平面直角坐标系找规律压轴与平行线解答题压轴题

1、七下平行线，平面直角坐标系压轴题 一.填空题（共13小题） 1. 已知点M （3, 2）与点N （x, y）在同一条平行于x轴的直线上，且 点N到y轴的距离为5,则点N的坐标为. 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为 （0, 1）,将线段AB平移，使其一个端点到C （3, 2）,则平移后另一端 点的坐标为. 3. 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE,其中C、D两点坐标分别为 （1, 0）、（2, 0）.若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚 动，则滚动过程中，经过点（75, 0）的是（填A、B、C、D或E）. 4. 如图，弹性小球从点P （0, 3

2、）出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到 矩形的边时的点为匕，第2次碰到矩形的边时的点为巳，第n次碰 到矩形的边时的点为P则点P3的坐标是；点P沁I的坐标 5. 如图，在直角坐标系中，已知点A (0)、B (0, 4), AB二5对 0AB连续作旋转变换，依次得到、,、“，则如的直角顶 点的坐标为. 6. 如图，将边长为1的正方形0APB沿x轴正方向连续翻转2008次，点 P依次落在点P“ ?2, P“ P“,P湖的位置，则Pzooe的坐标为 3个 B 巴 巳 、1 、1 : 、： A 0 X 7如图，在平面直角坐标系中，有若干个横

3、坐标分别为整数的点，其顺 序按图中 “f” 方向排列,如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2)根据这个规律，第2012个点的横坐标为 3 2 1 O 8.如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依 次得到点巳，P2, P3-P2012.则点匕如的坐标是 AgA1oAllAi2, ，(每个正方形从第三 象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A A A3, A,； A5, Ae， A7, As； A A】” Au,也)的中心均在坐标原点0,各边均与X轴或 y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6，则顶点的坐标为 10如

4、图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“f ” 方向排列，如(0, 1), (0, 2), (1, 2), (1, 3), (0, 3),( 1, 3), 根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 y 1 S U 1 -3 -2 -1 1 2 3% ii如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 箭头方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1), (3, 0), 根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为 -(3.21 *f4.2i(5.2) If j (2.1 1(3,1 )1(4.111(5.1) Un (1.01

5、r2,01 (3.01 (4.01 f5.01 X 12如图，在直角坐标系中，第一次将AOAB变换成 OA：Bx,第二次将 AOAxB：变换成 OA：B：.第三次将OAR变换成 OAR 已知：A (b 3), A： (2, 3), A： (4, 3), A3 (8, 3)； B (2, 0), Bt (4, 0), B： (8, 0), B3 (16, 0).观察每次变换前后的三角形有何变化，按 照变换规律，第五次变换后得到的三角形民的坐标是, B5的坐标 13如图，在平面直角坐标系上有点A (1, 0),点A第一次向左跳动至 点A： ( - 1, 1),第二次向右跳动至点A： (2, 1),

6、第三次向左跳动至点 A3 ( - 2, 2),第四次向右跳动点A., (3, 2),，依次规律跳动下去, 点A第2017次跳动至点八沁的坐标是 14.如图，已知直线ABCD,直线EF分别与AB、CD相交于点E、F, FM 平分ZEFD,点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交 EF于点P, HM平分ZBHP交FM于点 （1）如图 1,试说明：ZHMF=i （ZBHP+ZDFP）； 2 请在下列解答中，填写相应的理由： 解:过点M作MQAB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）. VAB/7CD （已知）， MQCD （如果两条直线都和笫三条直线平行，那么这两条直线也互相

7、平行） /.Z1=Z3, Z2=Z4 （） /.Z1+Z2=Z3+Z4 （等式的性质） 即 ZHMF 二 Z1+Z2. TFM平分ZEFD, HM平分ZBHP （已知） TZ1 二丄ZBHP, Z2=1ZDFP （） 2 2 ZHMF二丄ZBHP+丄ZDFP二丄(ZBHP+ZDFP)(等量代换). 2 2 2 (2) 如图2,若HP丄EF,求ZHMF的度数； (3) 如图3,当点P与点F重合时，FN平分ZHFE交AB于点过点 作NQ丄FH于点Q,试说明无论点H在何处都有ZEHF二2ZFNQ 15. 如图L直线mm 点B、F在直线m,点E、C在直线n上，连 结FE并延长至点A,连结BA和CA,使

8、ZAEOZBAC. （1）求证：ZBFA+ZBAC=180 ； （2）请在图1中找出与ZCAF相等的角，并加以证明； （3）如图2,连结BC交AF于点D,作ZCBF和ZCEF的角平分线交于点 M,若ZADC= a ,请直接写出ZM的度数（用含a的式子表示） 16. 已知直线AB/7CD, M, N分别是AB, CD上的点. （1）若E是AB, CD内一点. 如图屮所示，请写出ZBME, ZDNE, ZMEN之间的数量关系，并证明. 如图乙所示，若Z哙ZBME, Z2吉ZDNE,请利用的结论探究ZF 与ZMEN的数量关系. (2) 若E是AB, CD外一点 如图丙所示，请直接写出ZEMB, ZE

