子最大回旋半径为 Rmax，则由牛顿

19、第二定律得 ，故 最大动能 第9 页（共 12页） （5）粒子每旋转一周增加能量 2qU。提高到 Emax，则旋转周数 在磁磁场中运动的时间 若忽略粒子在电场中运动时间， 可视为总时间，若考虑粒子在电场中 运动时间， 在 D 形盒两窄缝间的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动。 ，所以 将 代入得： 所以粒子在加速过程中的总时间 ，通常 （因为 ） 总结：回旋加速器是一种重要的仪器，其原理就是让带电粒子在金属盒内多次 加速，磁场使其偏移，金属盒间缝很窄，弄清带电粒子的运动就不难解答问题。 【变式训练 3】 已知回旋加速器中 D 形盒内匀强磁场的磁感应强度 B1.5T， 4 D 形盒的半径为 R60 cm，两盒间电压 U2104 V，今将粒子从间隙中心某处 向 D 形盒内近似等于零的初速度， 垂直于半径的方向射入， 求粒子在加速器内运行