9、ND, ZE之间的数量关系. 如图丁所示，已知ZBMP=1ZEMB,在射线MP上找一点G,使得ZMGN=1 44 ZE,请在图中画出点G的大致位置，并求ZENG： ZGND的值. 甲 A M B 乙 丙 17. 已知，ABCD，点E为射线FG上一点. (1) 如图 1,若ZEAF二30 , ZEDG=40 ,则ZAED二 ； (2) 如图2,当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H,则ZAED、 ZEAF、ZEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3) 如图3, DI平分ZEDC,交AE于点K,交AI于点I,且ZEAI： Z BAI二 1： 2, ZAED=22 , ZI=20 ,

10、求ZEKD 的度数. 图3 18. 小明在学习了 “平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探 究：在平面内，直线ABCD, E为平面内一点，连接BE、CE,根据点E 的位置探究ZB和ZC、ZBEC的数量关系.（1）当点E分别在如下图、 图和图所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的ZB和ZC、 ZBEC的数量关系：图中：；图中：，图 中：.（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证 明.（3）运用上面的结论解决问题：如图，ABCD, BP平分ZABE, CP平分ZDCE, ZBEC二100 , ZBPC的度数是.（直接写出结果, 不 用 写 计 算 过 程） 19. 如图 1,

11、AC 平分ZDAB, Z1 二Z2. G (1) 试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； (2) 如图2,当ZADC=120时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运 动，试探讨ZE和ZF的数量关系； (3) 如图3, AD和BC交于点G,过点D作DHBC交AC于点H,若AC 丄BC,问当ZCDH为多少度时，ZGDC二ZADH 20. 已知直线ABCD. (1) 如图1,直接写出ZBME、ZE、ZEND的数量关系为 (2) 如图2, ZBME与ZCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究 ZP与ZE之间的数量关系，并证明你的结论； 21如图1, MN/PQ,直线AD与MN、FQ分别交于点A、

12、D,点B在直线 PQ上，过点B作BG丄AD,垂足为点G. (1) 求证：ZMAG+ZPBG二90 ； (2) 若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC, ZMAG和ZPBC 的平分线交于点H,请在图2中补全图形，猜想并证明ZCBG与ZAHB的 数量关系； (3) 若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立若成立，请 22如图，已知ABCD, CE、BE的交点为E,现作如下操作: 第一次操作，分别作ZABE和ZDCE的平分线，交点为E, 第二次操作，分别作ZABE：和ZDCE】的平分线，交点为 第三次操作,分别作ZABE：和ZDCE=的平分线,交点为Es, 第n次操作,分别作Z

13、ABE和ZDCE的平分线,交点为弗 (1) 如图，求证：ZBEC二ZABE+ZDCE： (2) 如图，求证：ZBE：C=izBEC： 4 (3) 猜想：若ZE = a度，那ZBEC等于多少度(直接写出结论). 23“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM 开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交义照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQMN,且ZBAM： ZBAN二 2： 1. （1）填空：ZBAN二 ； （2）若

14、灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达 BQ之前，A灯转动儿秒，两灯的光束互相平行 （3）如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AX之前.若射出的光 束交于点C,过C作ZACD交PQ于点D,且ZACD二120 ,则在转动过程 中，请探究ZBAC与ZBCD的数量关系是否发生变化若不变，请求出其数 量关系；若改变，请说明理由. 24.已知，直线ABDC，点P为平面上一点，连接AP与CP. (1) 如图1,点P在直线AB、CD之间，当ZBAP二60 , ZDCP二20时， 求 ZAPC. (2) 如图2,点P在直线AB、CD之间，ZBAP与ZDCP的角平分线相交 于点K,写出ZAK

15、C与ZAPC之间的数量关系，并说明理由. (3) 如图3,点P落在CD外，ZBAP与ZDCP的角平分线相交于点K, ZAKC与ZAPC有何数量关系并说明理由. 25. 已知直线AB/7CD. (1) 如图1,直接写出ZABE, ZCDE和ZBED之间的数量关系是. (2) 如图2, BF, DF分别平分ZABE, ZCDE,那么ZBFD和ZBED有怎 样的数量关系请说明理由. (3) 如图3,点E在直线BD的右侧，BF, DF仍平分ZABE, ZCDE,请 直接写出ZBFD和ZBED的数量关系 1 2 26. 已知AMCN,点B为平面内一点，AB丄BC于B. （1）如图1,直接写出ZA和ZC之

16、间的数量关系； （2）如图2,过点B作BD丄AM于点D,求证：ZABD二ZC： （3）如图3,在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF, BF 平分ZDBC, BE 平分ZABD,若ZFCB+ZNCF=180 , ZBFC=3ZDBE, 求ZEBC的度数. 27如图，直线ABCD,直线MN与AB, CD分别交于点M, N, ME, NE 分别是ZAMN与ZCNM的平分线，NE交AB于点F,过点？(作NG丄EN交 AB于点G. (1) 求证：EMNG： (2) 连接EG,在GN上取一点H,使ZHEG二ZHGE,作ZFEH的平分线EP 交AB于点P,求ZPEG的度数. 28. 已

17、知，ZAOB二90，点 C 在射线 OA 上，CD0E. (1) 如图1,若Z0CD=120 ,求ZBOE的度数； (2) 把“ZAOB二90 ”改为“ZAOB二120 ”，射线OE沿射线OB平移, 得0 E,其他条件不变，(如图2所示)，探究ZOCD、ZB0 E的数量关 系； (3) 在(2)的条件下，作P0丄0B垂足为0,与Z0CD的平分线CP 交于点P,若ZBO Ek,请用含a的式子表示ZCPOf （请直接写出 29. 如图1.将线段AB平移至CD,使A与D对应，B与C对应，连AD、 BC. 囹1图2 （1）填空：AB与CD的关系为, ZB与ZD的大小关系为 （2）如图2,若ZB二60

18、, F、E为BC的延长线上的点，ZEFD二ZEDF, DG平分ZCDE交BE于G,求ZFDG. （3）在（2）中，若ZB=a ,其它条件不变，则ZFDG二. 30. 已知：如图，BC0A, ZB二ZA二100 ,试回答下列问题： （1）如图所示，求证：0BAC.（注意证明过程要写依据） （2）如图，若点E、F在BC上，且满足ZF0C二ZA0C,并且0E平分Z BOF. (i) 求ZEOC的度数； (ii )求 ZOCB： ZOFB 的比值； (iii)如图，若ZOEB二ZOCA此时ZOCA度数等于(在横线 31数学思考： (1) 如图1,已知ABCD,探究下面图形中ZAPC和ZPAB、ZPCD

19、的关 系，并说明你探究的结论的正确性. 推广延伸： (2) 如图 2,已知 AA/BA3,请你猜想ZAi、ZB、ZB：、ZA： ZAs 的关系，并证明你的猜想； 如图3,已知AAi/ZBh,直接写出ZA： ZB、ZB：、Z、ZB、 NA.的关系. 拓展应用： (3) 如图4,若ABEF,用含a , P , 丫的式子表示x,应为 A. ci+B + Y B B + Y - a - a Y + B +a+B - Y 如图 5, ABCD, ZEFA二30 , ZFGH二90 , ZHMN二30 , ZCNP二50 , 则ZGHM的大小是 图1 E 32已知，直线AB/CD (1) 如图1,点E在直

20、线BD的左侧,猜想ZABE、ZCDE、ZBED的数量 关系，并证明你的结论； （2）如图2,点E在直线BD的左狈IJ, BF、DF分别平分ZABE. ZCDE, 猜想ZBFD和ZBED的数量关系，并证明你的结论： （3）如图3,点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分ZABE、ZCDE； 那么笫（2）题中ZBFD和ZBED的数量关系的猜想是否仍成立如果成立, 33 阅读下列材料并填空： （1）探究：平面上有n个点（n$2）且任意3个点不在同一条直线上, 经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线 我们知道，两点确定一条直线.平面上有2个点时，可以画空丄二1条直 2 线，平面内有3个点时，一共可以

21、画号2二3条直线，平面上有4个点时, 一共可以画号色二6条直线，平面内有5个点时，一共可以画条 直线，平面内有n个点时，一共可以画条直线. （2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n2）进行单循环比赛（每两队 之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛有2个球队时，要进行 二1场比赛，有3个球队时，要进行3学二沏比赛，有4个球队时, 2 2 要进行场比赛，那么有20个球队时，要进行场比赛. 34若 ZC二 a , ZEAC+ZFBC二 B (1) 如图，AM是ZEAC的平分线，BX是ZFBC的平分线，若AMB, 则a与P有何关系并说明理由. (2) 如图，若ZEAC的平分线所在直线与ZFBC平分线所

22、在直线交于 P,试探究ZAPB与a、B的关系是.(用a、B表示) (3) 如图，若a MB, ZE AC与ZFBC的平分线相交于P，ZEAP：与 ZFBP：的平分线交于匕；依此类推，贝IJZP尸.(用a、B表示) 35. 已知，AB/7CD，点E为射线FG上一点. (1) 如图1,直接写出ZEAF、ZAED、ZEDG之间的数量关系； (2) 如图2,当点E在FG延长线上时，求证：ZEAF二ZAED+ZEDG； （3）如图3, AI平分ZBAE, DI交AI于点I,交AE于点K,且ZEDI： ZCDI二2： 1, ZAED二20 , ZI=30 ,求 ZEKD的度数. 36. 已知AB/CD,点

23、P在直线AB、CD之间，连接AP、CP. (1)探究发现：(填空) 填空：如图b过P作PQAB, ZA+Z1=() VAB/7CD (已知) PQCD () ZC+Z2 二 180 结论：ZA+ZC+ZAPC二 ； （2）解决问题： 如图2,延长PC至点E, AF、CF分别平分ZPAB、ZDCE,试判断ZP 与ZF存在怎样的数量关系并说明理由； 如图3,若ZAPC=100 ,分别作BN/AP, DN/PC, AM、DM分别平分 ZPAB, ZCDN,则ZM的度数为 （直接写出结果）. 图2 CD 图3 37如图1, ABCD, E是AB、CD之间的一点. （1）判定ZBAE, ZCDE与ZAE

24、D之间的数量关系，并证明你的结论： （2）如图2,若ZBAE、ZCDE的两条平分线交于点F.直接写出ZAFD 与ZAED之间的数量关系； (3) 将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若ZAGD的余角 等于2ZE的补角, 囹1 求ZBAE的大小. 图2 38实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反 射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图1, 一束光线m射到平面镜a 上，被3反射后的光线为n,则入射光线m、反射光线n与平面镜 (3) 如图3,延长AC交直线MN于D, GH平分ZCGN, DK平分ZADN交 GH于K,问ZGKD是否为定值，若是求值，不是说明理山. 40

25、.已知ADCE,点B为直线AD. CE所确定的平面内一点. (1) 如图 1 所示，求证：ZADB二ZB+ZBFE. (2) 如图2, FG平分ZBFE, DG交FG于点G交BF于点H,且ZBDG： Z E C 图2 E 1. ( -5, 2)或(5, 2) ;2.(1, 3)或(5, 1) 3. B;4. (8, 3), (5, 0) ;5. (8052, 0) 6. (2007, 1) 7. 45. 8(4023, Vs). 9. (5, -5). 10. ( -5, 13). 11. (14, 10) ;12. (32, 3), (64, 0); 13. ( - 1009, 1009)

26、七下平行线，平面直角坐标系压轴题 够考答案与试題解析 一.填空题(共13小题) 1. 已知点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，且 点N到y轴的距离为5,则点N的坐标为 (-5, 2)或(5, 2). 【分析】根据点M(3, 2)与点N(x, y)在同一条平行于x轴的直线上, 可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5,可 得点N的横坐标的绝对值等于5,从而可以求得点N的坐标. 【解答】解：点H (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上， 点M的纵坐标和点N的纵坐标相等. y二2. 点N到y轴的距离为5, A|x|=5. 得，x二5

27、. 点N的坐标为（5, 2）或（5, 2）. 故答案为：（5, 2）或（5, 2）. 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的 直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值. 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为 （0, 1）,将线段AB平移，使其一个端点到C （3, 2）,则平移后另一端 点的坐标为（1, 3）或（5, 1）. 0 Ajc 【分析】分两种情况当A平移到点C时，当B平移到点C时，分别 利用平移中点的变化规律求解即可. 【解答】解：如图1,当A平移到点C时, B A 7 0 X 图1 VC （3, 2）, A的

28、坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0, 1）, 点A的横坐标增大了 1,纵坐标增大了 2, 平移后的B坐标为（1, 3）, 如图2,当B平移到点C时， VC （3, 2）, A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0, 1）, 点B的横坐标增大了 3,纵坐标增大2, 平移后的A坐标为（5, 1）, 故答案为:（1, 3）或（5, 1）. 【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直 角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变 化情况来解决问题.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减； 纵坐标上移加，下移减. 3. 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE,

29、其中C、D两点坐标分别为 （1, 0）、（2, 0）.若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚 动，则滚动过程中，经过点（75, 0）的是B （填A、B、C、D或E）. 【分析】根据点（75, 0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5 次正好一周，由此可知经过（5, 0）的点经过（75, 0）,找到经过（5, 0）的点即可. 【解答】解：TC、D两点坐标分别为（1, 0）、（2, 0）. 按题中滚动方法点E经过点（3, 0）,点A经过点（4, 0）,点B经过 点（5, 0）, 点（75, 0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周， 可知经过（5, 0）的点经过（75, 0）

30、, 点B经过点（75, 0）. 故答案为:B. 【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了 解正五边形滚动5次正好一个轮回，并山此判断经过点(75, 0)的点就 是经过(5, 0)的点. 4. 如图，弹性小球从点P (0, 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形0ABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到 矩形的边时的点为匕，第2次碰到矩形的边时的点为匕，第n次碰 到矩形的边时的点为叮 则点匕的坐标是 (8, 3)；点匕的坐标 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个 循环组依次循环，用2014除以6,根据商和余数的惜况确定所对应

31、的点 的坐标即可. 【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0, 3), 当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：(8, 3)； V 20144-6=335-4,当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹, 点P的坐标为(5, 0). 故答案为：(8, 3), (5, 0). 【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反 弹为一个循环组依次循环是解题的关键. 5. 如图，在直角坐标系中，已知点A ( - 3, 0). B (0, 4),对AOAB 连续作旋转变换，依次得到As. Ar-,则辭的直角顶点的 【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根

32、据第四个三角形与第一个 三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出 一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3,根据商为671可知第2013 个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可. 【解答】解：点A (3, 0)、B (0, 4), 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长 度为:4+5+3二 12, 720134-3=671, 如的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 7671X12=8052, 畑的直角顶点的坐标为(8052, 0). 故答案为:(8052, 0). 【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了

33、，难度不大，仔细观察图 形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解 的难点. 6. 如图，将边长为1的正方形0APB沿x轴正方向连续翻转2008次，点 P依次落在点玖,匕，P3, Pp，P湖的位置，则P唤的坐标为 (2007, 1) p BP.E 、： ! : 、； 900 笳 9巳(PJM 【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008变形， 得出结论. 【解答】解：根据规律 Pt (1, 1), P2 (2, 0) =P3 , P, (3, 1), P5 (5, 1), P6 (6, 0) =P；, Ps (7, 1) 每4个一循环，可以判断匕oos坐标在5

34、02次循环后与巴坐标纵坐标一致, 坐标应该是(2007, 1) 故答案为：(2007, 1) 【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的 理解和掌握，体现了山特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在 考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律. 7. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺 序按图中一”方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2)根据这个规律，第2012个点的横坐标为45. 3 -* 2 1-,I 1 o| 1234 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的

35、点为准，点的总个数 等于X轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇 数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶 数时，以横坐标为1,纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根 据此规律解答即可. 【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数 等于x轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1二F, 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4二2， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9二3， 右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16二4， 右下角的点的横坐标为n时，共有个, 45-2025, 45 是奇数, 第2

36、025个点是（45, 0）, 第2012个点是（45, 13）, 所以，第2012个点的横坐标为45. 故答案为:45. 【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关 系是解题的关键. 8. 如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依 【分析】根据等边三角形的性质易求得匕的坐标为（1, V3）;在等边三 角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2 个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点匕竺的坐标. 【解答】解：易得匕（1, V3）： 而 P：P尸Pfs二2, AP2 （3, 冋,P3 （5, J引； 依此类推,P （l+2n

37、 -2, 问,即巳（2n- 1, 当 n二2012 时，P：oi2 (4023, 3). 故答案为：(4023, V3). 【点评】考查了规律型：点的坐标.解答此类规律型问题时，通常要根 据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值. 9. 如图，正方形AAAA，A5A6A7AS,人晶凶人口，(每个正方形从第三 象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为扎，A2, As，A.; A5, Ae， A：, As； A9, A10, Au,乩；)的中心均在坐标原点0,各边均与x轴或 y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6，则顶点心的坐标为_(5 -5). 【分析】山空二5易得心在第四象限，

38、根据A勺坐标，人的坐标，的 4 坐标不难推出甌的坐标. 【解答】解：空二5, 4 A”在第四象限， 佻所在正方形的边长为2, 佻的坐标为（1,1）, 同理可得：As的坐标为（2,2）,辰的坐标为（3,3）, A”的坐标为（5,5）, 故答案为：（5,5）. 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A”所在的象 限. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一” 方向排列，如（0, 1）, （0, 2）, （1, 2）, （1, 3）, （0, 3）,（ 1, 3）， 根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 （-5,13）. 【分析】观察可知，纵坐标的数值与

39、点的个数相等，然后求出第90个点 的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左 计数，纵坐标是偶数的从左到右讣数，然后解答即可. 【解答】解：(0, 1),共1个， (0, 2), (1, 2),共 2 个， (1, 3), (0, 3),( 1, 3),共 3 个， ， 依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标， 1 +2+3+ , 2 当 n二 13 时，13X 3+1-L二91, 2 所以，第90个点的纵坐标为13, (13 1) 4-2=6, 第91个点的坐标为(6, 13), 第90个点的坐标为(5, 13). 故答案为：(-5, 13). 【点评】本题考查了点的坐标与规

40、律变化问题，观察出纵坐标的数值与 相应的点的坐标的个数相等是解题的关键. 11. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 箭头方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1), (3, 0), 根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14, 10） (1.01 r2.01 (3,0 (4.01 fS.Ul X 【分析】应先判断出第102个数在第儿行，第儿列，再根据分析得到的 规律求解. 【解答】解：把第一个点（1, 0）作为第一列，（2, 1）和（2, 0）作为 第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数

41、.则n列共有辿也丄个数，并且在奇数列点的顺序是山上到下，偶 数列点的顺序山下到上. 因为105二1+2+3+14,则第102个数一定在第14列，由下到上是第11 个数.因而第102个点的坐标是（14, 10）. 故答案填：（14, 10）. 【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能 正确找出题目中点的规律. 12. 如图，在直角坐标系中，第一次将AOAB变换成 OA：Bx,笫二次将 AOAxB：变换成 OA;B：,第三次将OAR变换成 OA3B3- 已知：A (1, 3), A： (2, 3), A： (4, 3), A3 (8, 3)； B (2, 0), B： (4,

42、 0), B： (8, 0), B3 (16, 0).观察每次变换前后的三角形有何变化，按 照变换规律，第五次变换后得到的三角形仏的坐标是(32, 3), 【分析】寻找规律求解. 【解答】解：A、A、Ar-An都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相 等，所以人的纵坐标是3； 这些点的横坐标有一定的规律：Af2.因而点人的横坐标是2=32； B、B】、都在x轴上,Bs的纵坐标是0； 这些点的横坐标也有一定的规律:Bf2,因而点足的横坐标是B尸2护二64. 点As的坐标是(32, 3),点 (2)根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与ZCAF相等 的角： (3)过D作DHBF,过M作MG

43、/7BF,根据平行线的性质，即可得到Z CED二ZHDE, ZFBD二ZHDB,再根据ZCBF和ZCEF的角平分线交于点 可得ZCEM+ZFBM二丄(ZCED+ZFBD),进而得到的度数. 2 【解答】解：(1)如图1, 直线mm ZAEC=ZAFM, J ZAEC=ZBAC, ZAFM=ZBAC, XVZBFA+ZAFM=180 , ZBFA+ZBAC二 180 ； (2) 与ZCAF 相等的角有：ZANC, ZABF, ZBNG. 证明：TZAEC二ZBAC, ZACE二ZNCA, ZCAE二ZANC二ZBNG, m n, ZABF=ZANC, 与ZCAF 相等的角有：ZANC, ZABF

44、, ZBNG； (3) 如图 2,过 D 作 DHBF,过 M 作 MGBF, BFCE, DHBFCE, MGBFCE, ZCED二ZHDE, ZFBD二ZHDB, ZCED+ZFBD二ZEDB二 180 ZADC二 180 a , ZCBF和ZCEF的角平分线交于点M, AZCEM+ZFBM=1 (ZCED+ZFBD) (180 - a ) =90 丄a 2 2 2 TMGBFCE, Z CEM二 Z GME, Z FBM二 Z GMB, ZBME= ZGME+ Z GMB= Z CEM+ ZFBM=90 丄 a 2 M 图2 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅

45、 助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等. 16.已知直线ABCD, N分别是AB, CD上的点. (1) 若E是AB, CD内一点. 如图中所示，请写出ZBME, ZDNE, ZME之间的数量关系，并证明. 如图乙所示，若Z1二丄ZBME, Z2丄ZDNE,请利用的结论探究ZF 33 与ZMEN的数量关系. (2) 若E是AB, CD外一点. 如图丙所示，请直接写出ZEMB, ZEND, ZE之间的数量关系. 如图丁所示，已知ZBMP=iZEMB,在射线MP上找一点G,使得ZMGN=i 44 ZE,请在图中画出点G的大致位置，并求ZENG： ZGND的值. 【分析】（1）过E作E

46、FAB,构造内错角，依据两直线平行，同旁内 角互补进行推导，即可得到ZBME+ZDNE+ZMEN二360 .过F作FG AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到ZMFN二Z1+ Z2,再结合的结论，即可得出3ZMFN+ZMEN二360 ； （2）过E作EFAB,构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进 行推导计算，即可得到ZDNE - ZBME=ZMEN；设ZGMB二ci , ZG二B, 由 ZBMPZEMB, ZGZE,可得ZEMQ二3 a , ZE二4 0 ,根据 8 字形 44 结构得到ZGNQ二3a+3B,根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到 ZGND二Z1 二a+B

47、 ,据此可得ZENG： ZGND 的值. 【解答】解：（1）ZBME+ ZDNE+ ZMEN=360 . VAB/7CD, EFCD, ZBME+ZFEM二 180 , ZDNE+ZFEN二 180 , ZBME+ZFEM+ZDNE+ZFEN二 180 +180 =360 , 即 ZBME+ZDNE+ZMEN二360 . 如图乙，过F作FGAB, 乙 VAB/7CD, FGCD, AZ1=ZMFG, Z2二ZNFG, ZMFN=Z1+Z2, 乂TZ1JZBME, Z2ZDNE, 3 3 .ZBME=3Z1, ZDNE二3Z2, 乂 TZBME+ZDNE+ZMEN二360 , 3Z1+3Z2+Z

48、MEN二360 , 即 3ZMFN+ZMEN=360 ； (2)ZEMB, ZEND, ZE之间的数量关系为：ZDNEZBME二ZMEN. 理由如下：如图丙，过E作EFAB, VABCD, AEF/7CD, A ZDNE=ZFEN, ZBME=ZFEM, XVZFEN- ZFEM二ZMEN, ZDNE ZBME二ZMEN； 点G的大致位置如图丁所示: 设MG与NE交于点Q, NG与AB交于点F,设ZGMB二a , ZG=P , 曲ZGlZE,可得ZEMQ=3 a , ZE二4 0 , 4 4 ZEQM=ZGQN, .ZE+ZEMQ=ZG+ZGNQ, 即 ZGNQ=ZE+ZEMQ ZG二4 B

49、+3 a B 二3 a +3 B , VZ1是AGFU的外角， Z1二ZG+ZGMF二 B + a , 又 VAB/7CD, AZGND=Zl=a+P , ZENG： ZGND二(3ci+3B )： (ci+B)二3. 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理 清图中各角度之间的关系是解决问题的关键. 17已知，AB/7CD,点E为射线FG上一点. (1) 如图 1,若ZEAF二30 , ZEDG=40 ,则ZAED二 70 ； (2) 如图2,当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H,则ZAED、 Z

50、EAF、ZEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3) 如图3, DI平分ZEDC,交AE于点K,交AI于点I,且ZEAI： Z BAI=1： 2, ZAED二22 , ZI=20 ,求ZEKD 的度数. B 【分析1( 1)延长DE交AB于H,依据平行线的性质,可得ZD=ZAHE=40 , 再根据Z AED是 AEH的外角，即可得到Z AED二Z A+ Z AHE=30 +40 二70 ； (2) 依据ABCD,可得ZEAF二ZEHC,再根据ZEHC是ADEH的外角， 即可得到 ZEHG=ZAED+ZEDG,即 ZEAF=ZAED+ZEDG； (3) 设ZEAI=a ,则ZBAE二3a

51、,进而得出ZEDK=a 2 ,依据ZEHC二 ZEAF=ZAED+ZEDG,可得 3 a =22 +2 a 4 ,求得ZEDK=16 ,即可 得出ZEKD的度数. 【解答】解：(1)如图，延长DE交AB于H, VAB/7CD, ZD二ZAHE二40 , ZAED是AAEH的外角， ZAED二ZA+ZAHE二30 +40 =70 , 故答案为：70； (2) ZEAF二ZAED+ZEDG. 理由：VAB/7CD, ZEAF=ZEHC, ZEHC是ADEH的外角， ZEHG 二 ZAED+ZEDG, ZEAF 二 ZAED+ZEDG： (3) VZEAI： ZBAI=1： 2, 设 ZEAI= a

52、 ,则 ZBAE=3 a , TZAED二22 , ZI=20 , ZDKE=ZAKI, 乂TZEDK+ZDKE+ZDEK二 180 , ZKAI+ZKIA+ZAKI=180 , A ZEDK= a 2 , VDI 平分 ZEDC, ZCDE=2ZEDK=2 a 4 , VABCD, ZEHC 二 ZEAF 二 ZAED+ZEDG, 即 3 a =22 +2a -4 , 解得a =18 , ZEDK二 16 , 16 -22 =142 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内 角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三 角形外角性质进行计算求解.解题时

53、注意：三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和. 18. 小明在学习了 “平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探 究：在平面内，直线ABCD, E为平面内一点，连接BE、CE,根据点E 的位置探究ZB和ZC、ZBEC的数量关系.（1）当点E分别在如下图、 图和图所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的ZB和ZC、 ZBEC的数量关系：图中： ZB+ZC二ZBEC ；图中： ZB+ZC+ ZBEC二360 ,图中： ZC - ZB二ZBEC . （2）请在以上三个结论 中选出一个你喜欢的结论加以证明.（3）运用上面的结论解决问题：如 图，ABCD, BP 平分ZABE, CP 平分

54、ZDCE, ZBEC二 100 , ZBPC 的 度数是 130.（直接写出结果，不用写计算过程） 【分析】（1）依据图、图和图所示的位置，直接写出三个图形中 相应的ZB和ZC、ZBEC的数量关系即可；（2）过点E作EF/7AB,利用 平行线的性质，即可得到ZB和ZC、ZBEC的数量关系；（3）由图的 结论可得，ZABE+ZDCE=360 - ZE二360 - 100 =260 ,再根据 BP 平分ZABE, CP平分ZDCE,可得ZPBE+ZPCE二130 ,利用四边形PCEB 内角和进行计算即可. 【解答】解：（1）图：ZB+ZC二ZBEC；图：ZB+ZC+ZBEC二360 ； 图：ZC

55、ZB二ZBEC. （2）选图证明： 证明：过点E作EFAB, VAB/7DC （已知）,EF/7AB （辅助线的作法）, EFDC （平行于同一条直线的两直线互相平行）， ZC二ZCEF（两直线平行，内错角相等）， EFAB, ZB二ZBEF（两直线平行，内错角相等）， AZB+ZC=ZCEF+ZBEF （等式的性质）， 即 ZB+ZC 二 ZBEC. 选图证明： 证明：过点E作EFAB, VAB/7DC （已知），EF/7AB （辅助线的作法）， EFDC （平行于同一条直线的两直线互相平行）， ZC+ZCEF二180 .（两直线平行，同旁内角互补） VEF/7AB, ZB+ZBEF二180

56、 .（两直线平行，同旁内角互补）， ZB+ZC+ZCEF+ZBEF二 180 +180 二360 , 即ZB+ZC+ZBEC二360 . 选图证明：过点E作EFAB, VAB/7DC （已知）,EFAB （辅助线的作法）， EFDC （平行于同一条直线的两直线互相平行）， ZC二ZCEF（两直线平行，内错角相等）， VEF/7AB, ZB二ZBEF（两直线平行，内错角相等）， ZBZC二ZCEFZBEF （等式的性质）, 即 ZB ZC二ZBEC. （3） ZBPC的度数是130 . 由图的结论可得，ZABE+ZDCE二360 - ZE二360 - 100 =260 乂TBP 平分ZABE,

57、CP 平分ZDCE, ZPBE+ZPCE二 130 , 四边形 PCEB 中，ZBPC二360 - 130 100 =130 , 故答案为：130 . AB DC 图 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，能正确作出辅助线是解 此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位 角相等，两直线平行，同旁内角互补. 19. 如图 1, AC 平分ZDAB, Z1=Z2. G (1) 试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； (2) 如图2,当ZADC=120时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运 动，试探讨ZE和ZF的数量关系； (3) 如图3, AD和BC交于点G,过点D作DHB

58、C交AC于点H,若AC 丄BC,问当ZCDH为多少度时，ZGDC二ZADH. 【分析】(1)依据AC平分ZDAB, Z1二Z2,即可得到Z2二ZBAC,进而 判定 CD/7AB. (2) 当ZADC=120时，Zl=Z2=30 ,依据Z2是ACEF的外角，可得 ZE+ZF二Z2二30 . (3) 依据DHBC, AC丄BC,可得DH丄AC,进而得到ZADH二ZCDH,据此 可得当 ZGDC二ZADH 时，ZCDG=ZCDH=ZADH,即可得到ZCDH二丄X 3 180 二60 . 【解答】解：(1)如图，TAC平分ZDAB, Z1二ZBAC, XVZ1=Z2, AZ2=ZBAC, CDAB.

59、(2) 当ZADC二 120 时，Zl=Z2=30 , 点E、F分别在CD和AC的延长线上运动, Z2是ACEF的外角， .ZE+ZF=Z2=30o . (3) .DHBC, AC丄BC, DH丄AC, 又 VZ1=Z2, ZADH=ZCDH, 当 ZGDC二ZADH 时，ZCDG二ZCDH二ZADH, A ZCDHlx 180 二60 . 3 故当ZCDH 为 60 度时，ZGDC二ZADH. F D D B B 图2 【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两 条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.即内错 角相等，两直线平行. 20. 已知直线ABCD

60、. (1) 如图1,直接写出ZBME、ZE、ZEND的数量关系为 ZE二ZEND -ZBME ； (2) 如图2, ZBME与ZCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究 ZP与ZE之间的数量关系，并证明你的结论； (3) 如图 3, ZABMZMBE, ZCDN二丄ZNDE，直线 MB、ND 交于点 F, nn 则李二丄. Ze n+L 的外角，即可得出ZE二ZEFB - ZBME=ZEND - ZBME； (2) 由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到ZNPM=ZNGB+Z PMA二ZCNP+ZPMA,再根据三角形内角和定理，即可得到ZE+2ZPMA+2 ZCNP二 180 ,即 Z